{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-4)\nWykaż, że jeżeli\n,\n,\n są kątami wewnętrznymi trójkąta i\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\n\n\n\n\n\n, to\ncos\n0\n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-4)\nWykaż, że jeżeli\n, ,\n są kątami wewnętrznymi trójkąta i\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\n\n\n\n\n\n, to\ncos\n0\n\nV. Rozumowanie\ni argumentacja\nR7.5. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia\ncosinusów.\nRozwiązanie (I sposób):\nNiech , ,\na b c oznaczają długości boków trójkąta leżących naprzeciwko kątów, odpowiednio,\n,\n,\n, i niech R będzie promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Z twierdzenia\nsinusów otrzymujemy\nsin\n2\na\nR\n\n, sin\n2\nb\nR\n\n, sin\n2\nc\nR\n\nZatem nierówność\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\n\n\n\n\n\nmożemy zapisać w postaci\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\nc\nR\nR\nR\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n2\n2\n2\na\nb\nc\n\n\n, czyli\n2\n2\n2\n0\na\nb\nc\n\n\n\n. Zatem z twierdzenia cosinusów otrzymujemy\n2\n2\n2\ncos\n0\n2\na\nb\nc\nab\n\n\n\n\n\nUwaga:\nZamiast wykorzystać twierdzenie sinusów możemy również skorzystać ze wzoru na pole\ntrójkąta i wówczas otrzymujemy\n2\nsin\nP\nbc\n\n,\n2\nsin\nP\nac\n\n,\n2\nsin\nP\nab\n\nDalsza część rozwiązania przebiega tak samo.\nSchemat oceniania:\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania - 1 p.\nZastosowanie\n twierdzenia sinusów, np. zapisanie równości: sin\n2\na\nR\n\n, sin\n2\nb\nR\n\n, sin\n2\nc\nR\n\nalbo\n wzoru na pole trójkąta i zapisanie równości:\n2\nsin\nP\nbc\n\n,\n2\nsin\nP\nac\n\n,\n2\nsin\nP\nab\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 2 p.\nZapisanie nierówności\n2\n2\n2\n0\na\nb\nc\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 3 p.\nZastosowanie twierdzenia cosinusów do zapisania równości\n2\n2\n2\ncos\n2\na\nb\nc\nab\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne - 4 p.\nPoprawne uzasadnienie, że cos\n0\n\nUwaga:\nJeżeli zdający zauważy, że z nierówności\n2\n2\n2\na\nb\nc\n\n\nwynika, że trójkąt jest rozwartokątny\noraz jest kątem rozwartym, a stąd cos\n0\n\n, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie (II sposób):\nPonieważ\n\n\n180\n\n\n\n\n\n\n, więc\n\n\n\n\n\n\nsin\nsin 180\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Nierówność\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\n\n\n\n\n\nmożemy zapisać w postaci\n\n\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nZe wzoru na sinus sumy kątów otrzymujemy\n\n\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\ncos\n2sin\ncos\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\nsin\n2sin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\n1 cos\nsin\n1 cos\n2sin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\nsin\n2sin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2sin\nsin\n2sin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\nsin\nsin\nsin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nObie strony nierówności możemy podzielić przez sin\nsin\n0\n\n\n, otrzymując\nsin\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\ncos\ncos\nsin\nsin\n0\n\n\n\n\n\n\n\n\ncos\n0\n\n\n\n\nStąd wynika, że\n90\n\n\n\n\n, więc\n90\n\n. To oznacza, że cos\n0\n\n, co kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania - 1 p.\nDoprowadzenie nierówności do postaci\n\n\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 2 p.\nDoprowadzenie nierówności do postaci\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\nsin\ncos\n2sin\ncos\ncos\nsin\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania - 3 p.\nDoprowadzenie nierówności do postaci\n\n\ncos\n0\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne - 4 p.\nPoprawne uzasadnienie, że cos\n0\n","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 14. (0-4)
Wykaż, że jeżeli
,
,
 są kątami wewnętrznymi trójkąta i
2
2
2
sin
sin
sin





