{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nRozwiązaniami równania \n\n\n\n3\n8\n5\n2\n1\nx\nx\nx\n\n\n\n= 0 są liczby\nA. -8; -5; 1\nB.\n-1; 5; 8\nC.\n2\n1\n\n; 2; 5\nD.\n2\n1\n\n; 5; 8","answer":"C","answer_text":"3 daje resztę 1.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG6.1., 2.1., G6.6. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń\nalgebraicznych związki między różnymi wielkościami,\nużywa wzorów skróconego mnożenia na \n2\n\na\nb\noraz\n2\n2\n\na\nb , wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy\nalgebraicznej poza nawias.\nRozwiązanie:\nUstalamy, że liczba całkowita k, która nie dzieli się przez 3, daje się zapisać na jeden z dwóch\nsposobów:\n- sposób I (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1):\n3\n1\nk\nn\n\n, gdzie n jest liczbą\ncałkowitą,\n- sposób II (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2):\n3\n2\nk\nn\n\n, gdzie n jest liczbą\ncałkowitą.\nPrzy tych ustaleniach możemy zapisać kwadrat liczby k w zależności od n.\nW pierwszym przypadku\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n9\n6\n1\n3 3\n2\n1\nk\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n.\nW drugim przypadku\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n9\n12\n4\n9\n12\n3 1\n3 3\n4\n1\n1\nk\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nW obu przypadkach liczba\n2\nk jest sumą liczby podzielnej przez 3 i liczby 1, zatem reszta\nz dzielenia\n2\nk przez 3 jest równa 1.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\n\njeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa\n1, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym\npoprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania\nalbo\n\njeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa\n2, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym\npoprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania,\nalbo\n\njeżeli przeprowadza uzasadnienie tezy w dwóch przypadkach: kiedy reszta z\ndzielenia liczby całkowitej przez 3 jest równa 1 oraz kiedy reszta z dzielenia liczby\ncałkowitej przez 3 jest równa 2, ale popełnia błędy w przynajmniej jednym z tych\nprzypadków.\nZdający otrzymuje. 2 pkt\njeżeli przeprowadzi poprawne uzasadnienie faktu: reszta z dzielenia przez 3 kwadratu liczby\ncałkowitej, niepodzielnej przez 3, jest równa 1.\nZadanie 29. (0-2)\nWartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została\nprzebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B,\nktóra znajduje się w połowie drogi z A do C. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie\nz A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C - 60 km/h. Oblicz wartość prędkości\nśredniej samochodu na całej trasie z A do C.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG6.1., G6.7. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń\nalgebraicznych związki między różnymi wielkościami,\nwyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym\ngeometrycznych i fizycznych.\nI sposób rozwiązania:\nOznaczamy przez s drogę z A do C, przez t1 czas przejazdu z A do B, a przez t2 czas\nprzejazdu z B do C.\nZ warunków zadania otrzymujemy równania:\n1\n2\n40\ns\nt\n\noraz\n2\n2\n60\ns\nt\n\nPo przekształceniach wyznaczamy t1 i t2: 1\n80\ns\nt \noraz 2\n120\ns\nt \nMożemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C:\n1\n2\n240\n48\n3\n2\n5\n80\n120\n240\ns\ns\ns\ns\nv\ns\ns\ns\ns\nt\nt\ns\n\n\n\n\n\n\n\n\nOdpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h.\nII sposób rozwiązania:\nPrzy podanych średnich prędkościach na dwóch odcinkach drogi, składających się na\ncałą drogę, prędkość średnia na całej drodze jest określona jednoznacznie. Bez straty\nogólności możemy założyć, że trasa z A do C ma długość 120 km, wówczas przejazd z A\ndo B trwałby 1,5 h, zaś przejazd z B do C trwałby 1 h.\nMożemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C:\n120\n120\n1200\n48\n1,5 1\n2,5\n25\nv \n\n\n\n\nOdpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\njeżeli:\n\nzapisze zależność między średnią prędkością na trasie z A do C a długością drogi\nmiędzy A i C, np.\n80\n120\ns\nv\ns\ns\n\n\nalbo\n\nprzedstawi sposób wyznaczania wartości średniej prędkości na trasie z A do C przy\npoprawnie przyjętych konkretnych wartościach liczbowych dla drogi i czasu przejazdu\nna poszczególnych częściach trasy, np.\n120\n1,5 1\nv \n.\nZdający otrzymuje 2 pkt\njeżeli obliczy wartość średniej prędkości na trasie z A do C: 48 km/h.\nUwaga:\nZdający może posłużyć się znaną zależnością między prędkościami średnimi na odcinkach\ndrogi a prędkością średnią na całej drodze i wyznaczyć wartość średniej prędkości przez\npodstawienie do odpowiedniego wzoru, np. może wykorzystać średnią harmoniczną.\nZadanie 30. (0-4)\nZakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym\nrzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest\nprawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród\nszesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych\nsytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa.\nI sposób rozwiązania:\nOpisujemy zbiór zdarzeń elementarnych.\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1,2 , 1,3 , 1,4 , , 1,10 , 1,11 , , 1,16 ,\n2,1 , 2,3 , 2,4 , , 2,10 , 2,11 , , 2,16 ,\n3,1 , 3,2 , 3,4 , , 3,10 , 3,11 , , 3,16 ,\n4,1 , 4,2 , 4,3 , , 4,10 , 4,11 , , 4,16 ,\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n16,1 , 16,2 , 16,3 , , 16,10 , 16,11 , , 16,15\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych:\n16 15\n240\n\n\n\nPodajemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, które polega na tym, że\n2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące miejsca:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1,2 , 2,1 , 2,3 , 3,2 , 3,4 , 4,3 , 4,5 ,\n5,4 , 5,6 , 6,5 , 6,7 , 7,6 , 7,8 , 8,7 ,\n8,9 , 9,8 , 9,10 , 10,9 , 11,12 , 12,11 , 12,13 ,\n13,12 , 13,14 , 14,13 , 14,15 , 15,14 , 15,16 , 16,15\nA \n28\nA \nObliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: \n28\n7\n240\n60\nA\nP A \n\n\n\nII sposób rozwiązania\nRysujemy kwadraty w 16 wierszach i 16 kolumnach i wykreślamy te kwadraty, dla których\nnumer wiersza jest równy numerowi kolumny. Pozostałe kwadraty odpowiadają jednakowo\nprawdopodobnym zdarzeniom elementarnym.","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Rozwiązaniami równania 



