{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nLiczby 2, 1,\n4\n\n\nsą trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (\n)\nna\n,\nokreślonego dla liczb naturalnych\n1\nn . Wzór ogólny tego ciągu ma postać\nA.\n3\n5\nna\nn\n\n\nB.\n3\n\n\nn\na\nn\nC.\n3\nna\nn\n\nD.\n3\n5\nna\nn\n\n\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nLiczby 2, -1, -4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n >= 1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać A. a_n = -n+3, B. a_n = n-3, C. a_n = 3n-5, D. a_n = -3n+5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWyznaczanie wyrazów ciągu\nokreślonego wzorem\nogólnym (II.5.a)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(-1705\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę ciągu geometrycznego\n\n**Dane:**\n- \\(a_1 = 5\\)\n- \\(q = -2\\)\n- \\(n = 10\\)\n\nStosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \\(q \\neq 1\\)):\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)}\\]\n\nObliczamy \\((-2)^{10}\\). Wykładnik parzysty, więc wynik **dodatni**:\n\\[(-2)^{10} = 2^{10} = 1024\\]\n\nWstawiamy:\n\\[S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - 1024}{1 - (-2)} = 5 \\cdot \\frac{-1023}{3} = 5 \\cdot (-341) = -1705\\]\n\n**Wynik: \\(S_{10} = -1705\\)**\n\n## Sposób 2 - wypisanie i grupowanie wyrazów\n\nWypisujemy kolejne wyrazy ciągu \\(a_n = 5 \\cdot (-2)^{n-1}\\):\n\n| \\(n\\) | \\(a_n\\) |\n| 1 | \\(5\\) |\n| 2 | \\(-10\\) |\n| 3 | \\(20\\) |\n| 4 | \\(-40\\) |\n| 5 | \\(80\\) |\n| 6 | \\(-160\\) |\n| 7 | \\(320\\) |\n| 8 | \\(-640\\) |\n| 9 | \\(1280\\) |\n| 10 | \\(-2560\\) |\n\nGrupujemy parami (każda para daje wynik ujemny, bo \\(a_{2k-1} + a_{2k} = a_{2k-1}(1 + (-2)) = -a_{2k-1}\\)):\n\\[(5 + (-10)) + (20 + (-40)) + (80 + (-160)) + (320 + (-640)) + (1280 + (-2560))\\]\n\\[= (-5) + (-20) + (-80) + (-320) + (-1280)\\]\n\\[= -(5 + 20 + 80 + 320 + 1280)\\]\n\nTo ciąg geometryczny z \\(a_1' = 5\\), \\(q' = 4\\), \\(n = 5\\):\n\\[= -\\left(5 \\cdot \\frac{4^5 - 1}{4 - 1}\\right) = -\\left(5 \\cdot \\frac{1024 - 1}{3}\\right) = -\\left(5 \\cdot \\frac{1023}{3}\\right) = -(5 \\cdot 341) = -1705\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(S_{10} = -1705\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad \\text{dla } q \\neq 1\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wypisania wyrazów ciągu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(-1023\\) | Pominięto mnożenie przez \\(a_1 = 5\\) - obliczono tylko \\(\\frac{1 - (-2)^{10}}{1-(-2)} = \\frac{-1023}{3} = -341\\) ale to też nie jest \\(-1023\\). Inny wariant: wzięto \\(S_{10} = \\frac{1-q^{10}}{1-q}\\) z \\(a_1=1\\), a potem błędnie \\(\\frac{-1023}{1} = -1023\\) - czyli pominięto mianownik \\((1-q)=3\\) i podstawiono \\(a_1=1\\) |\n| C. \\(1705\\) | Poprawna wartość bezwzględna, ale zgubiono znak. Błąd: \\((-2)^{10}\\) obliczono jako \\(-1024\\) (niepoprawnie), co daje \\(\\frac{1-(-1024)}{3} = \\frac{1025}{3}\\), lub po prostu \"wzięto wynik jako dodatni\" bo \\(2^{10}=1024\\) kojarzy się z dodatnim |\n| D. \\(5115\\) | Użyto wzoru dla \\(q = 1\\): \\(S_{10} = 10 \\cdot a_1 = 50\\) - nie, to daje \\(50\\). Albo podstawiono \\(q = +2\\) zamiast \\(q = -2\\): \\(S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - 2^{10}}{1-2} = 5 \\cdot \\frac{-1023}{-1} = 5 \\cdot 1023 = 5115\\) ✓ - to klasyczna pułapka zgubienia minusa przy \\(q\\)! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(q = -2\\) jest **ujemny** - nie zapomnij o znaku! Wyrazy ciągu naprzemiennie zmieniają znak. Najczęstszy błąd to podstawienie \\(q = 2\\) zamiast \\(q = -2\\), co prowadzi do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-2)^{10} = +1024\\), bo wykładnik jest **parzysty**. Gdyby \\(n = 9\\), wynik byłby \\((-2)^9 = -512\\). Zawsze sprawdź parzystość wykładnika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}\\) mianownik to \\(1 - q = 1 - (-2) = 3\\), **nie** \\(1 + 2 = 3\\) tu akurat wychodzi to samo, ale przy innych \\(q\\) łatwo o błąd w znaku mianownika.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\dfrac{1 - q^n}{1 - q}.\\]\nDla \\(a_1=5, q=-2, n=10\\):\n\\[q^{10} = (-2)^{10} = 1024.\\]\n\\[S_{10} = 5 \\cdot \\dfrac{1 - 1024}{1 - (-2)} = 5 \\cdot \\dfrac{-1023}{3} = 5 \\cdot (-341) = -1705.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie sumowanie\nWyrazy: \\(5, -10, 20, -40, 80, -160, 320, -640, 1280, -2560\\). Suma:\n\\((5+20+80+320+1280) + (-10-40-160-640-2560) = 1705 + (-3410) = -1705\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-1023\\):** to \\((1-1024)\\) - nie pomnożone przez \\(\\tfrac{5}{3}\\).\n- **C. \\(1705\\):** ktoś zmylił znak: wziął \\(q=2\\) zamiast \\(-2\\).\n- **D. \\(5115\\):** to \\(1705\\cdot 3\\) - błędne dzielenie przez \\(1-q\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Liczby 2, 1,
4


