{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nLiczby:\n2, 6, 12\nx \n, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu\ngeometrycznego. Liczba x jest równa\nA. 0\nB. 2\nC. 3\nD. 5\nLiczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa A. 5, B. 3, C. 2, D. 0.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nBadanie, czy dany ciąg jest\ngeometryczny (II.5.b)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - wyrażenie jest równe \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie przy użyciu jedynki trygonometrycznej\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** mianowniki można uprościć, bo \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).\n\nZapisujemy:\n\\[1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\]\n\\[1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[\\frac{\\cos^2\\alpha}{1-\\sin^2\\alpha} + \\frac{1-\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} = \\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}\\]\n\nKażdy ułamek upraszcza się do jedności:\n\\[= 1 + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n> Uwaga: ponieważ \\(0° < \\alpha < 90°\\), mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc dzielenie przez \\(\\sin^2\\alpha\\) i \\(\\cos^2\\alpha\\) jest poprawne - żaden mianownik nie jest zerem.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nSprawdzamy dla \\(\\alpha = 45°\\), gdzie \\(\\sin 45° = \\cos 45° = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\), czyli \\(\\sin^2 45° = \\cos^2 45° = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nLiczymy:\n\\[\\frac{\\cos^2 45°}{1-\\sin^2 45°} + \\frac{1-\\cos^2 45°}{\\sin^2 45°} = \\frac{\\frac{1}{2}}{1 - \\frac{1}{2}} + \\frac{1 - \\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}}\\]\n\n\\[= \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}} + \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2\\]\n\nOdpowiedź C daje \\(2\\) - zgadza się. Sprawdzamy też pozostałe opcje dla \\(\\alpha = 45°\\):\n- A: \\(1\\) ✗\n- B: \\(2\\cos^2 45° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) ✗\n- D: \\(2\\sin^2 45° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) ✗\n\nTylko C daje \\(2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nTo jest **serce całego zadania**. Stąd natychmiast wynika:\n\\[1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha \\qquad \\text{oraz} \\qquad 1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\]\n\nWłaśnie te podstawienia zamieniają oba ułamki w jedynki i skracają całe wyrażenie do \\(1 + 1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(1\\)) | Uczeń upraszcza tylko jeden z dwóch ułamków i zapomina o drugim - liczy samo \\(\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = 1\\) |\n| B (\\(2\\cos^2\\alpha\\)) | Uczeń myli \\(1 - \\sin^2\\alpha\\) z \\(\\sin^2\\alpha\\) w mianowniku i dostaje \\(\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}\\), a potem upraszcza błędnie |\n| D (\\(2\\sin^2\\alpha\\)) | Analogiczny błąd jak w B - zamiana miejscami mianowników pierwszego ułamka, przez co wynik zależy od \\(\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to nierozpoznanie wzoru \\(1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\). Jeśli zapamiętasz jedynkę trygonometryczną, ten typ zadania rozwiążesz w 10 sekund!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi B i D zależą od \\(\\alpha\\) - są zmienne. Jeśli upraszczasz wyrażenie i wychodzi ci coś z \\(\\sin\\alpha\\) lub \\(\\cos\\alpha\\), to sygnał, że gdzieś popełniłeś błąd - w tym zadaniu wynik musi być stałą liczbą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy mianownik nie jest zerem! Tu warunek \\(0° < \\alpha < 90°\\) gwarantuje \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\) i \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\), więc wszystko jest bezpieczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nZ \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) mamy:\n- \\(1-\\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\),\n- \\(1-\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\dfrac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} = 1+1 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(\\alpha=45^\\circ\\)\n\\(\\sin^2 45^\\circ = \\cos^2 45^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\):\n\\[\\dfrac{1/2}{1/2} + \\dfrac{1/2}{1/2} = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\):** tylko jeden ułamek dałby \\(1\\).\n- **B. \\(2\\cos^2\\alpha\\):** błąd - ktoś nie uprościł mianownika drugiego ułamka.\n- **D. \\(2\\sin^2\\alpha\\):** analogiczny błąd przy pierwszym ułamku.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
Liczby:
2, 6, 12
x 
, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego. Liczba x jest równa
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa A. 5, B. 3, C. 2, D. 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Badanie, czy dany ciąg jest
geometryczny (II.5.b)
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - wyrażenie jest równe \\(2\\)

\n

Sposób 1 - Uproszczenie przy użyciu jedynki trygonometrycznej

\n

Kluczowe spostrzeżenie: mianowniki można uprościć, bo \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\).

