{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nLiczba punktów wspólnych okręgu o równaniu\n2\n2\n(\n2)\n(\n3)\n4\nx\ny\n\n\n\n\nz osiami układu\nwspółrzędnych jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nLiczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)^2+(y-3)^2 = 4 z osiami układu współrzędnych jest równa A. 4, B. 2, C. 1, D. 0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nPosługiwanie się równaniem\nokręgu\n2\n2\n2\n(\n)\n(\n)\nx\na\ny\nb\nr\n\n\n\n\n(II.8.g)\nB\nC\n4\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(50\\) pkt\n\n## Sposób 1 - Suma punktów obu grup\n\n**Krok 1: Oblicz łączną liczbę punktów I grupy.**\n\nWiemy, że średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę, czyli:\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\text{suma punktów}}{\\text{liczba studentów}}\\]\n\nStąd suma punktów I grupy:\n\\[\\text{suma}_I = \\bar{x}_I \\cdot n_I = 30 \\cdot 40 = 1200 \\text{ pkt}\\]\n\n**Krok 2: Odczytaj sumę punktów II grupy.**\n\nDane wprost z treści:\n\\[\\text{suma}_{II} = 1800 \\text{ pkt}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz łączną liczbę studentów i łączną sumę punktów.**\n\n\\[n = n_I + n_{II} = 40 + 20 = 60 \\text{ studentów}\\]\n\\[\\text{suma} = 1200 + 1800 = 3000 \\text{ pkt}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz średnią łączną.**\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\text{suma}}{n} = \\frac{3000}{60} = \\mathbf{50 \\text{ pkt}}\\]\n\n## Sposób 2 - Średnia ważona\n\nŚrednią łączną możemy wyliczyć bezpośrednio wzorem na **średnią ważoną**, gdzie wagami są liczebności grup.\n\nNajpierw wyznaczamy średnią II grupy:\n\\[\\bar{x}_{II} = \\frac{1800}{20} = 90 \\text{ pkt}\\]\n\nTeraz stosujemy wzór na średnią ważoną:\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_I \\cdot \\bar{x}_I + w_{II} \\cdot \\bar{x}_{II}}{w_I + w_{II}} = \\frac{40 \\cdot 30 + 20 \\cdot 90}{40 + 20}\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{1200 + 1800}{60} = \\frac{3000}{60} = \\mathbf{50 \\text{ pkt}}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\noraz wzór na średnią ważoną:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n\nUżyliśmy obu: w Sposobie 1 - do obliczenia sumy z podanej średniej, w Sposobie 2 - bezpośrednio do wyznaczenia średniej łącznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(20\\) pkt | Brak sensu matematycznego - trudno tu wskazać jeden konkretny błąd prowadzący do 20, raczej błędne dane podstawiane do wzoru |\n| B. \\(30\\) pkt | Uczeń bierze tylko średnią I grupy i ignoruje II grupę, albo błędnie liczy \\(\\frac{30 + 90}{2} = 60\\) i się myli w dodawaniu lub po prostu uznaje, że skoro I grupa ma 30, to wynik to 30 |\n| D. \\(60\\) pkt | **Klasyczny błąd!** Uczeń liczy zwykłą średnią arytmetyczną z dwóch średnich: \\(\\frac{30 + 90}{2} = 60\\) - nie uwzględniając, że grupy mają **różną liczebność** |\n\n> Odpowiedź D to najgroźniejsza pułapka - wynik 60 wygląda sensownie, bo leży między 30 a 90. Ale to błąd, bo I grupa jest **dwa razy liczniejsza** niż II, więc jej średnia (30) ma większy wpływ na wynik końcowy.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie uśredniaj średnich bezpośrednio! \\(\\frac{\\bar{x}_I + \\bar{x}_{II}}{2}\\) daje poprawny wynik **tylko wtedy**, gdy obie grupy mają jednakową liczebność.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy masz podaną **sumę** punktów (nie średnią), nie musisz wyznaczać średniej tej grupy - suma i tak idzie bezpośrednio do licznika wzoru na średnią łączną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, co dokładnie jest dane - tu dla I grupy podano **średnią** (trzeba ją przemnożyć przez liczebność), a dla II grupy podano **sumę** (gotowa do użycia). Pomieszanie tych danych to źródło błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Suma punktów / liczba studentów\nSuma punktów I grupy: \\(40 \\cdot 30 = 1200\\).\nSuma punktów II grupy: \\(1800\\).\nŁączna suma: \\(1200 + 1800 = 3000\\).\nŁączna liczba studentów: \\(40 + 20 = 60\\).\n\nŚrednia łączna: \\(\\dfrac{3000}{60} = 50\\) pkt.\n\n### Sposób 2 - Średnia ważona\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{n_1 \\bar{x}_1 + n_2 \\bar{x}_2}{n_1+n_2}\\), gdzie \\(\\bar{x}_2 = \\tfrac{1800}{20}=90\\).\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{40\\cdot 30 + 20\\cdot 90}{60} = \\dfrac{1200+1800}{60} = 50.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20\\):** znacznie mniejsze od obu średnich grupowych - niemożliwe.\n- **B. \\(30\\):** to tylko średnia I grupy.\n- **D. \\(60\\):** zwykła średnia z \\(30\\) i \\(90\\) - nie uwzględnia, że grupy mają różne wielkości.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y




z osiami układu
współrzędnych jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)^2+(y-3)^2 = 4 z osiami układu współrzędnych jest równa A. 4, B. 2, C. 1, D. 0

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Posługiwanie się równaniem
okręgu
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r




(II.8.g)
B
C
4
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(50\\) pkt

\n

Sposób 1 - Suma punktów obu grup

\n

Krok 1: Oblicz łączną liczbę punktów I grupy.