są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (
)
na
,
określonego dla liczb naturalnych
1
n . Wzór ogólny tego ciągu ma postać
A.
3
5
na
n


B.
3


n
a
n
C.
3
na
n

D.
3
5
na
n

\n

Poziom podstawowy
5
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
6
Liczby 2, -1, -4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n >= 1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać A. a_n = -n+3, B. a_n = n-3, C. a_n = 3n-5, D. a_n = -3n+5.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wyznaczanie wyrazów ciągu
określonego wzorem
ogólnym (II.5.a)
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(-1705\\)

\n

Sposób 1 - wzór na sumę ciągu geometrycznego

\n

Dane:

\n\n

Stosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \\(q \\neq 1\\)):
\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]

\n

Podstawiamy:
\\[S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)}\\]

\n

Obliczamy \\((-2)^{10}\\). Wykładnik parzysty, więc wynik dodatni:
\\[(-2)^{10} = 2^{10} = 1024\\]

\n

Wstawiamy:
\\[S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - 1024}{1 - (-2)} = 5 \\cdot \\frac{-1023}{3} = 5 \\cdot (-341) = -1705\\]

\n

Wynik: \\(S_{10} = -1705\\)

\n

Sposób 2 - wypisanie i grupowanie wyrazów

\n

Wypisujemy kolejne wyrazy ciągu \\(a_n = 5 \\cdot (-2)^{n-1}\\):

\n

| \\(n\\) | \\(a_n\\) |
| 1 | \\(5\\) |
| 2 | \\(-10\\) |
| 3 | \\(20\\) |
| 4 | \\(-40\\) |
| 5 | \\(80\\) |
| 6 | \\(-160\\) |
| 7 | \\(320\\) |
| 8 | \\(-640\\) |
| 9 | \\(1280\\) |
| 10 | \\(-2560\\) |

