{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"13","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-3)\nWykaż, że jeżeli\n1\na\nb\n\n, to\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\n13.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-3)\nWykaż, że jeżeli\n1\na\nb\n\n, to\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nV. Rozumowanie\ni argumentacja\nR2.6. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia\nwymierne; rozszerza i (w łatwych przypadkach) skraca\nwyrażenia wymierne.\nRozwiązanie (I sposób):\nPrzekształcamy nierówność\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nrównoważnie.\n3\n3\n2\n2\na\nab\nb\na b\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n2\n2 a\nb\nab a\nb\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n2 a\nb\nab a\nb\na\nb\n\n\n\n\nPonieważ a\nb\n\n, więc możemy obie strony tej nierówności podzielić przez\n0\na\nb\n\n\nOtrzymujemy\n\n\n2\nab a\nb\n\n\nPonieważ\n1\na\nb\n\n, to\n1\nab  oraz\n2\na\nb\n\n\n, zatem\n\n\n1 2\n2\nab a\nb\n\n\n\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.\nZapisanie nierówności\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\nw postaci \n\n\n\n2\n2\n2 a\nb\nab a\nb\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.\nStwierdzenie, że dla\n1\na\nb\n\n nierówność\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\njest równoważna nierówności\n\n\n2\nab a\nb\n\n\nUwaga:\nZdający zamiast podzielić obie strony nierówności przez\n0\na\nb\n\n\n, może zapisać nierówność\nw postaci równoważnej \n\n\n\n\n\n2\n0\na\nb\nab a\nb\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne - 3 p.\nPrzeprowadzenie pełnego dowodu.\nRozwiązanie (II sposób):\nDefiniujemy funkcję f określoną wzorem\n3\n( )\n2\nx\nf x\nx\n\n\ndla każdej liczby rzeczywistej\n3 2\nx \nObliczamy pochodną funkcji f:\n\n\n\n\n3\n2\n3\n2 1\n( )\n2\nx\nf\nx\nx\n\n\n\n\nStwierdzamy, że\n( )\n0\nf\nx\n\n\ndla\n\n\n1,\nx\n. Wynika stąd, że w przedziale\n\n1, funkcja f\njest malejąca. Zatem dla dowolnych dwóch argumentów a\nb\n\nz tego przedziału prawdziwa\njest nierówność\n\n\nf a\nf b\n\n, czyli\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\n\n\n\n, co należało udowodnić.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.\nOkreślenie funkcji\n3\n( )\n2\nx\nf x\nx\n\n\ni obliczenie jej pochodnej\n\n\n\n\n3\n2\n3\n2 1\n( )\n2\nx\nf\nx\nx\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.\nOkreślenie znaku pochodnej funkcji f w przedziale \n\n1,:\n( )\n0\nf\nx\n\n\ndla\n\n\n1,\nx\n\nRozwiązanie pełne - 3 p.\nStwierdzenie, że w przedziale\n\n1, funkcja f jest malejąca i wywnioskowanie\nprawdziwości tezy.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 13. (0-3)
Wykaż, że jeżeli
1
a
b

, to
3
3
2
2
a
b
a
b



Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
13.
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-3)
Wykaż, że jeżeli
1
a
b

, to
3
3
2
2
a
b
a
b



V. Rozumowanie
i argumentacja
R2.6. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia
wymierne; rozszerza i (w łatwych przypadkach) skraca
wyrażenia wymierne.
Rozwiązanie (I sposób):
Przekształcamy nierówność
3
3
2
2
a
b
a
b



równoważnie.
3
3
2
2
a
ab
b
a b



,




2
2
2 a
b
ab a
b



,





2 a
b
ab a
b
a
b




Ponieważ a
b

, więc możemy obie strony tej nierówności podzielić przez
0
a
b


Otrzymujemy


2
ab a
b


Ponieważ
1
a
b

, to
1
ab  oraz
2
a
b


, zatem


1 2
2
ab a
b



. To kończy dowód.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.
Zapisanie nierówności
3
3
2
2
a
b
a
b



w postaci 



2
2
2 a
b
ab a
b



Pokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.
Stwierdzenie, że dla
1
a
b

 nierówność
3
3
2
2
a
b
a
b



jest równoważna nierówności


2
ab a
b


Uwaga:
Zdający zamiast podzielić obie strony nierówności przez
0
a
b


, może zapisać nierówność
w postaci równoważnej 





2
0
a
b
ab a
b




Rozwiązanie pełne - 3 p.
Przeprowadzenie pełnego dowodu.
Rozwiązanie (II sposób):
Definiujemy funkcję f określoną wzorem
3
( )
2
x
f x
x


dla każdej liczby rzeczywistej
3 2
x 
Obliczamy pochodną funkcji f:




3
2
3
2 1
( )
2
x
f
x
x




Stwierdzamy, że
( )
0
f
x


dla


1,
x
. Wynika stąd, że w przedziale

1, funkcja f
jest malejąca. Zatem dla dowolnych dwóch argumentów a
b

z tego przedziału prawdziwa
jest nierówność


f a
f b

, czyli
3
3
2
2
a
b
a
b



, co należało udowodnić.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 1 p.
Określenie funkcji
3
( )
2
x
f x
x


i obliczenie jej pochodnej




3
2
3
2 1
( )
2
x
f
x
x




Pokonanie zasadniczych trudności zadania - 2 p.
Określenie znaku pochodnej funkcji f w przedziale 

1,:
( )
0
f
x


dla


1,
x

Rozwiązanie pełne - 3 p.
Stwierdzenie, że w przedziale

1, funkcja f jest malejąca i wywnioskowanie
prawdziwości tezy.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód.

"}]}