{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"18","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (0-7)\nOkno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa\ni ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego\ntrapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole\npowierzchni okna było największe. Oblicz to pole.\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n18.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (0-7)\nOkno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa\ni ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego\ntrapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole\npowierzchni okna było największe. Oblicz to pole.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja\nR11.6. Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nRozwiązanie (I sposób):\nNiech x oznacza długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierająca dłuższą\npodstawę trapezu, a h - wysokość trapezu.\nZ geometrycznych warunków zadania wynika, że 0\n4\nx\n\n\nPrzy tak przyjętych oznaczeniach pole trapezu jest określone wzorem:\n\n\n2 4\n2\n4\n2\nx\nP\nh\nx\nh\n\n\n\n\n\n\ni 0\n4\nx\n\n\nx\n4\nx\n4\n4\n4\nh\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n2\n2\n2\n4\nx\nh\n\n\n,\nstąd\n2\n16\nh\nx\n\n\nPole trapezu, w zależności od zmiennej x, jest określone wzorem:\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4\n16\n4\n16\nP x\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n3\n4\n3\n4\n4\n8\n128\n256\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\ngdzie 0\n4\nx\n\n\nNależy obliczyć, dla jakiego x spełniającego nierówność 0\n4\nx\n\n\n, funkcja P określona\nwzorem \n4\n3\n8\n128\n256\nP x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\nprzyjmuje wartość największą.\nFunkcja P osiąga wartość największą, gdy funkcja\n\n4\n3\n8\n128\n256\nf x\nx\nx\nx\n\n\n\n\nosiąga\nw przedziale \n\n0,4 wartość największą. Wystarczy więc zbadać funkcję f. Wyznaczmy\npochodną tej funkcji\n\n3\n2\n4\n24\n128\nf\nx\nx\nx\n\n\n\n\nNastępnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n1\n2\n4\nx\nx\n\n,\n3\n2\nx \nPonadto:\n\n\n0\nf\nx\n\n\nw przedziale \n\n0,2 ,\n\n\n0\nf\nx\n\n\nw przedziale \n\n2,4\nZatem funkcja f jest rosnąca w przedziale 0,2 i malejąca w przedziale\n\n2,4 .\nPonieważ \n\nP x\nf x\n\ndla\n\n\n0,4\nx\n, więc funkcja P jest rosnąca w przedziale 0,2 ,\na malejąca w przedziale\n\n2,4 . Stąd wynika, że w punkcie\n2\nx \nfunkcja P przyjmuje\nwartość największą.\nGdy\n2\nx \n, to 2\n4\n8\nx \n, czyli dłuższa podstawa trapezu ma długość 8, a pole tego trapezu\njest wówczas równe\n\n\n\n2\n2\n4\n2\n16\n2\n6 2 3\n12 3\nP\n\n\n\n\n\n\nOdpowiedź: Największe pole, równe 12 3 dm2, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa\npodstawa ma długość 8 dm.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania:\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\na) wybór zmiennej x (długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą\nzawierająca dłuższą podstawę trapezu) i zapisanie za pomocą tej zmiennej\nwysokości trapezu:\n2\n16\nh\nx\n\n\nb) zapisanie pola trapezu w zależności od zmiennej x: \n\n\n2\n4\n16\nP x\nx\nx\n\n\n\nc) określenie dziedziny funkcji P: \n\n0, 4\nZdający może otrzymać maksymalnie po 1 punkcie za realizację każdej z części tego etapu,\nprzy czym dziedzina funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale\nz geometrycznych warunków zadania.\nDrugi etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\n\n4\n3\n8\n128\n256\nf x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n:\n\n3\n2\n4\n24\n128\nf\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\nb) obliczenie miejsc zerowych pochodnej:\n1\n2\n4\nx\nx\n\n,\n3\n2\nx \n,\nc) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja P osiąga\nwartość największą w punkcie\n2\nx \nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nTrzeci etap.\nObliczenie pola trapezu dla\n2\nx \n: \n2\n12 3\nP\n\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga:\nPunkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie\n2\nx \nRozwiązanie (II sposób):\nNiech x oznacza długość dłuższej podstawy trapezu, a h - wysokość trapezu.\nDługość y rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierająca dłuższą podstawę\ntrapezu jest wówczas równa\n4\n2\nx\ny\n\n\nZ geometrycznych warunków zadania wynika, że 4\n12\nx\n\n\nPrzy tak przyjętych oznaczeniach pole trapezu jest określone wzorem:\n4\n2\nx\nP\nh\n\n\n\ni 4\n12\nx\n\n\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n2\n2\n2\n4\ny\nh\n\n\n,\n\n\n2\n2\n2\n4\n2\n4\nx\nh\n\n\n\nstąd\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n16\n64\n8\n16\n1\n2\n4\n4\n2\n16\n16\n8\n48\nx\nx\nx\nx\nx\nh\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trapezu, w zależności od zmiennej x, jest określone wzorem:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4 1\n1\n8\n48\n4\n8\n48\n2\n2\n4\nx\nP x\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n4\n2\n1\n1\n8\n16\n8\n48\n96\n512\n768\n4\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ngdzie 4\n12\nx\n\n\nx\n4\ny\n4\n4\n4\ny\nh\nNależy obliczyć, dla jakiego x spełniającego nierówność 4\n12\nx\n\n\n, funkcja P określona\nwzorem \n4\n2\n1\n96\n512\n768\n4\nP x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\nprzyjmuje wartość największą.\nFunkcja P osiąga wartość największą, gdy funkcja\n\n4\n2\n96\n512\n768\nf x\nx\nx\nx\n\n\n\n\nosiąga\nw przedziale \n\n4,12 wartość największą. Wystarczy więc zbadać funkcję f. Wyznaczmy\npochodną tej funkcji\n\n3\n4\n192\n512\nf\nx\nx\nx\n\n\n\n\nNastępnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n1\n2\n4\nx\nx\n\n,\n3\n8\nx \nPonadto:\n\n\n0\nf\nx\n\n\nw przedziale \n\n4,8\n\n\n0\nf\nx\n\n\nw przedziale \n\n8,12\nZatem funkcja f jest rosnąca w przedziale 4,8 i malejąca w przedziale\n\n8,12 .\nPonieważ \n\n1\n4\nP x\nf x\n\ndla\n\n\n4,12\nx\n, więc funkcja P jest rosnąca w przedziale 4,8 ,\na malejąca w przedziale\n\n8,12 . Stąd wynika, że w punkcie\n8\nx  funkcja P przyjmuje\nwartość największą.\nDla\n8\nx  pole tego trapezu jest równe\n\n2\n4\n8 1\n8\n8\n8 8\n48\n3 48\n12 3\n2\n2\nP\n\n\n\n\n\n\n\nOdpowiedź.: Największe pole, równe 12 3 dm2, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa\npodstawa ma długość 8 dm.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania:\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\na) wybór zmiennej x (długość dłuższej podstawy trapezu) i zapisanie za pomocą tej\nzmiennej wysokości trapezu:\n\n\n2\n4\n2\n16\nx\nh\n\n\n\nb) zapisanie pola trapezu w zależności od zmiennej x: \n2\n4\n8\n48\n4\nx\nP x\nx\nx\n\n\n\n\n\nc) określenie dziedziny funkcji P: \n\n4, 12 .\nZdający może otrzymać maksymalnie po 1 punkcie za realizację każdej z części tego etapu,\nprzy czym dziedziną funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale\nz geometrycznych warunków zadania.\nDrugi etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\n\n4\n2\n96\n512\n768\nf x\nx\nx\nx\n\n\n\n\n:\n\n3\n4\n192\n512\nf\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\nb) obliczenie miejsc zerowych pochodnej:\n1\n2\n4\nx\nx\n\n,\n3\n8\nx \n,\nc) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja P osiąga\nwartość największą w punkcie\n8\nx .\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nTrzeci etap.\nObliczenie pola trapezu dla\n8\nx : \n8\n12 3\nP\n\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga:\nPunkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie\n8\nx .","solution":"Największe pole, równe $12\\sqrt{3}$ dm$^2$, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa podstawa ma długość 8 dm.","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 18. (0-7)
Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa
i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego
trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole
powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

