{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nKąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4\n9 długości okręgu, ma miarę\nA. 160\nB. 80\nC. 40\nD. 20\nKąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę A. 20^o, B. 40^o, C. 80^o, D. 160^o.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZnajdowanie związków\nmiarowych w figurach\npłaskich (IV.7.c)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(60^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Krok 1: Wyznacz brakujący kąt środkowy.**\n\nTrzy kąty środkowe \\(\\sphericalangle KOM\\), \\(\\sphericalangle KOL\\) i \\(\\sphericalangle LOM\\) tworzą pełny obrót wokół \\(O\\):\n\\[\\sphericalangle KOM + \\sphericalangle KOL + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\]\n\\[130^\\circ + 110^\\circ + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\]\n\\[\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nKąt \\(LKM\\) jest kątem **wpisanym** w okrąg i opiera się na tym samym łuku \\(LM\\) (tym, który nie zawiera \\(K\\)), co kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\).\n\nZ twierdzenia: kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\sphericalangle LKM = \\frac{1}{2} \\cdot \\sphericalangle LOM = \\frac{1}{2} \\cdot 120^\\circ = \\mathbf{60^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąty równoramienne (bez twierdzenia o kącie wpisanym)\n\nWszystkie odcinki \\(OK\\), \\(OL\\), \\(OM\\) są promieniami okręgu, więc trójkąty \\(KOL\\) i \\(KOM\\) są **równoramienne**.\n\n**Trójkąt \\(KOM\\)** (ramiona \\(OK = OM = r\\), kąt przy wierzchołku \\(130^\\circ\\)):\n\\[\\sphericalangle OKM = \\frac{180^\\circ - 130^\\circ}{2} = \\frac{50^\\circ}{2} = 25^\\circ\\]\n\n**Trójkąt \\(KOL\\)** (ramiona \\(OK = OL = r\\), kąt przy wierzchołku \\(110^\\circ\\)):\n\\[\\sphericalangle OKL = \\frac{180^\\circ - 110^\\circ}{2} = \\frac{70^\\circ}{2} = 35^\\circ\\]\n\nPonieważ punkt \\(O\\) leży wewnątrz kąta \\(LKM\\) (wynika to z układu punktów na rysunku), kąt szukany to suma:\n\\[\\sphericalangle LKM = \\sphericalangle OKM + \\sphericalangle OKL = 25^\\circ + 35^\\circ = \\mathbf{60^\\circ}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sphericalangle LKM\\) na podstawie \\(\\sphericalangle LOM\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^\\circ\\]\n\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia kątów przy podstawach trójkątów równoramiennych \\(KOM\\) i \\(KOL\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(30^\\circ\\) | Uczeń bierze połowę z \\(60^\\circ\\) (wynik z połowy jednego kąta środkowego zamiast całego \\(\\sphericalangle LOM\\)) |\n| C. \\(90^\\circ\\) | Uczeń dodaje \\(130^\\circ + 110^\\circ = 240^\\circ\\), po czym bierze \\(\\frac{240^\\circ}{2} \\cdot \\frac{1}{2}\\) lub błędnie liczy brakujący kąt jako \\(180^\\circ\\) |\n| D. \\(120^\\circ\\) | Uczeń poprawnie wyznacza \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\), ale **zapomina podzielić przez 2** - podaje kąt środkowy zamiast wpisanego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to podanie kąta środkowego \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\) jako odpowiedzi (D) - pamiętaj, kąt **wpisany** to zawsze **połowa** kąta środkowego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw wyznacz brakujący kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM\\) z warunku \\(130^\\circ + 110^\\circ + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\). Kąt wpisany \\(LKM\\) opiera się właśnie na łuku \\(LM\\), a nie na łukach \\(KM\\) czy \\(KL\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź na rysunku, **który łuk** jest podstawą kąta wpisanego - to łuk \\(LM\\) po stronie **przeciwnej** niż punkt \\(K\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany\nKąt \\(LKM\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(LM\\). Kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM\\) opiera się na tym samym łuku.\n\nSkoro \\(\\sphericalangle KOM = 130^\\circ\\) oraz \\(\\sphericalangle KOL = 110^\\circ\\), a trzy kąty środkowe wokół \\(O\\) sumują się do \\(360^\\circ\\):\n\\[\\sphericalangle LOM = 360^\\circ - 130^\\circ - 110^\\circ = 120^\\circ.\\]\n\nKąt wpisany jest **połową** kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\sphericalangle LKM = \\dfrac{120^\\circ}{2} = 60^\\circ.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\nŁuk \\(LM\\) (nie zawierający \\(K\\)) ma miarę kątową \\(120^\\circ\\). Kąt wpisany z wierzchołkiem \\(K\\): \\(\\tfrac{120^\\circ}{2}=60^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(30^\\circ\\):** byłoby \\(\\tfrac{60^\\circ}{2}\\).\n- **C. \\(90^\\circ\\):** tylko gdy łuk = półokrąg (\\(180^\\circ\\)).\n- **D. \\(120^\\circ\\):** to miara kąta środkowego, a pytamy o wpisany.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4
9 długości okręgu, ma miarę
A. 160
B. 80
C. 40
D. 20
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę A. 20^o, B. 40^o, C. 80^o, D. 160^o.

