{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nJeżeli  jest kątem ostrym oraz\n2\ntg\n5\n\n, to wartość wyrażenia 3cos\n2sin\nsin\n5cos\n\n\n\n\n\n jest równa\nA.\n11\n23\n\nB.\n24\n5\nC.\n23\n11\n\nD.\n5\n24\nJeżeli alfa jest kątem ostrym oraz tg alfa = 2/5, to wartość wyrażenia 3cos alfa - 2 sin alfa / sin alafa - 5cos alfa jest równa A. -23/11, B. -11/23, C. 5/24, D. 24/5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nStosowanie prostych\nzwiązków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta\nostrego (I.6.c)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Współrzędne i wzór na pole trapezu\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Ponieważ kąt \\(\\sphericalangle LKN = 90°\\), ramię \\(KN\\) jest prostopadłe do podstawy \\(KL\\). Umieszczamy:\n\n\\[K = (0,\\,0), \\quad L = (a,\\,0), \\quad N = (0,\\,4\\sqrt{3}), \\quad M = (3,\\,4\\sqrt{3})\\]\n\n(Wierzchołek \\(M\\) leży o \\(|MN|=3\\) na prawo od \\(N\\), bo \\(MN \\parallel KL\\).)\n\n**Wyznaczamy \\(|KL| = a\\) z warunku \\(\\sphericalangle KLM = 60°\\).**\n\nWektory wychodzące z \\(L\\):\n\\[\\vec{LK} = (-a,\\, 0), \\qquad \\vec{LM} = (3-a,\\, 4\\sqrt{3})\\]\n\nZe wzoru na cosinus kąta między wektorami:\n\\[\\cos 60° = \\frac{\\vec{LK} \\cdot \\vec{LM}}{|\\vec{LK}|\\,|\\vec{LM}|} = \\frac{(-a)(3-a)}{a\\cdot\\sqrt{(3-a)^2 + 48}} = \\frac{a-3}{\\sqrt{(a-3)^2+48}}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) i podstawienie \\(t = a - 3\\):\n\\[\\frac{t}{\\sqrt{t^2+48}} = \\frac{1}{2} \\implies 2t = \\sqrt{t^2+48}\\]\n\\[4t^2 = t^2 + 48 \\implies 3t^2 = 48 \\implies t^2 = 16 \\implies t = 4\\]\n\nZatem \\(a - 3 = 4\\), czyli \\(\\mathbf{|KL| = 7}\\).\n\n**Obliczamy pole trapezu.** Wysokość trapezu \\(h = |KN| = 4\\sqrt{3}\\) (prostopadła do podstawy).\n\n\\[P = \\frac{|KL| + |MN|}{2} \\cdot h = \\frac{7 + 3}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} = 5 \\cdot 4\\sqrt{3} = \\boxed{20\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny przy ramieniu \\(LM\\)\n\n**Opuszczamy prostopadłą z \\(M\\) na podstawę \\(KL\\).** Niech \\(P\\) będzie jej stopą. Ponieważ \\(N\\) jest nad \\(K\\), a \\(M\\) jest nad punktem oddalonym o \\(3\\) od \\(K\\), mamy:\n\n\\[|MP| = |KN| = 4\\sqrt{3} \\quad \\text{(wysokość trapezu)}\\]\n\\[|PL| = |KL| - |MN| = a - 3\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(MPL\\) kąt przy \\(L\\) wynosi \\(60°\\) (to właśnie \\(\\sphericalangle KLM\\), bo \\(MP \\parallel KN\\)):\n\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{|MP|}{|PL|} = \\frac{4\\sqrt{3}}{a-3}\\]\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{4\\sqrt{3}}{a-3} \\implies a - 3 = 4 \\implies a = 7\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{7 + 3}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20) - pole trapezu:**\n\\[P = \\frac{a+b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy do końcowego obliczenia pola.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nW Sposobie 2 użyliśmy \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\) do wyznaczenia \\(|KL|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| **A** \\(4+2\\sqrt{3}\\) | Pomylono długości: użyto \\(|MN|=3\\) jako wysokości i obliczono pole prostokąta/trójkąta zamiast trapezu |\n| **B** \\(10\\sqrt{3}\\) | Wzięto połowę prawidłowej wysokości: \\(h = 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(4\\sqrt{3}\\), lub pomylono \\(|KL|=5\\) (np. z twierdzenia Pitagorasa bez uwzględnienia struktury trapezu) |\n| **D** \\(24+6\\sqrt{3}\\) | Nieuwzględnienie kąta prostego przy \\(K\\) - uznanie \\(KN\\) za ramię ukośne i dodanie do podstawy pełnej długości tego ramienia; błędna geometria |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\sphericalangle LKN = 90°\\) to kąt **przy wierzchołku \\(K\\)** między **podstawą \\(KL\\) a ramieniem \\(KN\\)** - stąd \\(KN\\) jest prostopada do podstawy i od razu jest wysokością trapezu. Nie mylić z kątem przy wierzchołku \\(N\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(|KL|\\) konieczne jest uwzględnienie, że \\(\\sphericalangle KLM\\) to kąt **wewnętrzny trapezu** przy \\(L\\), a nie kąt ostry w jakimś pomocniczym trójkącie - sprawdź, że wektory wychodzą **z** wierzchołka \\(L\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W kroku \\(2t = \\sqrt{t^2+48}\\) przed podniesieniem do kwadratu upewnij się, że \\(t > 0\\) (bo \\(|KL| > |MN|\\) - dolna podstawa jest dłuższa). Rozwiązanie \\(t < 0\\) należy odrzucić.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z kątem \\(60^\\circ\\)\nTrapez prostokątny: \\(\\sphericalangle K = 90^\\circ\\), \\(\\sphericalangle L = 60^\\circ\\).\nRamię \\(KN\\) (wysokość trapezu) \\(h = 4\\sqrt{3}\\).\n\nRzutujemy \\(M\\) na \\(KL\\) w punkt \\(P\\), wtedy \\(|MP| = h = 4\\sqrt{3}\\) i \\(|KP|=|MN|=3\\). W trójkącie \\(PML\\) prostokątnym przy \\(P\\):\n\\[\\tan 60^\\circ = \\dfrac{|MP|}{|PL|} \\Rightarrow \\sqrt{3} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{|PL|} \\Rightarrow |PL| = 4.\\]\nZatem \\(|KL| = |KP| + |PL| = 3 + 4 = 7\\).\n\nPole trapezu:\n\\[S = \\dfrac{|KL|+|MN|}{2}\\cdot h = \\dfrac{7+3}{2}\\cdot 4\\sqrt{3} = 5\\cdot 4\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podział na prostokąt + trójkąt\nProstokąt \\(KNMP\\): pole \\(= 3 \\cdot 4\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\).\nTrójkąt \\(PML\\) prostokątny: przyprostokątne \\(4\\) i \\(4\\sqrt{3}\\), pole \\(= \\tfrac{1}{2}\\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}\\).\nŁącznie: \\(12\\sqrt{3} + 8\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4+2\\sqrt{3}\\):** zbyt małe - pominięto wysokość.\n- **B. \\(10\\sqrt{3}\\):** ktoś wziął średnią \\(\\tfrac{7+3}{2}=5\\) ale wysokość \\(2\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(24+6\\sqrt{3}\\):** błędne rozłożenie pola.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
Jeżeli  jest kątem ostrym oraz
2
tg
5

