{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"17","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (0-6)\nDany jest okrąg\n0\no o równaniu \n\n\n\n2\n2\n3\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n. W pierwszej „ćwiartce” układu\nwspółrzędnych istnieją dwa okręgi\n1\n2\n,\no o styczne zewnętrznie do okręgu\n0\no i jednocześnie\nstyczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów\n1o oraz\n2\no .\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n17.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-6)\nDany jest okrąg\n0\no o równaniu \n\n\n\n2\n2\n3\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n. W pierwszej „ćwiartce” układu\nwspółrzędnych istnieją dwa okręgi\n1\n2\n,\no\no styczne zewnętrznie do okręgu\n0\no i jednocześnie\nstyczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów\n1o oraz\n2\no .\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii\nR8.5. Zdający posługuje się równaniem okręgu\n\n\n\n\n2\n2\n2\nx\na\ny\nb\nr\n\n\n\n\noraz opisuje koła za pomocą\nnierówności.\nRozwiązanie:\nOkrąg o równaniu \n\n\n\n2\n2\n3\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n ma środek w punkcie \n\n3,1 i promień 1. Z treści\nzadania wynika, że okręgi 1\n2\n,\no\no leżą w pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych.\nRównanie okręgu leżącego w I „ćwiartce” układu współrzędnych i stycznego do obu osi\nukładu jest postaci\n\n\n\n\n2\n2\n2\nx\nr\ny\nr\nr\n\n\n\n\n, gdzie\n0\nr \nZapisujemy warunek styczności okręgów. Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli odległość\nśrodków tych okręgów jest równa sumie ich promieni, zatem\n\n\n\n\n2\n2\n3\n1\n1\nr\nr\nr\n\n\n\n\n.\nPrzekształcając to równanie, otrzymujemy równanie\n2\n10\n9\n0\nr\nr\n\n\n\n, które ma dwa\nrozwiązania 1\n2\n1,\n9\nr\nr\n\n\nŚrodki\n1\n2\n,\nS S okręgów\n1\n2\n,\no o mają współrzędne\n\n\n1\n1,1\nS \n,\n\n\n2\n9,9\nS \ni ich odległość jest\nrówna\n8 2 .\nSchemat oceniania:\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZapisanie, że okrąg o równaniu \n\n\n\n2\n2\n3\n1\n1\nx\ny\n\n\n\n ma środek w punkcie \n\n3,1 i promień 1.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZapisanie postaci równania okręgu leżącego w I „ćwiartce” układu współrzędnych\ni stycznego do obu osi układu jest postaci \n\n\n\n2\n2\n2\nx\nr\ny\nr\nr\n\n\n\n\n, gdzie\n0\nr \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZapisanie równania wynikającego z warunku styczności okręgów\n\n\n\n\n2\n2\n3\n1\n1\nr\nr\nr\n\n\n\n\n\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nObliczenie odległości środków okręgów: 8 2 .","solution":"$8\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 17. (0-6)
Dany jest okrąg
0
o o równaniu 



2
2
3
1
1
x
y



. W pierwszej „ćwiartce” układu
współrzędnych istnieją dwa okręgi
1
2
,
o o styczne zewnętrznie do okręgu
0
o i jednocześnie
styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów
1o oraz
2
o .

\n

Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
17.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-6)
Dany jest okrąg
0
o o równaniu 



2
2
3
1
1
x
y



. W pierwszej „ćwiartce” układu
współrzędnych istnieją dwa okręgi
1
2
,
o
o styczne zewnętrznie do okręgu
0
o i jednocześnie
styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów
1o oraz
2
o .
IV. Użycie i tworzenie
strategii
R8.5. Zdający posługuje się równaniem okręgu




2
2
2
x
a
y
b
r




oraz opisuje koła za pomocą
nierówności.
Rozwiązanie:
Okrąg o równaniu 



2
2
3
1
1
x
y



 ma środek w punkcie 

3,1 i promień 1. Z treści
zadania wynika, że okręgi 1
2
,
o
o leżą w pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych.
Równanie okręgu leżącego w I „ćwiartce” układu współrzędnych i stycznego do obu osi
układu jest postaci




2
2
2
x
r
y
r
r




, gdzie
0
r 
Zapisujemy warunek styczności okręgów. Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli odległość
środków tych okręgów jest równa sumie ich promieni, zatem




2
2
3
1
1
r
r
r




.
Przekształcając to równanie, otrzymujemy równanie
2
10
9
0
r
r



, które ma dwa
rozwiązania 1
2
1,
9
r
r


Środki
1
2
,
S S okręgów
1
2
,
o o mają współrzędne


1
1,1
S 
,


2
9,9
S 
i ich odległość jest
równa
8 2 .
Schemat oceniania:
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zapisanie, że okrąg o równaniu 



2
2
3
1
1
x
y



 ma środek w punkcie 

3,1 i promień 1.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zapisanie postaci równania okręgu leżącego w I „ćwiartce” układu współrzędnych
i stycznego do obu osi układu jest postaci 



2
2
2
x
r
y
r
r




, gdzie
0
r 
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zapisanie równania wynikającego z warunku styczności okręgów




2
2
3
1
1
r
r
r





Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Obliczenie odległości środków okręgów: 8 2 .

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$8\\sqrt{2}$

"}]}