{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nWysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości 2 3 jest równa\nA.\n3\nB. 3\nC. 2 3\nD. 2\nWysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 stopni i ramieniu długości 2 * pierwiastki z 3 jest równa A. 2, B. pierwiastek z 3, C. 3, D. 2 pierwiastki z 3.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nZnajdowanie związków\nmiarowych w figurach\npłaskich, w tym\nz zastosowaniem\ntrygonometrii (II.7.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(60°\\)\n\n## Sposób 1 - wektory i iloczyn skalarny\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech sześcian ma bok \\(a = 1\\). Przyjmujemy:\n\n\\[\nE = (0,0,0),\\quad F = (1,0,0),\\quad G = (1,1,0),\\quad H = (0,1,0)\n\\]\n\\[\nI = (0,0,1),\\quad J = (1,0,1),\\quad K = (1,1,1),\\quad L = (0,1,1)\n\\]\n\n(dolna podstawa \\(EFGH\\), górna \\(IJKL\\), gdzie \\(I\\) nad \\(E\\), \\(J\\) nad \\(F\\) itd.)\n\n**Sprawdzamy, że \\(FI\\) i \\(FK\\) to przekątne sąsiednich ścian:**\n- \\(FI\\) - przekątna ściany przedniej \\(EFJI\\) (ściana \\(y = 0\\))\n- \\(FK\\) - przekątna ściany prawej \\(FGJK\\) (ściana \\(x = 1\\))\n\nŚciany te mają wspólną krawędź \\(FJ\\) - są sąsiednie. ✓\n\n**Wyznaczamy wektory:**\n\\[\n\\vec{FI} = I - F = (-1, 0, 1), \\qquad \\vec{FK} = K - F = (0, 1, 1)\n\\]\n\n**Obliczamy kąt z definicji iloczynu skalarnego:**\n\\[\n\\vec{FI} \\cdot \\vec{FK} = (-1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 1\n\\]\n\\[\n|\\vec{FI}| = \\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \\sqrt{2}, \\qquad |\\vec{FK}| = \\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n\\cos(\\angle IFK) = \\frac{\\vec{FI} \\cdot \\vec{FK}}{|\\vec{FI}| \\cdot |\\vec{FK}|} = \\frac{1}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{1}{2}\n\\]\n\n**Stąd:**\n\\[\n\\angle IFK = \\arccos\\!\\left(\\frac{1}{2}\\right) = \\mathbf{60°}\n\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt \\(IFK\\) jest równoboczny\n\nZamiast wektorów, wyznaczamy **długości wszystkich boków** trójkąta \\(IFK\\):\n\n\\[\nF = (1,0,0),\\quad I = (0,0,1),\\quad K = (1,1,1)\n\\]\n\n\\[\n|FI| = \\sqrt{(1-0)^2 + 0^2 + (0-1)^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n|FK| = \\sqrt{0^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n|IK| = \\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \\sqrt{2}\n\\]\n\nWszystkie trzy boki trójkąta \\(IFK\\) mają tę samą długość \\(\\sqrt{2}\\) - **trójkąt \\(IFK\\) jest równoboczny!**\n\nW trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \\(60°\\), więc:\n\n\\[\n\\boxed{\\angle IFK = 60°}\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1** nie wymaga wzorów z karty, lecz korzysta z definicji iloczynu skalarnego (materiał spoza karty - matura nie wymaga iloczynu skalarnego wprost).\n\nJeśli weryfikujemy wynik trygonometrycznie (Sposób 2 - trójkąt równoboczny):\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nKażdy kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego = \\(60°\\). Użyliśmy tego w Sposobie 2 jako wniosek końcowy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - wartość \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) z tabeli kątów, użyta w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(30°\\) | Pomylenie kąta \\(IFK\\) z połową kąta trójkąta lub mylne użycie \\(\\arccos\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| B. \\(45°\\) | Uczeń myśli, że kąt między przekątnymi ścian = kąt między przekątną ściany a krawędzią (\\(45°\\)) |\n| D. \\(90°\\) | Intuicja: „ściany są prostopadłe, więc ich przekątne też są prostopadłe\" - **BŁĄD!** Prostopadłość ścian nie oznacza prostopadłości ich przekątnych |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź D - uczeń rozumuje „ściany są do siebie prostopadłe, więc \\(FI \\perp FK\\)\". To nieprawda - prostopadłe są ściany (jako płaszczyzny), a nie leżące w nich przekątne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić przekątną ściany (\\(\\sqrt{2}\\,a\\)) z przekątną sześcianu (\\(\\sqrt{3}\\,a\\)). \\(FI\\) i \\(FK\\) to przekątne **ścian** - nie należy ich mylić z przekątnymi przestrzennymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (równoboczność trójkąta \\(IFK\\)) jest najszybszy na egzaminie - wystarczy policzyć trzy odległości i rozpoznać trójkąt równoboczny, bez żadnych funkcji trygonometrycznych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoboczny\nNiech krawędź sześcianu ma długość \\(a\\). Każda przekątna ściany ma długość \\(a\\sqrt{2}\\). Więc:\n\\(|FI| = |FK| = a\\sqrt{2}\\).\n\nTrzeci odcinek \\(IK\\) jest również przekątną ściany (górnej): \\(|IK| = a\\sqrt{2}\\).\n\nTrójkąt \\(FIK\\) ma wszystkie trzy boki równe \\(a\\sqrt{2}\\) - jest **równoboczny**. Wszystkie kąty w nim mają miarę \\(60^\\circ\\), więc \\(\\sphericalangle IFK = 60^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów\n\\(|IK|^2 = |FI|^2 + |FK|^2 - 2|FI||FK|\\cos(\\sphericalangle IFK)\\).\n\\(2a^2 = 2a^2 + 2a^2 - 4a^2\\cos\\alpha \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 60^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(30^\\circ\\):** za mały - trójkąt nie byłby równoboczny.\n- **B. \\(45^\\circ\\):** to kąt przekątnej z krawędzią, nie między przekątnymi dwóch sąsiednich ścian.\n- **D. \\(90^\\circ\\):** byłby prosty tylko gdyby przekątne były w równoległych ścianach.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16. (1 pkt)
Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości 2 3 jest równa
A.
3
B. 3
C. 2 3
D. 2
Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 stopni i ramieniu długości 2 * pierwiastki z 3 jest równa A. 2, B. pierwiastek z 3, C. 3, D. 2 pierwiastki z 3.

