{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nJeżeli trójkąty ABC i A' B' C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2\ni 50 cm2, to skala podobieństwa A' B'\nAB jest równa\nA. 2\nB.\n1\n2\nC.\n2\nD.\n2\n2\nJeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm^2 i 50 cm^2, to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa A. pierwiastek z 2 na 2, B. pierwiastek z 2, C. 1/2, D. 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWykorzystuje własności\nfigur podobnych w zadaniach\n(II.7.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(S_4 = 40\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\), potem suma\n\nMamy dwa warunki dla ciągu arytmetycznego:\n\\[a_2 = a_1 + r = 11\\]\n\\[a_4 = a_1 + 3r = 7\\]\n\n**Krok 1 - Wyznaczamy różnicę \\(r\\).**\n\nOdejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego:\n\\[(a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 7 - 11\\]\n\\[2r = -4\\]\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\nCiąg jest malejący - każdy wyraz jest o 2 mniejszy od poprzedniego.\n\n**Krok 2 - Wyznaczamy \\(a_1\\).**\n\\[a_1 = 11 - r = 11 - (-2) = \\boxed{13}\\]\n\n**Krok 3 - Obliczamy cztery wyrazy i sumę.**\n\\[a_1 = 13,\\quad a_2 = 11,\\quad a_3 = 9,\\quad a_4 = 7\\]\n\\[S_4 = 13 + 11 + 9 + 7 = \\mathbf{40}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz\n\nMamy \\(a_1 = 13\\) i \\(a_4 = 7\\) (wyznaczone wyżej). Zamiast sumować wszystkie cztery wyrazy ręcznie, używamy wzoru:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[S_4 = \\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 4 = \\frac{13 + 7}{2} \\cdot 4 = \\frac{20}{2} \\cdot 4 = 10 \\cdot 4 = \\mathbf{40}\\]\n\n**Dlaczego ten wzór działa?** W ciągu arytmetycznym wyrazy układają się symetrycznie - zawsze \\(a_1 + a_4 = a_2 + a_3\\). To jak para klamr, które po środku mają tę samą sumę. Mnożymy tę sumę przez 4 i dzielimy przez 2, bo mamy dwie takie pary.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania warunków dla \\(a_2\\) i \\(a_4\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 - wystarczyło znać pierwszy i ostatni wyraz.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(36\\)) | Uczeń liczy \\(S_4 = 4 \\cdot a_1 - \\text{coś}\\), albo myli \\(r = -2\\) z \\(r = +2\\) i dostaje \\(a_1 = 9\\); wtedy \\(9+11+13+7\\) da niepoprawną sumę, lub liczy tylko \\(a_2 + a_4 + \\ldots\\) |\n| C (\\(13\\)) | Uczeń myli sumę z pierwszym wyrazem \\(a_1 = 13\\) - wartość ta pojawia się w obliczeniach i łatwo ją pomylić z wynikiem |\n| D (\\(20\\)) | Uczeń sumuje tylko dwa dane wyrazy: \\(a_2 + a_4 = 11 + 7 = 18 \\approx 20\\), albo oblicza błędnie \\(\\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 2\\) zamiast \\(\\cdot 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r\\) wychodzi ujemna (\\(r = -2\\)), bo \\(a_4 < a_2\\). Nie wolno założyć z góry, że ciąg jest rosnący - zawsze sprawdź znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez \\(n\\) - wielu uczniów zatrzymuje się na \\(\\frac{13+7}{2} = 10\\) i wybiera odpowiedź D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) ma \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - dla \\(a_2\\) podstawiamy \\(n=2\\), więc \\(a_2 = a_1 + 1 \\cdot r\\), a nie \\(a_1 + 2r\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\)\nZ \\(a_4 = a_2 + 2r\\): \\(7 = 11 + 2r \\Rightarrow r = -2\\).\n\\(a_1 = a_2 - r = 11 - (-2) = 13\\).\nWyrazy: \\(13, 11, 9, 7\\). Suma: \\(13+11+9+7 = 40\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę\n\\(S_4 = \\dfrac{a_1 + a_4}{2}\\cdot 4 = \\dfrac{13+7}{2}\\cdot 4 = 10\\cdot 4 = 40\\).\n\nAlternatywnie: \\(S_4 = \\dfrac{(a_2+a_3)}{2}\\cdot 4 = \\dfrac{11+9}{2}\\cdot 4 = 40\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\):** ktoś zaokrąglił lub wziął \\(r=-1\\).\n- **C. \\(13\\):** to tylko \\(a_1\\), nie suma czterech.\n- **D. \\(20\\):** to \\(a_1+a_4\\), nie pomnożone przez \\(\\tfrac{4}{2}\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Jeżeli trójkąty ABC i A&#x27; B&#x27; C&#x27; są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2<br>i 50 cm2, to skala podobieństwa A&#x27; B&#x27;<br>AB jest równa<br>A. 2<br>B.