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
Użycie i tworzenie strategii
Znajdowanie związków
miarowych w figurach
płaskich (IV.7.c)
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(60^\\circ\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

\n

Krok 1: Wyznacz brakujący kąt środkowy.

\n

Trzy kąty środkowe \\(\\sphericalangle KOM\\), \\(\\sphericalangle KOL\\) i \\(\\sphericalangle LOM\\) tworzą pełny obrót wokół \\(O\\):
\\[\\sphericalangle KOM + \\sphericalangle KOL + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\]
\\[130^\\circ + 110^\\circ + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\]
\\[\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\]

\n

Krok 2: Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.

\n

Kąt \\(LKM\\) jest kątem wpisanym w okrąg i opiera się na tym samym łuku \\(LM\\) (tym, który nie zawiera \\(K\\)), co kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\).

\n

Z twierdzenia: kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\sphericalangle LKM = \\frac{1}{2} \\cdot \\sphericalangle LOM = \\frac{1}{2} \\cdot 120^\\circ = \\mathbf{60^\\circ}\\]

\n

Sposób 2 - Trójkąty równoramienne (bez twierdzenia o kącie wpisanym)

\n

Wszystkie odcinki \\(OK\\), \\(OL\\), \\(OM\\) są promieniami okręgu, więc trójkąty \\(KOL\\) i \\(KOM\\) są równoramienne.

\n

Trójkąt \\(KOM\\) (ramiona \\(OK = OM = r\\), kąt przy wierzchołku \\(130^\\circ\\)):
\\[\\sphericalangle OKM = \\frac{180^\\circ - 130^\\circ}{2} = \\frac{50^\\circ}{2} = 25^\\circ\\]

\n

Trójkąt \\(KOL\\) (ramiona \\(OK = OL = r\\), kąt przy wierzchołku \\(110^\\circ\\)):
\\[\\sphericalangle OKL = \\frac{180^\\circ - 110^\\circ}{2} = \\frac{70^\\circ}{2} = 35^\\circ\\]

\n

Ponieważ punkt \\(O\\) leży wewnątrz kąta \\(LKM\\) (wynika to z układu punktów na rysunku), kąt szukany to suma:
\\[\\sphericalangle LKM = \\sphericalangle OKM + \\sphericalangle OKL = 25^\\circ + 35^\\circ = \\mathbf{60^\\circ}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sphericalangle LKM\\) na podstawie \\(\\sphericalangle LOM\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - suma kątów trójkąta:
\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^\\circ\\]

\n

Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia kątów przy podstawach trójkątów równoramiennych \\(KOM\\) i \\(KOL\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(30^\\circ\\) | Uczeń bierze połowę z \\(60^\\circ\\) (wynik z połowy jednego kąta środkowego zamiast całego \\(\\sphericalangle LOM\\)) |
| C. \\(90^\\circ\\) | Uczeń dodaje \\(130^\\circ + 110^\\circ = 240^\\circ\\), po czym bierze \\(\\frac{240^\\circ}{2} \\cdot \\frac{1}{2}\\) lub błędnie liczy brakujący kąt jako \\(180^\\circ\\) |
| D. \\(120^\\circ\\) | Uczeń poprawnie wyznacza \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\), ale zapomina podzielić przez 2 - podaje kąt środkowy zamiast wpisanego |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to podanie kąta środkowego \\(\\sphericalangle LOM = 120^\\circ\\) jako odpowiedzi (D) - pamiętaj, kąt wpisany to zawsze połowa kąta środkowego!
\n
⚠️ Uwaga: Najpierw wyznacz brakujący kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM\\) z warunku \\(130^\\circ + 110^\\circ + \\sphericalangle LOM = 360^\\circ\\). Kąt wpisany \\(LKM\\) opiera się właśnie na łuku \\(LM\\), a nie na łukach \\(KM\\) czy \\(KL\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź na rysunku, który łuk jest podstawą kąta wpisanego - to łuk \\(LM\\) po stronie przeciwnej niż punkt \\(K\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany
\n

Kąt \\(LKM\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(LM\\). Kąt środkowy \\(\\sphericalangle LOM\\) opiera się na tym samym łuku.

\n

Skoro \\(\\sphericalangle KOM = 130^\\circ\\) oraz \\(\\sphericalangle KOL = 110^\\circ\\), a trzy kąty środkowe wokół \\(O\\) sumują się do \\(360^\\circ\\):
\\[\\sphericalangle LOM = 360^\\circ - 130^\\circ - 110^\\circ = 120^\\circ.\\]

\n

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\sphericalangle LKM = \\dfrac{120^\\circ}{2} = 60^\\circ.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośrednio
\n

Łuk \\(LM\\) (nie zawierający \\(K\\)) ma miarę kątową \\(120^\\circ\\). Kąt wpisany z wierzchołkiem \\(K\\): \\(\\tfrac{120^\\circ}{2}=60^\\circ\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}