{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów\nrównań.\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-1\n1\n2\n3\n4\n0\nx\ny\nWskaż ten układ.\nA.\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n1\nx\ny\nx\ny\nB.\n1\n2\n4\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\nC.\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n1\nx\ny\nx\ny\nD.\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n1\nx\ny\nx\ny\nNa rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. A. { y = x-1, y = -2x+4, B. {y = x-1, y = 2x+4, C. { y = x+1, y = -2x+4, D. { y = x+1, y = 2x+4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\n(1 pkt)\nWersja\narkusza\nA\nWersja\narkusza\nB\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nInterpretacja geometryczna\nukładu dwóch równań\nliniowych z dwiema\nniewiadomymi (II.8.d)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]\n\n## Sposób 1 - Zastosowanie definicji pierwiastka i wartości bezwzględnej\n\nKluczowy fakt: dla **dowolnej** liczby rzeczywistej \\(a\\) zachodzi:\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]\n\nDlaczego? Bo \\(\\sqrt{\\cdot}\\) zawsze zwraca wartość **nieujemną**, a \\(|a|\\) to właśnie nieujemna wersja \\(a\\). Formalnie: szukamy takiego \\(b \\geq 0\\), że \\(b^2 = a^2\\) - i tym \\(b\\) jest dokładnie \\(|a|\\).\n\nW odpowiedzi D mamy \\(a = x + 1\\), gdzie \\(x\\) to dowolna liczba rzeczywista. Podstawiamy:\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]\n\nTa równość **zawsze zachodzi** - niezależnie od znaku \\(x+1\\). Sprawdzamy dla przykładów:\n\n- \\(x = 3\\): \\(\\sqrt{(3+1)^2} = \\sqrt{16} = 4\\), \\(|3+1| = 4\\) ✓\n- \\(x = -5\\): \\(\\sqrt{(-5+1)^2} = \\sqrt{16} = 4\\), \\(|-5+1| = |-4| = 4\\) ✓\n- \\(x = -1\\): \\(\\sqrt{(-1+1)^2} = \\sqrt{0} = 0\\), \\(|-1+1| = 0\\) ✓\n\n**Wniosek: równość D jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\).**\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie przez definicję wartości bezwzględnej (rozważenie przypadków)\n\nChcemy pokazać, że \\(\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Przypadek 1:** \\(x + 1 \\geq 0\\) (czyli \\(x \\geq -1\\))\n\nWtedy \\(|x+1| = x+1\\), a:\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = x+1 \\quad \\text{(bo } x+1 \\geq 0\\text{, więc pierwiastek = sama liczba)}\\]\nObie strony równe \\(x+1\\). ✓\n\n**Przypadek 2:** \\(x + 1 < 0\\) (czyli \\(x < -1\\))\n\nWtedy \\(|x+1| = -(x+1)\\), a:\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = -(x+1) \\quad \\text{(bo } x+1 < 0\\text{, pierwiastek musi być dodatni)}\\]\nObie strony równe \\(-(x+1)\\). ✓\n\n**W obu przypadkach równość zachodzi** - zatem D jest prawdziwe dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\nUżyta w Sposobie 2 do rozważenia przypadków.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - wzór:\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]\nTo jest **kluczowy wzór** całego zadania, użyty w Sposobie 1. Często zapisany jako konsekwencja definicji pierwiastka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Twierdzenie | Błąd / kontrprzykład |\n| A | \\(\\sqrt{x^2} = x\\) | Dla \\(x = -3\\): \\(\\sqrt{9} = 3 \\neq -3\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\), nie \\(x\\) |\n| B | \\(|-x| = x\\) | Dla \\(x = -3\\): \\(|-(-3)| = |3| = 3 \\neq -3\\). Poprawnie: \\(|-x| = |x|\\), co bywa ujemne tylko gdy nigdy - \\(|x| \\geq 0\\) zawsze |\n| C | \\(|x-1| = x-1\\) | Prawdziwe tylko dla \\(x \\geq 1\\). Dla \\(x = 0\\): \\(|0-1| = 1 \\neq -1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to myślenie, że \\(\\sqrt{x^2} = x\\). To **nieprawda**! Zawsze \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\). Pierwiastek nigdy nie daje wartości ujemnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B kusi, bo \\(|-x|\\) wygląda jak \"coś się upraszcza do \\(x\\)\". Ale \\(|-x| = |x|\\) - i dla \\(x < 0\\) to jest liczba dodatnia, a \\(x\\) jest ujemne, więc równość nie zachodzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C jest prawdziwa **warunkowo** (dla \\(x \\geq 1\\)) - to klasyczna pułapka. Zadanie pyta o prawdziwość **dla każdego** \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc jeden kontrprzykład wystarczy, by odrzucić odpowiedź.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność pierwiastka z kwadratu\nDla każdej liczby rzeczywistej \\(t\\) zachodzi \\(\\sqrt{t^2} = |t|\\). Stosując dla \\(t = x+1\\):\n\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]\nRówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie kontrprzykładem pozostałych\nWystarczy podać jeden \\(x\\), dla którego równość jest fałszywa.\n- **A.** \\(x=-1\\): \\(\\sqrt{1}=1 \\ne -1\\).\n- **B.** \\(x=-1\\): \\(|1|=1 \\ne -1\\).\n- **C.** \\(x=0\\): \\(|-1|=1 \\ne -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(\\sqrt{x^2}=|x|\\), czyli \\(= x\\) tylko dla \\(x \\ge 0\\).\n- **B.** \\(|-x|=|x|\\), a \\(|x|=x\\) tylko dla \\(x \\ge 0\\).\n- **C.** \\(|x-1|=x-1\\) tylko dla \\(x \\ge 1\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów
równań.
-2
-1
1
2
3
-1
1
2
3
4
0
x
y
Wskaż ten układ.
A.