3
8
5
2
1
x
x
x



= 0 są liczby
A. -8; -5; 1
B.
-1; 5; 8
C.
2
1

; 2; 5
D.
2
1

; 5; 8

","answer_text_html":"

3 daje resztę 1.
V. Rozumowanie
i argumentacja.
G6.1., 2.1., G6.6. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń
algebraicznych związki między różnymi wielkościami,
używa wzorów skróconego mnożenia na 
2

a
b
oraz
2
2

a
b , wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy
algebraicznej poza nawias.
Rozwiązanie:
Ustalamy, że liczba całkowita k, która nie dzieli się przez 3, daje się zapisać na jeden z dwóch
sposobów:

\n\n

3
1
k
n

, gdzie n jest liczbą
całkowitą,

\n\n

3
2
k
n

, gdzie n jest liczbą
całkowitą.
Przy tych ustaleniach możemy zapisać kwadrat liczby k w zależności od n.
W pierwszym przypadku




2
2
2
2
3
1
9
6
1
3 3
2
1
k
n
n
n
n
n






.
W drugim przypadku




2
2
2
2
2
3
2
9
12
4
9
12
3 1
3 3
4
1
1
k
n
n
n
n
n
n
n











W obu przypadkach liczba
2
k jest sumą liczby podzielnej przez 3 i liczby 1, zatem reszta
z dzielenia
2
k przez 3 jest równa 1.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt

jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa
1, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym
poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania
albo

jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa
2, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym
poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania,
albo