, to wartość wyrażenia 3cos
2sin
sin
5cos





 jest równa
A.
11
23

B.
24
5
C.
23
11

D.
5
24
Jeżeli alfa jest kątem ostrym oraz tg alfa = 2/5, to wartość wyrażenia 3cos alfa - 2 sin alfa / sin alafa - 5cos alfa jest równa A. -23/11, B. -11/23, C. 5/24, D. 24/5

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Stosowanie prostych
związków między funkcjami
trygonometrycznymi kąta
ostrego (I.6.c)
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Współrzędne i wzór na pole trapezu

\n

Ustawiamy układ współrzędnych. Ponieważ kąt \\(\\sphericalangle LKN = 90°\\), ramię \\(KN\\) jest prostopadłe do podstawy \\(KL\\). Umieszczamy:

\n

\\[K = (0,\\,0), \\quad L = (a,\\,0), \\quad N = (0,\\,4\\sqrt{3}), \\quad M = (3,\\,4\\sqrt{3})\\]

\n

(Wierzchołek \\(M\\) leży o \\(|MN|=3\\) na prawo od \\(N\\), bo \\(MN \\parallel KL\\).)

\n

Wyznaczamy \\(|KL| = a\\) z warunku \\(\\sphericalangle KLM = 60°\\).

\n

Wektory wychodzące z \\(L\\):
\\[\\vec{LK} = (-a,\\, 0), \\qquad \\vec{LM} = (3-a,\\, 4\\sqrt{3})\\]

\n

Ze wzoru na cosinus kąta między wektorami:
\\[\\cos 60° = \\frac{\\vec{LK} \\cdot \\vec{LM}}{|\\vec{LK}|\\,|\\vec{LM}|} = \\frac{(-a)(3-a)}{a\\cdot\\sqrt{(3-a)^2 + 48}} = \\frac{a-3}{\\sqrt{(a-3)^2+48}}\\]

\n

Podstawiamy \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) i podstawienie \\(t = a - 3\\):
\\[\\frac{t}{\\sqrt{t^2+48}} = \\frac{1}{2} \\implies 2t = \\sqrt{t^2+48}\\]
\\[4t^2 = t^2 + 48 \\implies 3t^2 = 48 \\implies t^2 = 16 \\implies t = 4\\]

\n

Zatem \\(a - 3 = 4\\), czyli \\(\\mathbf{|KL| = 7}\\).

