{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-3)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin5\nsin\n0\nx\nx\n\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-3)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin5\nsin\n0\nx\nx\n\n\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii\nR6.5. Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy\nkątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.\nRozwiązanie (I sposób):\nKorzystamy ze wzoru na różnicę sinusów i zapisujemy równanie w postaci\n2sin2 cos3\n0\nx\nx \nzatem\nsin2\n0\nx \nlub cos3\n0\nx \nstąd otrzymujemy kolejno:\nsin2\n0\nx \n, gdy 2x\nk\n\nczyli\n2\nk\nx\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\ncos3\n0\nx \n, gdy 3\n2\nx\nk\n\n\n\n\nczyli\n6\n3\nk\nx\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.\nZapisanie równania w postaci iloczynowej np. sin2 cos3\n0\nx\nx \nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.\nZapisanie rozwiązań równania\n\nsin2\n0\nx \n:\n2\nk\nx\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nalbo\n\ncos3\n0\nx \n:\n6\n3\nk\nx\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne - 3 p.\nZapisanie wszystkich rozwiązań równania sin5\nsin\n0\nx\nx\n\n\n:\n2\nk\nx\n\n\nlub\n6\n3\nk\nx\n\n\n\n\n, gdzie k\njest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie (II sposób):\nZapisujemy równanie w postaci sin5\nsin\nx\nx\n\nZ własności funkcji sinus wynika, że\n5\n2\nx\nx\nk\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nlub\n5\n2\nx\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nzatem\n4\n2\nx\nk\n\n, czyli\n2\nk\nx\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nlub\n6\n2\nx\nk\n\n\n\n\n, czyli\n6\n3\nk\nx\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.\nZapisanie jednej z zależności: 5\n2\nx\nx\nk\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą lub\n5\n2\nx\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.\nZapisanie obu zależności: 5\n2\nx\nx\nk\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą oraz 5\n2\nx\nx\nk\n\n\n\n\n,\ngdzie k jest liczbą całkowitą.\nRozwiązanie pełne - 3 p.\nZapisanie wszystkich rozwiązań równania sin5\nsin\n0\nx\nx\n\n\n:\n2\nk\nx\n\n\nlub\n6\n3\nk\nx\n\n\n\n\n, gdzie k\njest liczbą całkowitą.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze jedynie 5x\nx\n\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze 5x\nx\n\noraz 5x\nx\n\n\n\n, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko jedną z zależności 5\n2\nx\nx\nk\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nlub 5\n2\nx\nx\nk\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą i w rezultacie uzyska tylko jedną serię\nrozwiązań:\n2\nk\nx\n\n\nalbo\n6\n3\nk\nx\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$x=\\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{6}+\\dfrac{k\\pi}{3}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin5
sin
0
x
x


Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
11.
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin5
sin
0
x
x


IV. Użycie i tworzenie
strategii
R6.5. Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy
kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.
Rozwiązanie (I sposób):
Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów i zapisujemy równanie w postaci
2sin2 cos3
0
x
x 
zatem
sin2
0
x 
lub cos3
0
x 
stąd otrzymujemy kolejno:
sin2
0
x 
, gdy 2x
k

czyli
2
k
x


, gdzie k jest liczbą całkowitą,
cos3
0
x 
, gdy 3
2
x
k




czyli
6
3
k
x




, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.
Zapisanie równania w postaci iloczynowej np. sin2 cos3
0
x
x 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.
Zapisanie rozwiązań równania

sin2
0
x 
:
2
k
x


, gdzie k jest liczbą całkowitą
albo

cos3
0
x 
:
6
3
k
x




, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie pełne - 3 p.
Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin5
sin
0
x
x


:
2
k
x


lub
6
3
k
x




, gdzie k
jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie (II sposób):
Zapisujemy równanie w postaci sin5
sin
x
x

Z własności funkcji sinus wynika, że
5
2
x
x
k


, gdzie k jest liczbą całkowitą
lub
5
2
x
x
k




, gdzie k jest liczbą całkowitą,
zatem
4
2
x
k

, czyli
2
k
x


, gdzie k jest liczbą całkowitą
lub
6
2
x
k




, czyli
6
3
k
x




, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.
Zapisanie jednej z zależności: 5
2
x
x
k


, gdzie k jest liczbą całkowitą lub
5
2
x
x
k




, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.
Zapisanie obu zależności: 5
2
x
x
k


, gdzie k jest liczbą całkowitą oraz 5
2
x
x
k




,
gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie pełne - 3 p.
Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin5
sin
0
x
x


:
2
k
x


lub
6
3
k
x




, gdzie k
jest liczbą całkowitą.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze jedynie 5x
\n

x

, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze 5x
\n

x

oraz 5x
x



, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko jedną z zależności 5
\n

2
x
x
k


, gdzie k jest liczbą całkowitą
lub 5
2
x
x
k




, gdzie k jest liczbą całkowitą i w rezultacie uzyska tylko jedną serię
rozwiązań:
2
k
x


albo
6
3
k
x




, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x=\\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{6}+\\dfrac{k\\pi}{3}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

"}]}