jeżeli przeprowadza uzasadnienie tezy w dwóch przypadkach: kiedy reszta z
dzielenia liczby całkowitej przez 3 jest równa 1 oraz kiedy reszta z dzielenia liczby
całkowitej przez 3 jest równa 2, ale popełnia błędy w przynajmniej jednym z tych
przypadków.
Zdający otrzymuje. 2 pkt
jeżeli przeprowadzi poprawne uzasadnienie faktu: reszta z dzielenia przez 3 kwadratu liczby
całkowitej, niepodzielnej przez 3, jest równa 1.
Zadanie 29. (0-2)
Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została
przebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B,
która znajduje się w połowie drogi z A do C. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie
z A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C - 60 km/h. Oblicz wartość prędkości
średniej samochodu na całej trasie z A do C.
V. Rozumowanie
i argumentacja.
G6.1., G6.7. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń
algebraicznych związki między różnymi wielkościami,
wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym
geometrycznych i fizycznych.
I sposób rozwiązania:
Oznaczamy przez s drogę z A do C, przez t1 czas przejazdu z A do B, a przez t2 czas
przejazdu z B do C.
Z warunków zadania otrzymujemy równania:
1
2
40
s
t

oraz
2
2
60
s
t

Po przekształceniach wyznaczamy t1 i t2: 1
80
s
t 
oraz 2
120
s
t 
Możemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C:
1
2
240
48
3
2
5
80
120
240
s
s
s
s
v
s
s
s
s
t
t
s








Odpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h.
II sposób rozwiązania:
Przy podanych średnich prędkościach na dwóch odcinkach drogi, składających się na
całą drogę, prędkość średnia na całej drodze jest określona jednoznacznie. Bez straty
ogólności możemy założyć, że trasa z A do C ma długość 120 km, wówczas przejazd z A
do B trwałby 1,5 h, zaś przejazd z B do C trwałby 1 h.
Możemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C:
120
120
1200
48
1,5 1
2,5
25
v 




Odpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
jeżeli:

zapisze zależność między średnią prędkością na trasie z A do C a długością drogi
między A i C, np.
80
120
s
v
s
s


albo

przedstawi sposób wyznaczania wartości średniej prędkości na trasie z A do C przy
poprawnie przyjętych konkretnych wartościach liczbowych dla drogi i czasu przejazdu
na poszczególnych częściach trasy, np.
120
1,5 1
v 
.
Zdający otrzymuje 2 pkt
jeżeli obliczy wartość średniej prędkości na trasie z A do C: 48 km/h.
Uwaga:
Zdający może posłużyć się znaną zależnością między prędkościami średnimi na odcinkach
drogi a prędkością średnią na całej drodze i wyznaczyć wartość średniej prędkości przez
podstawienie do odpowiedniego wzoru, np. może wykorzystać średnią harmoniczną.
Zadanie 30. (0-4)
Zakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym
rzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest
prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród
szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?
III. Modelowanie
matematyczne.
10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych
sytuacjach, stosując klasyczną definicję
prawdopodobieństwa.
I sposób rozwiązania:
Opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych.





































1,2 , 1,3 , 1,4 , , 1,10 , 1,11 , , 1,16 ,
2,1 , 2,3 , 2,4 , , 2,10 , 2,11 , , 2,16 ,
3,1 , 3,2 , 3,4 , , 3,10 , 3,11 , , 3,16 ,
4,1 , 4,2 , 4,3 , , 4,10 , 4,11 , , 4,16 ,










16,1 , 16,2 , 16,3 , , 16,10 , 16,11 , , 16,15
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych:
16 15
240



Podajemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, które polega na tym, że
2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące miejsca:


































1,2 , 2,1 , 2,3 , 3,2 , 3,4 , 4,3 , 4,5 ,
5,4 , 5,6 , 6,5 , 6,7 , 7,6 , 7,8 , 8,7 ,
8,9 , 9,8 , 9,10 , 10,9 , 11,12 , 12,11 , 12,13 ,
13,12 , 13,14 , 14,13 , 14,15 , 15,14 , 15,16 , 16,15
A 
28
A 
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 
28
7
240
60
A
P A 



II sposób rozwiązania
Rysujemy kwadraty w 16 wierszach i 16 kolumnach i wykreślamy te kwadraty, dla których
numer wiersza jest równy numerowi kolumny. Pozostałe kwadraty odpowiadają jednakowo
prawdopodobnym zdarzeniom elementarnym.

","solutions":[]}