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Znajdowanie związków
miarowych w figurach
płaskich, w tym
z zastosowaniem
trygonometrii (II.7.c)
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(60°\\)

\n

Sposób 1 - wektory i iloczyn skalarny

\n

Ustawiamy układ współrzędnych. Niech sześcian ma bok \\(a = 1\\). Przyjmujemy:

\n

\\[
E = (0,0,0),\\quad F = (1,0,0),\\quad G = (1,1,0),\\quad H = (0,1,0)
\\]
\\[
I = (0,0,1),\\quad J = (1,0,1),\\quad K = (1,1,1),\\quad L = (0,1,1)
\\]

\n

(dolna podstawa \\(EFGH\\), górna \\(IJKL\\), gdzie \\(I\\) nad \\(E\\), \\(J\\) nad \\(F\\) itd.)

\n

Sprawdzamy, że \\(FI\\) i \\(FK\\) to przekątne sąsiednich ścian:

\n\n

Ściany te mają wspólną krawędź \\(FJ\\) - są sąsiednie. ✓

\n

Wyznaczamy wektory:
\\[
\\vec{FI} = I - F = (-1, 0, 1), \\qquad \\vec{FK} = K - F = (0, 1, 1)
\\]

\n

Obliczamy kąt z definicji iloczynu skalarnego:
\\[
\\vec{FI} \\cdot \\vec{FK} = (-1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 1
\\]
\\[
|\\vec{FI}| = \\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \\sqrt{2}, \\qquad |\\vec{FK}| = \\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}
\\]
\\[
\\cos(\\angle IFK) = \\frac{\\vec{FI} \\cdot \\vec{FK}}{|\\vec{FI}| \\cdot |\\vec{FK}|} = \\frac{1}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{1}{2}
\\]