\n

Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
18.
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt

\n

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-7)
Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa
i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego
trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole
powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.
V. Rozumowanie
i argumentacja
R11.6. Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania
zagadnień optymalizacyjnych.
Rozwiązanie (I sposób):
Niech x oznacza długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierająca dłuższą
podstawę trapezu, a h - wysokość trapezu.
Z geometrycznych warunków zadania wynika, że 0
4
x


Przy tak przyjętych oznaczeniach pole trapezu jest określone wzorem:


2 4
2
4
2
x
P
h
x
h






i 0
4
x


x
4
x
4
4
4
h
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
2
2
2
4
x
h


,
stąd
2
16
h
x


Pole trapezu, w zależności od zmiennej x, jest określone wzorem:






2
2
2
4
16
4
16
P x
x
x
x
x










3
4
3
4
4
8
128
256
x
x
x
x
x








gdzie 0
4
x


Należy obliczyć, dla jakiego x spełniającego nierówność 0
4
x


, funkcja P określona
wzorem 
4
3
8
128
256
P x
x
x
x





przyjmuje wartość największą.
Funkcja P osiąga wartość największą, gdy funkcja

4
3
8
128
256
f x
x
x
x




osiąga
w przedziale 

0,4 wartość największą. Wystarczy więc zbadać funkcję f. Wyznaczmy
pochodną tej funkcji

3
2
4
24
128
f
x
x
x




Następnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
1
2
4
x
x

,
3
2
x 
Ponadto:


0
f
x


w przedziale 

0,2 ,


0
f
x


w przedziale 

2,4
Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale 0,2 i malejąca w przedziale