<br>1<br>2<br>C.<br>2<br>D.<br>2<br>2<br>Jeżeli trójkąty ABC i A&#x27;B&#x27;C&#x27; są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm^2 i 50 cm^2, to skala podobieństwa A&#x27;B&#x27;/AB jest równa A. pierwiastek z 2 na 2, B. pierwiastek z 2, C. 1/2, D. 2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji<br>Wykorzystuje własności<br>figur podobnych w zadaniach<br>(II.7.b)<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(S_4 = 40\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\), potem suma</h4>\n<p>Mamy dwa warunki dla ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_2 = a_1 + r = 11\\]<br>\\[a_4 = a_1 + 3r = 7\\]</p>\n<p><strong>Krok 1 - Wyznaczamy różnicę \\(r\\).</strong></p>\n<p>Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego:<br>\\[(a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 7 - 11\\]<br>\\[2r = -4\\]<br>\\[\\boxed{r = -2}\\]</p>\n<p>Ciąg jest malejący - każdy wyraz jest o 2 mniejszy od poprzedniego.</p>\n<p><strong>Krok 2 - Wyznaczamy \\(a_1\\).</strong><br>\\[a_1 = 11 - r = 11 - (-2) = \\boxed{13}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Obliczamy cztery wyrazy i sumę.</strong><br>\\[a_1 = 13,\\quad a_2 = 11,\\quad a_3 = 9,\\quad a_4 = 7\\]<br>\\[S_4 = 13 + 11 + 9 + 7 = \\mathbf{40}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz</h4>\n<p>Mamy \\(a_1 = 13\\) i \\(a_4 = 7\\) (wyznaczone wyżej). Zamiast sumować wszystkie cztery wyrazy ręcznie, używamy wzoru:</p>\n<p>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Dla \\(n = 4\\):<br>\\[S_4 = \\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 4 = \\frac{13 + 7}{2} \\cdot 4 = \\frac{20}{2} \\cdot 4 = 10 \\cdot 4 = \\mathbf{40}\\]</p>\n<p><strong>Dlaczego ten wzór działa?</strong> W ciągu arytmetycznym wyrazy układają się symetrycznie - zawsze \\(a_1 + a_4 = a_2 + a_3\\). To jak para klamr, które po środku mają tę samą sumę. Mnożymy tę sumę przez 4 i dzielimy przez 2, bo mamy dwie takie pary.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania warunków dla \\(a_2\\) i \\(a_4\\).</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 - wystarczyło znać pierwszy i ostatni wyraz.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(36\\)) | Uczeń liczy \\(S_4 = 4 \\cdot a_1 - \\text{coś}\\), albo myli \\(r = -2\\) z \\(r = +2\\) i dostaje \\(a_1 = 9\\); wtedy \\(9+11+13+7\\) da niepoprawną sumę, lub liczy tylko \\(a_2 + a_4 + \\ldots\\) |<br>| C (\\(13\\)) | Uczeń myli sumę z pierwszym wyrazem \\(a_1 = 13\\) - wartość ta pojawia się w obliczeniach i łatwo ją pomylić z wynikiem |<br>| D (\\(20\\)) | Uczeń sumuje tylko dwa dane wyrazy: \\(a_2 + a_4 = 11 + 7 = 18 \\approx 20\\), albo oblicza błędnie \\(\\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 2\\) zamiast \\(\\cdot 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica \\(r\\) wychodzi ujemna (\\(r = -2\\)), bo \\(a_4 &lt; a_2\\). Nie wolno założyć z góry, że ciąg jest rosnący - zawsze sprawdź znak!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> We wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez \\(n\\) - wielu uczniów zatrzymuje się na \\(\\frac{13+7}{2} = 10\\) i wybiera odpowiedź D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) ma \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - dla \\(a_2\\) podstawiamy \\(n=2\\), więc \\(a_2 = a_1 + 1 \\cdot r\\), a nie \\(a_1 + 2r\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\)</h5>\n<p>Z \\(a_4 = a_2 + 2r\\): \\(7 = 11 + 2r \\Rightarrow r = -2\\).<br>\\(a_1 = a_2 - r = 11 - (-2) = 13\\).<br>Wyrazy: \\(13, 11, 9, 7\\). Suma: \\(13+11+9+7 = 40\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór na sumę</h5>\n<p>\\(S_4 = \\dfrac{a_1 + a_4}{2}\\cdot 4 = \\dfrac{13+7}{2}\\cdot 4 = 10\\cdot 4 = 40\\).</p>\n<p>Alternatywnie: \\(S_4 = \\dfrac{(a_2+a_3)}{2}\\cdot 4 = \\dfrac{11+9}{2}\\cdot 4 = 40\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(36\\):</strong> ktoś zaokrąglił lub wziął \\(r=-1\\).</li><li><strong>C. \\(13\\):</strong> to tylko \\(a_1\\), nie suma czterech.</li><li><strong>D. \\(20\\):</strong> to \\(a_1+a_4\\), nie pomnożone przez \\(\\tfrac{4}{2}\\).</li></ul>"}]}