4
2
1
x
y
x
y
B.
1
2
4
y
x
y
x







C.








4
2
1
x
y
x
y
D.







4
2
1
x
y
x
y
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. A. { y = x-1, y = -2x+4, B. {y = x-1, y = 2x+4, C. { y = x+1, y = -2x+4, D. { y = x+1, y = 2x+4

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna odpowiedź
(1 pkt)
Wersja
arkusza
A
Wersja
arkusza
B
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Interpretacja geometryczna
układu dwóch równań
liniowych z dwiema
niewiadomymi (II.8.d)
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]

\n

Sposób 1 - Zastosowanie definicji pierwiastka i wartości bezwzględnej

\n

Kluczowy fakt: dla dowolnej liczby rzeczywistej \\(a\\) zachodzi:
\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]

\n

Dlaczego? Bo \\(\\sqrt{\\cdot}\\) zawsze zwraca wartość nieujemną, a \\(|a|\\) to właśnie nieujemna wersja \\(a\\). Formalnie: szukamy takiego \\(b \\geq 0\\), że \\(b^2 = a^2\\) - i tym \\(b\\) jest dokładnie \\(|a|\\).

\n

W odpowiedzi D mamy \\(a = x + 1\\), gdzie \\(x\\) to dowolna liczba rzeczywista. Podstawiamy:
\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]

\n

Ta równość zawsze zachodzi - niezależnie od znaku \\(x+1\\). Sprawdzamy dla przykładów:

\n\n

Wniosek: równość D jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\).

\n

Sposób 2 - Sprawdzenie przez definicję wartości bezwzględnej (rozważenie przypadków)

\n

Chcemy pokazać, że \\(\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\).

\n

Przypadek 1: \\(x + 1 \\geq 0\\) (czyli \\(x \\geq -1\\))

\n

Wtedy \\(|x+1| = x+1\\), a:
\\[\\sqrt{(x+1)^2} = x+1 \\quad \\text{(bo } x+1 \\geq 0\\text{, więc pierwiastek = sama liczba)}\\]
Obie strony równe \\(x+1\\). ✓

\n

Przypadek 2: \\(x + 1 < 0\\) (czyli \\(x < -1\\))

\n

Wtedy \\(|x+1| = -(x+1)\\), a:
\\[\\sqrt{(x+1)^2} = -(x+1) \\quad \\text{(bo } x+1 < 0\\text{, pierwiastek musi być dodatni)}\\]
Obie strony równe \\(-(x+1)\\). ✓

\n

W obu przypadkach równość zachodzi - zatem D jest prawdziwe dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - definicja:
\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]
Użyta w Sposobie 2 do rozważenia przypadków.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - wzór:
\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]
To jest kluczowy wzór całego zadania, użyty w Sposobie 1. Często zapisany jako konsekwencja definicji pierwiastka.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Twierdzenie | Błąd / kontrprzykład |
| A | \\(\\sqrt{x^2} = x\\) | Dla \\(x = -3\\): \\(\\sqrt{9} = 3 \\neq -3\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\), nie \\(x\\) |
| B | \\(|-x| = x\\) | Dla \\(x = -3\\): \\(|-(-3)| = |3| = 3 \\neq -3\\). Poprawnie: \\(|-x| = |x|\\), co bywa ujemne tylko gdy nigdy - \\(|x| \\geq 0\\) zawsze |
| C | \\(|x-1| = x-1\\) | Prawdziwe tylko dla \\(x \\geq 1\\). Dla \\(x = 0\\): \\(|0-1| = 1 \\neq -1\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Bardzo częsty błąd to myślenie, że \\(\\sqrt{x^2} = x\\). To nieprawda! Zawsze \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\). Pierwiastek nigdy nie daje wartości ujemnej.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B kusi, bo \\(|-x|\\) wygląda jak "coś się upraszcza do \\(x\\)". Ale \\(|-x| = |x|\\) - i dla \\(x < 0\\) to jest liczba dodatnia, a \\(x\\) jest ujemne, więc równość nie zachodzi.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C jest prawdziwa warunkowo (dla \\(x \\geq 1\\)) - to klasyczna pułapka. Zadanie pyta o prawdziwość dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc jeden kontrprzykład wystarczy, by odrzucić odpowiedź.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Własność pierwiastka z kwadratu
\n

Dla każdej liczby rzeczywistej \\(t\\) zachodzi \\(\\sqrt{t^2} = |t|\\). Stosując dla \\(t = x+1\\):
\\[\\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|\\]
Równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie kontrprzykładem pozostałych
\n

Wystarczy podać jeden \\(x\\), dla którego równość jest fałszywa.

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}