{"id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nDługości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą\nprzekątne tego prostokąta.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nDługości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą\nprzekątne tego prostokąta.\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\n6.1., R6.5. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od\n0\ndo 180\n, stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy\nkątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.\nRozwiązanie (I sposób):\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWtedy \n\n\n. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n34\nAC \nPonieważ\n3\nsin\n34\n\noraz\n5\ncos\n34\n\n, więc\n3\n5\n15\nsin\n2sin\ncos\n2\n17\n34\n34\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie (II sposób):\nPrzekątna tego prostokąta ma długość\n34 . Niech  oznacza kąt ostry między przekątnymi\ntego prostokąta.\nObliczamy pole P prostokąta dwoma sposobami:\n3 5\n15\nP \n,\n1\n34\n34\n4\nsin\n17sin\n2\n2\n2\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n15\nsin\n17\n\nA\nB\nC\nD\n\nS\n\n3\n5\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje - 1 pkt\njeżeli:\npoda wartość\n3\nsin 2\n34\n\ni\n5\ncos 2\n34\n\nalbo\npoda sposób obliczenia pola prostokąta przy wykorzystaniu sin.\nZdający otrzymuje - 2 pkt\njeżeli obliczy\n15\nsin\n17\n","solution":"$\\dfrac{15}{17}$","image":"img/matematyka-2014-grudzien-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 7. (0-2)
Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą
przekątne tego prostokąta.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.
7.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-2)
Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą
przekątne tego prostokąta.
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
6.1., R6.5. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza
wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od
0
do 180
, stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy
kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.
Rozwiązanie (I sposób):
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wtedy 


. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
34
AC 
Ponieważ
3
sin
34

oraz
5
cos
34

, więc
3
5
15
sin
2sin
cos
2
17
34
34








Rozwiązanie (II sposób):
Przekątna tego prostokąta ma długość
34 . Niech  oznacza kąt ostry między przekątnymi
tego prostokąta.
Obliczamy pole P prostokąta dwoma sposobami:
3 5
15
P 
,
1
34
34
4
sin
17sin
2
2
2
P








Stąd
15
sin
17

A
B
C
D

S

3
5
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje - 1 pkt
jeżeli:
poda wartość
3
sin 2
34

i
5
cos 2
34

albo
poda sposób obliczenia pola prostokąta przy wykorzystaniu sin.
Zdający otrzymuje - 2 pkt
jeżeli obliczy
15
sin
17


","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{15}{17}$

"}]}