\n

Grupujemy parami (każda para daje wynik ujemny, bo \\(a_{2k-1} + a_{2k} = a_{2k-1}(1 + (-2)) = -a_{2k-1}\\)):
\\[(5 + (-10)) + (20 + (-40)) + (80 + (-160)) + (320 + (-640)) + (1280 + (-2560))\\]
\\[= (-5) + (-20) + (-80) + (-320) + (-1280)\\]
\\[= -(5 + 20 + 80 + 320 + 1280)\\]

\n

To ciąg geometryczny z \\(a_1' = 5\\), \\(q' = 4\\), \\(n = 5\\):
\\[= -\\left(5 \\cdot \\frac{4^5 - 1}{4 - 1}\\right) = -\\left(5 \\cdot \\frac{1024 - 1}{3}\\right) = -\\left(5 \\cdot \\frac{1023}{3}\\right) = -(5 \\cdot 341) = -1705\\]

\n

Wynik zgodny: \\(S_{10} = -1705\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:
\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad \\text{dla } q \\neq 1\\]
Użyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1.

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do wypisania wyrazów ciągu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B. \\(-1023\\) | Pominięto mnożenie przez \\(a_1 = 5\\) - obliczono tylko \\(\\frac{1 - (-2)^{10}}{1-(-2)} = \\frac{-1023}{3} = -341\\) ale to też nie jest \\(-1023\\). Inny wariant: wzięto \\(S_{10} = \\frac{1-q^{10}}{1-q}\\) z \\(a_1=1\\), a potem błędnie \\(\\frac{-1023}{1} = -1023\\) - czyli pominięto mianownik \\((1-q)=3\\) i podstawiono \\(a_1=1\\) |
| C. \\(1705\\) | Poprawna wartość bezwzględna, ale zgubiono znak. Błąd: \\((-2)^{10}\\) obliczono jako \\(-1024\\) (niepoprawnie), co daje \\(\\frac{1-(-1024)}{3} = \\frac{1025}{3}\\), lub po prostu "wzięto wynik jako dodatni" bo \\(2^{10}=1024\\) kojarzy się z dodatnim |
| D. \\(5115\\) | Użyto wzoru dla \\(q = 1\\): \\(S_{10} = 10 \\cdot a_1 = 50\\) - nie, to daje \\(50\\). Albo podstawiono \\(q = +2\\) zamiast \\(q = -2\\): \\(S_{10} = 5 \\cdot \\frac{1 - 2^{10}}{1-2} = 5 \\cdot \\frac{-1023}{-1} = 5 \\cdot 1023 = 5115\\) ✓ - to klasyczna pułapka zgubienia minusa przy \\(q\\)! |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Iloraz \\(q = -2\\) jest ujemny - nie zapomnij o znaku! Wyrazy ciągu naprzemiennie zmieniają znak. Najczęstszy błąd to podstawienie \\(q = 2\\) zamiast \\(q = -2\\), co prowadzi do odpowiedzi D.
\n
⚠️ Uwaga: \\((-2)^{10} = +1024\\), bo wykładnik jest parzysty. Gdyby \\(n = 9\\), wynik byłby \\((-2)^9 = -512\\). Zawsze sprawdź parzystość wykładnika!
\n
⚠️ Uwaga: We wzorze \\(S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}\\) mianownik to \\(1 - q = 1 - (-2) = 3\\), nie \\(1 + 2 = 3\\) tu akurat wychodzi to samo, ale przy innych \\(q\\) łatwo o błąd w znaku mianownika.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego
\n

\\[S_n = a_1 \\cdot \\dfrac{1 - q^n}{1 - q}.\\]
Dla \\(a_1=5, q=-2, n=10\\):
\\[q^{10} = (-2)^{10} = 1024.\\]
\\[S_{10} = 5 \\cdot \\dfrac{1 - 1024}{1 - (-2)} = 5 \\cdot \\dfrac{-1023}{3} = 5 \\cdot (-341) = -1705.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośrednie sumowanie
\n

Wyrazy: \\(5, -10, 20, -40, 80, -160, 320, -640, 1280, -2560\\). Suma:
\\((5+20+80+320+1280) + (-10-40-160-640-2560) = 1705 + (-3410) = -1705\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}