{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"16","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-5)\nOblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną\nkostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy\nco najmniej jedną „szóstkę”.\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n16.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-5)\nOblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną\nkostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem, że otrzymamy\nco najmniej jedną „szóstkę”.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne\nR10.2. Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.\nRozwiązanie:\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie trzywyrazowe ciągi o wyrazach ze zbioru\n\n\n1,2,3,4,5,6 (czyli trójelementowe wariacje z powtórzeniami tego zbioru). Jest to model\nklasyczny.\n3\n6\n216\n\n\nWprowadźmy oznaczenia dla zdarzeń\nA - otrzymamy co najmniej raz jedno oczko,\nB - otrzymamy co najmniej raz sześć oczek.\nMamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe\n(\n)\n(\n)\n( )\nA\nB\nP A\nB\nP A B\nP B\nB\n\n\n\n\nMoc zdarzenia B obliczymy, korzystając z pojęcia zdarzenia przeciwnego, które polega na\ntym, że nie otrzymamy ani razu sześciu oczek.\n3\n3\n6\n5\n216 125\n91\nB\nB\n\n\n\n\n\n\nZdarzenie A\nB\n\njest sumą parami rozłącznych zdarzeń:\n otrzymamy raz jedno oczko, raz sześć oczek i raz liczbę oczek ze zbioru \n\n2,3,4,5 -\nmożliwe są 3 2 4\n24\n\ntakie wyniki,\n otrzymamy raz jedno oczko i dwa razy sześć oczek; możliwe są 3 takie wyniki,\n otrzymamy dwa razy jedno oczko i raz sześć oczek; możliwe są 3 takie wyniki.\nStąd\n30\nA\nB\n\n\ni\n30\n(\n)\n91\nP A B \nUwaga:\nA\nB\n\nmożna obliczyć korzystając z prawa de Morgana.\n\n\n\n\n\n\nA\nB\nA\nB\nA\nB\nA\nB\nA\nB\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n3\n3\n3\n6\n5\n5\n4\n30\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZapisanie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe przy poprawnie wprowadzonych\noznaczeniach.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nObliczenie\n91\nB \nlub\n( )\nP B .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nObliczenie\n30\nA\nB\n\n\nlub\n(\n)\nP A\nB\n\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nRozwiązanie zadania do końca z błędami rachunkowymi.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nObliczenie\n30\n(\n)\n91\nP A B ","solution":"$\\dfrac{30}{91}$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 16. (0-5)
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną
kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy
co najmniej jedną „szóstkę”.

\n

Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
16.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-5)
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną
kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem, że otrzymamy
co najmniej jedną „szóstkę”.
III. Modelowanie
matematyczne
R10.2. Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.
Rozwiązanie:
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie trzywyrazowe ciągi o wyrazach ze zbioru


1,2,3,4,5,6 (czyli trójelementowe wariacje z powtórzeniami tego zbioru). Jest to model
klasyczny.
3
6
216


Wprowadźmy oznaczenia dla zdarzeń
A - otrzymamy co najmniej raz jedno oczko,
B - otrzymamy co najmniej raz sześć oczek.
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe
(
)
(
)
( )
A
B
P A
B
P A B
P B
B




Moc zdarzenia B obliczymy, korzystając z pojęcia zdarzenia przeciwnego, które polega na
tym, że nie otrzymamy ani razu sześciu oczek.
3
3
6
5
216 125
91
B
B






Zdarzenie A
B

jest sumą parami rozłącznych zdarzeń:
 otrzymamy raz jedno oczko, raz sześć oczek i raz liczbę oczek ze zbioru 

2,3,4,5 -
możliwe są 3 2 4
24

takie wyniki,
 otrzymamy raz jedno oczko i dwa razy sześć oczek; możliwe są 3 takie wyniki,
 otrzymamy dwa razy jedno oczko i raz sześć oczek; możliwe są 3 takie wyniki.
Stąd
30
A
B


i
30
(
)
91
P A B 
Uwaga:
A
B

można obliczyć korzystając z prawa de Morgana.






A
B
A
B
A
B
A
B
A
B




















3
3
3
3
6
5
5
4
30




Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zapisanie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe przy poprawnie wprowadzonych
oznaczeniach.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Obliczenie
91
B 
lub
( )
P B .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Obliczenie
30
A
B


lub
(
)
P A
B

Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Rozwiązanie zadania do końca z błędami rachunkowymi.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Obliczenie
30
(
)
91
P A B 

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{30}{91}$

"}]}