, to
cos
0


","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-4)
Wykaż, że jeżeli
, ,
 są kątami wewnętrznymi trójkąta i
2
2
2
sin
sin
sin





, to
cos
0

V. Rozumowanie
i argumentacja
R7.5. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich
z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia
cosinusów.
Rozwiązanie (I sposób):
Niech , ,
a b c oznaczają długości boków trójkąta leżących naprzeciwko kątów, odpowiednio,
,
,
, i niech R będzie promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Z twierdzenia
sinusów otrzymujemy
sin
2
a
R

, sin
2
b
R

, sin
2
c
R

Zatem nierówność
2
2
2
sin
sin
sin





możemy zapisać w postaci
2
2
2
2
2
2
a
b
c
R
R
R




















Stąd
2
2
2
a
b
c


, czyli
2
2
2
0
a
b
c



. Zatem z twierdzenia cosinusów otrzymujemy
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
ab





Uwaga:
Zamiast wykorzystać twierdzenie sinusów możemy również skorzystać ze wzoru na pole
trójkąta i wówczas otrzymujemy
2
sin
P
bc

,
2
sin
P
ac

,
2
sin
P
ab

Dalsza część rozwiązania przebiega tak samo.
Schemat oceniania:
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania - 1 p.
Zastosowanie
 twierdzenia sinusów, np. zapisanie równości: sin
2
a
R

, sin
2
b
R

, sin
2
c
R

albo
 wzoru na pole trójkąta i zapisanie równości:
2
sin
P
bc

,
2
sin
P
ac

,
2
sin
P
ab

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 2 p.
Zapisanie nierówności
2
2
2
0
a
b
c



Pokonanie zasadniczych trudności zadania - 3 p.
Zastosowanie twierdzenia cosinusów do zapisania równości
2
2
2
cos
2
a
b
c
ab




Rozwiązanie pełne - 4 p.
Poprawne uzasadnienie, że cos
0

Uwaga:
Jeżeli zdający zauważy, że z nierówności
2
2
2
a
b
c


wynika, że trójkąt jest rozwartokątny
oraz jest kątem rozwartym, a stąd cos
0

, to otrzymuje 4 punkty.
Rozwiązanie (II sposób):
Ponieważ


180






, więc






sin
sin 180
sin










. Nierówność
2
2
2
sin
sin
sin





możemy zapisać w postaci


2
2
2
sin
sin
sin







Ze wzoru na sinus sumy kątów otrzymujemy


2
2
2
sin
sin
sin
cos
cos
sin









2
2
2
2
2
2
sin
sin
sin
cos
2sin
cos
cos
sin
cos
sin














2
2
2
2
2
2
sin
sin
cos
sin
cos
sin
2sin
cos
cos
sin


















2
2
2
2
sin
1 cos
sin
1 cos
2sin
cos
cos
sin












2
2
2
2
sin
sin
sin
sin
2sin
cos
cos
sin










2
2
2sin
sin
2sin
cos
cos
sin







2
2
sin
sin
sin
cos
cos
sin







Obie strony nierówności możemy podzielić przez sin
sin
0


, otrzymując
sin
sin
cos
cos





cos
cos
sin
sin
0








cos
0




Stąd wynika, że
90




, więc
90

. To oznacza, że cos
0

, co kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania - 1 p.
Doprowadzenie nierówności do postaci


2
2
2
sin
sin
sin







Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp - 2 p.
Doprowadzenie nierówności do postaci
2
2
2
2
2
2
sin
sin
sin
cos
2sin
cos
cos
sin
cos
sin














Pokonanie zasadniczych trudności zadania - 3 p.
Doprowadzenie nierówności do postaci


cos
0




Rozwiązanie pełne - 4 p.
Poprawne uzasadnienie, że cos
0


","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód.

"}]}