\n

Obliczamy pole trapezu. Wysokość trapezu \\(h = |KN| = 4\\sqrt{3}\\) (prostopadła do podstawy).

\n

\\[P = \\frac{|KL| + |MN|}{2} \\cdot h = \\frac{7 + 3}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} = 5 \\cdot 4\\sqrt{3} = \\boxed{20\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Trójkąt prostokątny przy ramieniu \\(LM\\)

\n

Opuszczamy prostopadłą z \\(M\\) na podstawę \\(KL\\). Niech \\(P\\) będzie jej stopą. Ponieważ \\(N\\) jest nad \\(K\\), a \\(M\\) jest nad punktem oddalonym o \\(3\\) od \\(K\\), mamy:

\n

\\[|MP| = |KN| = 4\\sqrt{3} \\quad \\text{(wysokość trapezu)}\\]
\\[|PL| = |KL| - |MN| = a - 3\\]

\n

W trójkącie prostokątnym \\(MPL\\) kąt przy \\(L\\) wynosi \\(60°\\) (to właśnie \\(\\sphericalangle KLM\\), bo \\(MP \\parallel KN\\)):

\n

\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{|MP|}{|PL|} = \\frac{4\\sqrt{3}}{a-3}\\]
\\[\\sqrt{3} = \\frac{4\\sqrt{3}}{a-3} \\implies a - 3 = 4 \\implies a = 7\\]

\n

Pole:
\\[P = \\frac{7 + 3}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20) - pole trapezu:
\\[P = \\frac{a+b}{2} \\cdot h\\]
gdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy do końcowego obliczenia pola.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]
W Sposobie 2 użyliśmy \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\) do wyznaczenia \\(|KL|\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |
| A \\(4+2\\sqrt{3}\\) | Pomylono długości: użyto \\(|MN|=3\\) jako wysokości i obliczono pole prostokąta/trójkąta zamiast trapezu |
| B \\(10\\sqrt{3}\\) | Wzięto połowę prawidłowej wysokości: \\(h = 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(4\\sqrt{3}\\), lub pomylono \\(|KL|=5\\) (np. z twierdzenia Pitagorasa bez uwzględnienia struktury trapezu) |
| D \\(24+6\\sqrt{3}\\) | Nieuwzględnienie kąta prostego przy \\(K\\) - uznanie \\(KN\\) za ramię ukośne i dodanie do podstawy pełnej długości tego ramienia; błędna geometria |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\sphericalangle LKN = 90°\\) to kąt przy wierzchołku \\(K\\) między podstawą \\(KL\\) a ramieniem \\(KN\\) - stąd \\(KN\\) jest prostopada do podstawy i od razu jest wysokością trapezu. Nie mylić z kątem przy wierzchołku \\(N\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(|KL|\\) konieczne jest uwzględnienie, że \\(\\sphericalangle KLM\\) to kąt wewnętrzny trapezu przy \\(L\\), a nie kąt ostry w jakimś pomocniczym trójkącie - sprawdź, że wektory wychodzą z wierzchołka \\(L\\).
\n
⚠️ Uwaga: W kroku \\(2t = \\sqrt{t^2+48}\\) przed podniesieniem do kwadratu upewnij się, że \\(t > 0\\) (bo \\(|KL| > |MN|\\) - dolna podstawa jest dłuższa). Rozwiązanie \\(t < 0\\) należy odrzucić.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z kątem \\(60^\\circ\\)
\n

Trapez prostokątny: \\(\\sphericalangle K = 90^\\circ\\), \\(\\sphericalangle L = 60^\\circ\\).
Ramię \\(KN\\) (wysokość trapezu) \\(h = 4\\sqrt{3}\\).

\n

Rzutujemy \\(M\\) na \\(KL\\) w punkt \\(P\\), wtedy \\(|MP| = h = 4\\sqrt{3}\\) i \\(|KP|=|MN|=3\\). W trójkącie \\(PML\\) prostokątnym przy \\(P\\):
\\[\\tan 60^\\circ = \\dfrac{|MP|}{|PL|} \\Rightarrow \\sqrt{3} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{|PL|} \\Rightarrow |PL| = 4.\\]
Zatem \\(|KL| = |KP| + |PL| = 3 + 4 = 7\\).

\n

Pole trapezu:
\\[S = \\dfrac{|KL|+|MN|}{2}\\cdot h = \\dfrac{7+3}{2}\\cdot 4\\sqrt{3} = 5\\cdot 4\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Podział na prostokąt + trójkąt
\n

Prostokąt \\(KNMP\\): pole \\(= 3 \\cdot 4\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\).
Trójkąt \\(PML\\) prostokątny: przyprostokątne \\(4\\) i \\(4\\sqrt{3}\\), pole \\(= \\tfrac{1}{2}\\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}\\).
Łącznie: \\(12\\sqrt{3} + 8\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}