{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-3)\nNiech\nnP oznacza pole koła o promieniu 1\n2n , dla\n1\nn . Oblicz sumę wszystkich wyrazów\nciągu \n\nnP\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-3)\nNiech\nnP oznacza pole koła o promieniu 1\n2n , dla\n1\nn . Oblicz sumę wszystkich wyrazów\nciągu \n\nnP\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii\nR5.3. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne\ni oblicza ich sumy.\nRozwiązanie:\nPole koła o promieniu\n1\n2\nn\nn\nr \njest równe\n2\n1\n2\n4\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli\n4\nn\nn\nP\n\n\n. Dla\n1\nn  zachodzi\nrówność\n1\n1\n4\nn\nn\nP\nP\n\n. Wynika stąd, że \n\nnP\njest ciągiem geometrycznym o ilorazie\n1\n4\nq \ni pierwszym wyrazie\n1\n4\nP\n\n\n. Ponieważ\n1\n1\n1\n4\n\n, więc suma S wszystkich wyrazów ciągu\n\n\nnP\njest skończona i jest równa\n1\n4\n1\n1\n3\n1\n4\nP\nS\nq\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nObliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu \n\nnP\n:\n1\n4\nP\n\n\n,\n1\n4\nq \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nStwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu \n\nnP\n, np.:\n1\n1\n4\nq \n\nRozwiązanie pełne 3 p.\nObliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu \n\nnP\n:\n3\nS\n\n\nUwaga:\nJeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu \n\nnP\n, ale nie stwierdzi, że\n1\nq , to\notrzymuje 2 punkty.","solution":"$S=\\dfrac{\\pi}{3}$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 12. (0-3)
Niech
nP oznacza pole koła o promieniu 1
2n , dla
1
n . Oblicz sumę wszystkich wyrazów
ciągu 

nP
Odpowiedź:

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-3)
Niech
nP oznacza pole koła o promieniu 1
2n , dla
1
n . Oblicz sumę wszystkich wyrazów
ciągu 

nP
IV. Użycie i tworzenie
strategii
R5.3. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne
i oblicza ich sumy.
Rozwiązanie:
Pole koła o promieniu
1
2
n
n
r 
jest równe
2
1
2
4
n
n









, czyli
4
n
n
P


. Dla
1
n  zachodzi
równość
1
1
4
n
n
P
P

. Wynika stąd, że 

nP
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
1
4
q 
i pierwszym wyrazie
1
4
P


. Ponieważ
1
1
1
4

, więc suma S wszystkich wyrazów ciągu


nP
jest skończona i jest równa
1
4
1
1
3
1
4
P
S
q







Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu 

nP
:
1
4
P


,
1
4
q 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu 

nP
, np.:
1
1
4
q 

Rozwiązanie pełne 3 p.
Obliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu 

nP
:
3
S


Uwaga:
Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu 

nP
, ale nie stwierdzi, że
1
q , to
otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$S=\\dfrac{\\pi}{3}$

"}]}