2,4 .
Ponieważ 

P x
f x

dla


0,4
x
, więc funkcja P jest rosnąca w przedziale 0,2 ,
a malejąca w przedziale

2,4 . Stąd wynika, że w punkcie
2
x 
funkcja P przyjmuje
wartość największą.
Gdy
2
x 
, to 2
4
8
x 
, czyli dłuższa podstawa trapezu ma długość 8, a pole tego trapezu
jest wówczas równe



2
2
4
2
16
2
6 2 3
12 3
P






Odpowiedź: Największe pole, równe 12 3 dm2, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa
podstawa ma długość 8 dm.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania:
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap składa się z trzech części:
a) wybór zmiennej x (długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą
zawierająca dłuższą podstawę trapezu) i zapisanie za pomocą tej zmiennej
wysokości trapezu:
2
16
h
x


b) zapisanie pola trapezu w zależności od zmiennej x: 


2
4
16
P x
x
x



c) określenie dziedziny funkcji P: 

0, 4
Zdający może otrzymać maksymalnie po 1 punkcie za realizację każdej z części tego etapu,
przy czym dziedzina funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale
z geometrycznych warunków zadania.
Drugi etap składa się z trzech części:
a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej

4
3
8
128
256
f x
x
x
x




:

3
2
4
24
128
f
x
x
x




,
b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej:
1
2
4
x
x

,
3
2
x 
,
c) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja P osiąga
wartość największą w punkcie
2
x 
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
Trzeci etap.
Obliczenie pola trapezu dla
2
x 
: 
2
12 3
P

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga:
Punkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie
2
x 
Rozwiązanie (II sposób):
Niech x oznacza długość dłuższej podstawy trapezu, a h - wysokość trapezu.
Długość y rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierająca dłuższą podstawę
trapezu jest wówczas równa
4
2
x
y


Z geometrycznych warunków zadania wynika, że 4
12
x


Przy tak przyjętych oznaczeniach pole trapezu jest określone wzorem:
4
2
x
P
h



i 4
12
x


Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
2
2
2
4
y
h


,


2
2
2
4
2
4
x
h



stąd


2
2
2
2
4
8
16
64
8
16
1
2
4
4
2
16
16
8
48
x
x
x
x
x
h
x
x















Pole trapezu, w zależności od zmiennej x, jest określone wzorem:




2
2
2
4 1
1
8
48
4
8
48
2
2
4
x
P x
x
x
x
x
x















2
2
4
2
1
1
8
16
8
48
96
512
768
4
4
x
x
x
x
x
x
x











gdzie 4
12
x


x
4
y
4
4
4
y
h
Należy obliczyć, dla jakiego x spełniającego nierówność 4
12
x


, funkcja P określona
wzorem 
4
2
1
96
512
768
4
P x
x
x
x





przyjmuje wartość największą.
Funkcja P osiąga wartość największą, gdy funkcja

4
2
96
512
768
f x
x
x
x




osiąga
w przedziale 

4,12 wartość największą. Wystarczy więc zbadać funkcję f. Wyznaczmy
pochodną tej funkcji

3
4
192
512
f
x
x
x




Następnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
1
2
4
x
x

,
3
8
x 
Ponadto:


0
f
x


w przedziale 

4,8


0
f
x


w przedziale 

8,12
Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale 4,8 i malejąca w przedziale

8,12 .
Ponieważ 

1
4
P x
f x

dla


4,12
x
, więc funkcja P jest rosnąca w przedziale 4,8 ,
a malejąca w przedziale

8,12 . Stąd wynika, że w punkcie
8
x  funkcja P przyjmuje
wartość największą.
Dla
8
x  pole tego trapezu jest równe

2
4
8 1
8
8
8 8
48
3 48
12 3
2
2
P







Odpowiedź.: Największe pole, równe 12 3 dm2, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa
podstawa ma długość 8 dm.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania:
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap składa się z trzech części:
a) wybór zmiennej x (długość dłuższej podstawy trapezu) i zapisanie za pomocą tej
zmiennej wysokości trapezu:


2
4
2
16
x
h



b) zapisanie pola trapezu w zależności od zmiennej x: 
2
4
8
48
4
x
P x
x
x





c) określenie dziedziny funkcji P: 

4, 12 .
Zdający może otrzymać maksymalnie po 1 punkcie za realizację każdej z części tego etapu,
przy czym dziedziną funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale
z geometrycznych warunków zadania.
Drugi etap składa się z trzech części:
a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej

4
2
96
512
768
f x
x
x
x




:

3
4
192
512
f
x
x
x




,
b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej:
1
2
4
x
x

,
3
8
x 
,
c) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja P osiąga
wartość największą w punkcie
8
x .
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
Trzeci etap.
Obliczenie pola trapezu dla
8
x : 
8
12 3
P

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga:
Punkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie
8
x .

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Największe pole, równe $12\\sqrt{3}$ dm$^2$, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa podstawa ma długość 8 dm.

"}]}