\n

Stąd:
\\[
\\angle IFK = \\arccos\\!\\left(\\frac{1}{2}\\right) = \\mathbf{60°}
\\]

\n

Sposób 2 - trójkąt \\(IFK\\) jest równoboczny

\n

Zamiast wektorów, wyznaczamy długości wszystkich boków trójkąta \\(IFK\\):

\n

\\[
F = (1,0,0),\\quad I = (0,0,1),\\quad K = (1,1,1)
\\]

\n

\\[
|FI| = \\sqrt{(1-0)^2 + 0^2 + (0-1)^2} = \\sqrt{2}
\\]
\\[
|FK| = \\sqrt{0^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \\sqrt{2}
\\]
\\[
|IK| = \\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \\sqrt{2}
\\]

\n

Wszystkie trzy boki trójkąta \\(IFK\\) mają tę samą długość \\(\\sqrt{2}\\) - trójkąt \\(IFK\\) jest równoboczny!

\n

W trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \\(60°\\), więc:

\n

\\[
\\boxed{\\angle IFK = 60°}
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Sposób 1 nie wymaga wzorów z karty, lecz korzysta z definicji iloczynu skalarnego (materiał spoza karty - matura nie wymaga iloczynu skalarnego wprost).

\n

Jeśli weryfikujemy wynik trygonometrycznie (Sposób 2 - trójkąt równoboczny):

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Każdy kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego = \\(60°\\). Użyliśmy tego w Sposobie 2 jako wniosek końcowy.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - wartość \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) z tabeli kątów, użyta w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A. \\(30°\\) | Pomylenie kąta \\(IFK\\) z połową kąta trójkąta lub mylne użycie \\(\\arccos\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |
| B. \\(45°\\) | Uczeń myśli, że kąt między przekątnymi ścian = kąt między przekątną ściany a krawędzią (\\(45°\\)) |
| D. \\(90°\\) | Intuicja: „ściany są prostopadłe, więc ich przekątne też są prostopadłe" - BŁĄD! Prostopadłość ścian nie oznacza prostopadłości ich przekątnych |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odpowiedź D - uczeń rozumuje „ściany są do siebie prostopadłe, więc \\(FI \\perp FK\\)". To nieprawda - prostopadłe są ściany (jako płaszczyzny), a nie leżące w nich przekątne.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić przekątną ściany (\\(\\sqrt{2}\\,a\\)) z przekątną sześcianu (\\(\\sqrt{3}\\,a\\)). \\(FI\\) i \\(FK\\) to przekątne ścian - nie należy ich mylić z przekątnymi przestrzennymi.
\n
⚠️ Uwaga: Sposób 2 (równoboczność trójkąta \\(IFK\\)) jest najszybszy na egzaminie - wystarczy policzyć trzy odległości i rozpoznać trójkąt równoboczny, bez żadnych funkcji trygonometrycznych.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Trójkąt równoboczny
\n

Niech krawędź sześcianu ma długość \\(a\\). Każda przekątna ściany ma długość \\(a\\sqrt{2}\\). Więc:
\\(|FI| = |FK| = a\\sqrt{2}\\).

\n

Trzeci odcinek \\(IK\\) jest również przekątną ściany (górnej): \\(|IK| = a\\sqrt{2}\\).

\n

Trójkąt \\(FIK\\) ma wszystkie trzy boki równe \\(a\\sqrt{2}\\) - jest równoboczny. Wszystkie kąty w nim mają miarę \\(60^\\circ\\), więc \\(\\sphericalangle IFK = 60^\\circ\\).

\n
Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów
\n

\\(|IK|^2 = |FI|^2 + |FK|^2 - 2|FI||FK|\\cos(\\sphericalangle IFK)\\).
\\(2a^2 = 2a^2 + 2a^2 - 4a^2\\cos\\alpha \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 60^\\circ\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}