{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nPierwiastki\n1x ,\n2x równania 2(\n2)(\n2)\n0\nx\nx\n\n\n\nspełniają warunek\nA.\n1\n2\n1\n1\n1\nx\nx\n\n\nB.\n0\n1\n1\n2\n1\n\nx\nx\nC.\n4\n1\n1\n1\n2\n1\n\nx\nx\nD.\n1\n2\n1\n1\n1\n2\nx\nx\n\n\nPierwiastki x_1, x_2 równania 2(x+2)(x-2) = 0 spełniają warunek A. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, B. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, C. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, D. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznaczanie miejsca\nzerowego funkcji\nkwadratowej (I.4.j)\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x_W = 1\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na współrzędną wierzchołka \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)\n\nNajpierw rozwijamy nawiasy, żeby uzyskać postać ogólną trójmianu:\n\n\\[y = (x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8\\]\n\nMamy więc \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -8\\).\n\nPierwsza współrzędna wierzchołka (czyli współrzędna \\(x\\)):\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2}{2 \\cdot 1} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - symetria paraboli (bez rozwijania nawiasów)\n\nParabola jest symetryczna względem swojej osi, a oś przechodzi przez wierzchołek.\n\nMiejsca zerowe paraboli odczytujemy wprost z postaci iloczynowej \\(y = (x+2)(x-4)\\):\n\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4\\]\n\nWierzchołek leży **dokładnie w połowie** między miejscami zerowymi:\n\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(1\\).** ✓ Wynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka po rozwinięciu do postaci ogólnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-8\\) | Uczeń bierze wyraz wolny \\(c = -8\\) z postaci ogólnej - to **wartość funkcji w \\(x=0\\)**, nie współrzędna wierzchołka |\n| B. \\(-4\\) | Uczeń stosuje wzór Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 2\\), ale zapisuje go ze złym znakiem, albo myli sumę pierwiastków z ich średnią |\n| D. \\(2\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{x_1 + x_2}{2}\\) ale bierze \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 6\\) (myli znak drugiego pierwiastka), albo zapomina podzielić przez 2 i daje \\(x_1 + x_2 = 2\\) jako wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(c = -8\\) kusi jako odpowiedź - ale to wartość funkcji w miejscu \\(x = 0\\), a nie współrzędna wierzchołka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\((x+2)(x-4)\\) pierwiastki to \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\) - uważaj na znaki! Z nawiasu \\((x+2)\\) wyciągamy \\(x = -2\\), bo \\(-2+2=0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (symetria) jest szybszy i nie wymaga rozwijania nawiasów - warto go zapamiętać jako trik na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia miejsc zerowych\nMiejsca zerowe: \\(x_1=-2, x_2=4\\). Oś symetrii (pierwsza współrzędna wierzchołka):\n\\[x_w = \\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna i wzór \\(-\\tfrac{b}{2a}\\)\n\\(y=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8\\). Dla \\(a=1, b=-2\\):\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-2}{2} = 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\):** to wyraz wolny \\(c\\) (i \\(y_w\\) byłoby \\(-9\\), nie to).\n- **B. \\(-4\\):** jedno z miejsc zerowych (\\(x=4\\) to drugie).\n- **D. \\(2\\):** ktoś pomylił znak: \\(-(-4+2)\\) zamiast średniej.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Pierwiastki
1x ,
2x równania 2(
2)(
2)
0
x
x



spełniają warunek
A.
1
2
1
1
1
x
x


B.
0
1
1
2
1

x
x
C.
4
1
1
1
2
1

x
x
D.
1
2
1
1
1
2
x
x


Pierwiastki x_1, x_2 równania 2(x+2)(x-2) = 0 spełniają warunek A. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, B. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, C. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2, D. 1/x_1 + 1/x_2 = 1/2.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Wyznaczanie miejsca
zerowego funkcji
kwadratowej (I.4.j)
B
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(x_W = 1\\)

\n

Sposób 1 - wzór na współrzędną wierzchołka \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)

\n

Najpierw rozwijamy nawiasy, żeby uzyskać postać ogólną trójmianu:

\n

\\[y = (x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8\\]

\n

Mamy więc \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -8\\).

\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka (czyli współrzędna \\(x\\)):

\n

\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2}{2 \\cdot 1} = \\frac{2}{2} = 1\\]

\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(1\\).

\n

Sposób 2 - symetria paraboli (bez rozwijania nawiasów)

\n

Parabola jest symetryczna względem swojej osi, a oś przechodzi przez wierzchołek.

\n

Miejsca zerowe paraboli odczytujemy wprost z postaci iloczynowej \\(y = (x+2)(x-4)\\):
\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4\\]

\n

Wierzchołek leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:

\n

\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]

\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(1\\). ✓ Wynik zgodny z Metodą 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - współrzędna wierzchołka paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka po rozwinięciu do postaci ogólnej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(-8\\) | Uczeń bierze wyraz wolny \\(c = -8\\) z postaci ogólnej - to wartość funkcji w \\(x=0\\), nie współrzędna wierzchołka |
| B. \\(-4\\) | Uczeń stosuje wzór Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 2\\), ale zapisuje go ze złym znakiem, albo myli sumę pierwiastków z ich średnią |
| D. \\(2\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{x_1 + x_2}{2}\\) ale bierze \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 6\\) (myli znak drugiego pierwiastka), albo zapomina podzielić przez 2 i daje \\(x_1 + x_2 = 2\\) jako wynik |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wyraz wolny \\(c = -8\\) kusi jako odpowiedź - ale to wartość funkcji w miejscu \\(x = 0\\), a nie współrzędna wierzchołka!
\n
⚠️ Uwaga: W postaci iloczynowej \\((x+2)(x-4)\\) pierwiastki to \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\) - uważaj na znaki! Z nawiasu \\((x+2)\\) wyciągamy \\(x = -2\\), bo \\(-2+2=0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sposób 2 (symetria) jest szybszy i nie wymaga rozwijania nawiasów - warto go zapamiętać jako trik na egzaminie!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Średnia miejsc zerowych
\n

Miejsca zerowe: \\(x_1=-2, x_2=4\\). Oś symetrii (pierwsza współrzędna wierzchołka):
\\[x_w = \\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\]

\n
Sposób 2 - Postać ogólna i wzór \\(-\\tfrac{b}{2a}\\)
\n

\\(y=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8\\). Dla \\(a=1, b=-2\\):
\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-2}{2} = 1.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}