\n

Wiemy, że średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę, czyli:
\\[\\bar{x} = \\frac{\\text{suma punktów}}{\\text{liczba studentów}}\\]

\n

Stąd suma punktów I grupy:
\\[\\text{suma}_I = \\bar{x}_I \\cdot n_I = 30 \\cdot 40 = 1200 \\text{ pkt}\\]

\n

Krok 2: Odczytaj sumę punktów II grupy.

\n

Dane wprost z treści:
\\[\\text{suma}_{II} = 1800 \\text{ pkt}\\]

\n

Krok 3: Oblicz łączną liczbę studentów i łączną sumę punktów.

\n

\\[n = n_I + n_{II} = 40 + 20 = 60 \\text{ studentów}\\]
\\[\\text{suma} = 1200 + 1800 = 3000 \\text{ pkt}\\]

\n

Krok 4: Oblicz średnią łączną.

\n

\\[\\bar{x} = \\frac{\\text{suma}}{n} = \\frac{3000}{60} = \\mathbf{50 \\text{ pkt}}\\]

\n

Sposób 2 - Średnia ważona

\n

Średnią łączną możemy wyliczyć bezpośrednio wzorem na średnią ważoną, gdzie wagami są liczebności grup.

\n

Najpierw wyznaczamy średnią II grupy:
\\[\\bar{x}_{II} = \\frac{1800}{20} = 90 \\text{ pkt}\\]

\n

Teraz stosujemy wzór na średnią ważoną:
\\[\\bar{x} = \\frac{w_I \\cdot \\bar{x}I + w{II} \\cdot \\bar{x}{II}}{w_I + w{II}} = \\frac{40 \\cdot 30 + 20 \\cdot 90}{40 + 20}\\]

\n

\\[\\bar{x} = \\frac{1200 + 1800}{60} = \\frac{3000}{60} = \\mathbf{50 \\text{ pkt}}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]

\n

oraz wzór na średnią ważoną:
\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]

\n

Użyliśmy obu: w Sposobie 1 - do obliczenia sumy z podanej średniej, w Sposobie 2 - bezpośrednio do wyznaczenia średniej łącznej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A. \\(20\\) pkt | Brak sensu matematycznego - trudno tu wskazać jeden konkretny błąd prowadzący do 20, raczej błędne dane podstawiane do wzoru |
| B. \\(30\\) pkt | Uczeń bierze tylko średnią I grupy i ignoruje II grupę, albo błędnie liczy \\(\\frac{30 + 90}{2} = 60\\) i się myli w dodawaniu lub po prostu uznaje, że skoro I grupa ma 30, to wynik to 30 |
| D. \\(60\\) pkt | Klasyczny błąd! Uczeń liczy zwykłą średnią arytmetyczną z dwóch średnich: \\(\\frac{30 + 90}{2} = 60\\) - nie uwzględniając, że grupy mają różną liczebność |

\n
Odpowiedź D to najgroźniejsza pułapka - wynik 60 wygląda sensownie, bo leży między 30 a 90. Ale to błąd, bo I grupa jest dwa razy liczniejsza niż II, więc jej średnia (30) ma większy wpływ na wynik końcowy.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nigdy nie uśredniaj średnich bezpośrednio! \\(\\frac{\\bar{x}I + \\bar{x}{II}}{2}\\) daje poprawny wynik tylko wtedy, gdy obie grupy mają jednakową liczebność.
\n
⚠️ Uwaga: Gdy masz podaną sumę punktów (nie średnią), nie musisz wyznaczać średniej tej grupy - suma i tak idzie bezpośrednio do licznika wzoru na średnią łączną.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, co dokładnie jest dane - tu dla I grupy podano średnią (trzeba ją przemnożyć przez liczebność), a dla II grupy podano sumę (gotowa do użycia). Pomieszanie tych danych to źródło błędów.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Suma punktów / liczba studentów
\n

Suma punktów I grupy: \\(40 \\cdot 30 = 1200\\).
Suma punktów II grupy: \\(1800\\).
Łączna suma: \\(1200 + 1800 = 3000\\).
Łączna liczba studentów: \\(40 + 20 = 60\\).

\n

Średnia łączna: \\(\\dfrac{3000}{60} = 50\\) pkt.

\n
Sposób 2 - Średnia ważona
\n

\\(\\bar{x} = \\dfrac{n_1 \\bar{x}_1 + n_2 \\bar{x}_2}{n_1+n_2}\\), gdzie \\(\\bar{x}_2 = \\tfrac{1800}{20}=90\\).
\\(\\bar{x} = \\dfrac{40\\cdot 30 + 20\\cdot 90}{60} = \\dfrac{1200+1800}{60} = 50.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}