\n

Zapisujemy:
\\[1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\]
\\[1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\]

\n

Podstawiamy do wyrażenia:
\\[\\frac{\\cos^2\\alpha}{1-\\sin^2\\alpha} + \\frac{1-\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} = \\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}\\]

\n

Każdy ułamek upraszcza się do jedności:
\\[= 1 + 1 = \\mathbf{2}\\]

\n

Wynik: \\(2\\)

\n
Uwaga: ponieważ \\(0° < \\alpha < 90°\\), mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc dzielenie przez \\(\\sin^2\\alpha\\) i \\(\\cos^2\\alpha\\) jest poprawne - żaden mianownik nie jest zerem.
\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości

\n

Sprawdzamy dla \\(\\alpha = 45°\\), gdzie \\(\\sin 45° = \\cos 45° = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\), czyli \\(\\sin^2 45° = \\cos^2 45° = \\dfrac{1}{2}\\).

\n

Liczymy:
\\[\\frac{\\cos^2 45°}{1-\\sin^2 45°} + \\frac{1-\\cos^2 45°}{\\sin^2 45°} = \\frac{\\frac{1}{2}}{1 - \\frac{1}{2}} + \\frac{1 - \\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}}\\]

\n

\\[= \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}} + \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2\\]

\n

Odpowiedź C daje \\(2\\) - zgadza się. Sprawdzamy też pozostałe opcje dla \\(\\alpha = 45°\\):

\n\n

Tylko C daje \\(2\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

To jest serce całego zadania. Stąd natychmiast wynika:
\\[1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha \\qquad \\text{oraz} \\qquad 1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\]

\n

Właśnie te podstawienia zamieniają oba ułamki w jedynki i skracają całe wyrażenie do \\(1 + 1 = 2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(1\\)) | Uczeń upraszcza tylko jeden z dwóch ułamków i zapomina o drugim - liczy samo \\(\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = 1\\) |
| B (\\(2\\cos^2\\alpha\\)) | Uczeń myli \\(1 - \\sin^2\\alpha\\) z \\(\\sin^2\\alpha\\) w mianowniku i dostaje \\(\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}\\), a potem upraszcza błędnie |
| D (\\(2\\sin^2\\alpha\\)) | Analogiczny błąd jak w B - zamiana miejscami mianowników pierwszego ułamka, przez co wynik zależy od \\(\\alpha\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to nierozpoznanie wzoru \\(1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\). Jeśli zapamiętasz jedynkę trygonometryczną, ten typ zadania rozwiążesz w 10 sekund!
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedzi B i D zależą od \\(\\alpha\\) - są zmienne. Jeśli upraszczasz wyrażenie i wychodzi ci coś z \\(\\sin\\alpha\\) lub \\(\\cos\\alpha\\), to sygnał, że gdzieś popełniłeś błąd - w tym zadaniu wynik musi być stałą liczbą.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj, czy mianownik nie jest zerem! Tu warunek \\(0° < \\alpha < 90°\\) gwarantuje \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\) i \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\), więc wszystko jest bezpieczne.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
\n

Z \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) mamy:

\n\n

Podstawiamy:
\\[\\dfrac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\dfrac{\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha} = 1+1 = 2.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(\\alpha=45^\\circ\\)
\n

\\(\\sin^2 45^\\circ = \\cos^2 45^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\):
\\[\\dfrac{1/2}{1/2} + \\dfrac{1/2}{1/2} = 2.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}