{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nO funkcji liniowej f wiadomo, że\n1\n2\nf\n\n. Do wykresu tej funkcji należy punkt\n( 2,3)\nP \nWzór funkcji f to\nA.\n\n1\n7\n3\n3\n\n\nf x\nx\nB.\n\n1\n2\n2\nf x\nx\n\n\nC.\n\n3\n7\nf x\nx\n\n\nD.\n\n2\n4\nf\nx\nx\n\n\nO funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to f(x)=-1/2x+2, B. f(x)=-1/3x+7/3, C. f(x)=-2x+4, D. f(x)=-3x+7","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie wartości\nliczbowej wyrażenia\nwymiernego dla danej\nwartości zmiennej (II.2.e)\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{15}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym\n\nW trójkącie prostokątnym okrąg opisany ma bardzo elegancką właściwość: **jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej**, a promień równa się połowie długości przeciwprostokątnej.\n\n**Krok 1: Oblicz długość przeciwprostokątnej** (z twierdzenia Pitagorasa):\n\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{12^2 + 9^2} = \\sqrt{144 + 81} = \\sqrt{225} = 15\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz promień okręgu opisanego:**\n\n\\[R = \\frac{c}{2} = \\frac{15}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(R = \\dfrac{15}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie sinusów\n\nDla każdego trójkąta zachodzi: \\(\\dfrac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\), gdzie \\(\\gamma\\) to kąt naprzeciwko boku \\(c\\).\n\nW trójkącie prostokątnym kąt przy przeciwprostokątnej wynosi \\(\\gamma = 90°\\), a \\(\\sin 90° = 1\\).\n\nZ twierdzenia sinusów:\n\n\\[2R = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = \\frac{c}{\\sin 90°} = \\frac{c}{1} = c\\]\n\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\n\nObliczamy \\(c\\) tak samo jak w Sposobie 1:\n\n\\[c = \\sqrt{12^2 + 9^2} = \\sqrt{225} = 15\\]\n\n\\[R = \\frac{15}{2}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **to dobry znak!**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = 15\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17)** - promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\nTo gotowy wzór z karty - **wystarczyło go zastosować bezpośrednio!**\n\n**Dział 9 (Trygonometria / Dział 10 Planimetria, s. 15)** - twierdzenie sinusów:\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\nUżyte w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd |\n| A: \\(\\sqrt{108}\\) | Policzono \\(\\sqrt{12^2 - 9^2} = \\sqrt{144-81} = \\sqrt{63}\\) - pomyłka znaku w Pitagorasie (odjęto zamiast dodać), a potem wzięto pełną wartość, nie połowę. Albo: obliczono \\(\\sqrt{12 \\cdot 9} = \\sqrt{108}\\) - losowe działanie bez uzasadnienia. |\n| C: \\(15\\) | Obliczono poprawnie przeciwprostokątną \\(c = 15\\), ale **zapomniano podzielić przez 2**. To właśnie \\(c\\), nie \\(R\\)! |\n| D: \\(\\dfrac{\\sqrt{108}}{2}\\) | Połączenie błędu z A (zły Pitagoras) i częściowo dobrego pomysłu (podzielenie przez 2). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(R = \\dfrac{c}{2}\\) działa **tylko dla trójkąta prostokątnego** - dla innych trójkątów musisz używać twierdzenia sinusów lub wzoru \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić okrąg **opisany** z **wpisanym**! Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny to \\(r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{12 + 9 - 15}{2} = 3\\) - zupełnie inna wartość.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy Pitagorasie zawsze sprawdź, który bok jest przeciwprostokątną (najdłuższy). Tu \\(c = 15 > 12 > 9\\) - to się zgadza!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym\nW trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej, a promień = \\(\\tfrac{1}{2}\\) przeciwprostokątnej.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna:\n\\[c = \\sqrt{12^2+9^2} = \\sqrt{144+81} = \\sqrt{225} = 15.\\]\n\nPromień: \\(R = \\dfrac{15}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny \\(R = \\tfrac{abc}{4P}\\)\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 9 = 54\\). Iloczyn boków: \\(12\\cdot 9 \\cdot 15 = 1620\\).\n\\(R = \\dfrac{1620}{4\\cdot 54} = \\dfrac{1620}{216} = \\dfrac{15}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt{108}\\):** nie związane z tym zadaniem (\\(\\sqrt{12\\cdot 9}\\)?).\n- **C. \\(15\\):** to pełna przeciwprostokątna, a promień to jej połowa.\n- **D. \\(\\tfrac{\\sqrt{108}}{2}\\):** j.w. - błędne obliczenie przeciwprostokątnej.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
O funkcji liniowej f wiadomo, że
1
2
f

. Do wykresu tej funkcji należy punkt
( 2,3)
P 
Wzór funkcji f to
A.

1
7
3
3


f x
x
B.

1
2
2
f x
x


C.

3
7
f x
x


D.

2
4
f
x
x


O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to f(x)=-1/2x+2, B. f(x)=-1/3x+7/3, C. f(x)=-2x+4, D. f(x)=-3x+7

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie wartości
liczbowej wyrażenia
wymiernego dla danej
wartości zmiennej (II.2.e)
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{15}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

\n

W trójkącie prostokątnym okrąg opisany ma bardzo elegancką właściwość: jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej, a promień równa się połowie długości przeciwprostokątnej.

\n

Krok 1: Oblicz długość przeciwprostokątnej (z twierdzenia Pitagorasa):

\n

\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{12^2 + 9^2} = \\sqrt{144 + 81} = \\sqrt{225} = 15\\]

\n

Krok 2: Wyznacz promień okręgu opisanego:

\n

\\[R = \\frac{c}{2} = \\frac{15}{2}\\]

\n

Odpowiedź: \\(R = \\dfrac{15}{2}\\)

\n

Sposób 2 - Twierdzenie sinusów

\n

Dla każdego trójkąta zachodzi: \\(\\dfrac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\), gdzie \\(\\gamma\\) to kąt naprzeciwko boku \\(c\\).

\n

W trójkącie prostokątnym kąt przy przeciwprostokątnej wynosi \\(\\gamma = 90°\\), a \\(\\sin 90° = 1\\).

\n

Z twierdzenia sinusów:

\n

\\[2R = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = \\frac{c}{\\sin 90°} = \\frac{c}{1} = c\\]

\n

\\[R = \\frac{c}{2}\\]

\n

Obliczamy \\(c\\) tak samo jak w Sposobie 1:

\n

\\[c = \\sqrt{12^2 + 9^2} = \\sqrt{225} = 15\\]

\n

\\[R = \\frac{15}{2}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - to dobry znak!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = 15\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 17) - promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:
\\[R = \\frac{c}{2}\\]
To gotowy wzór z karty - wystarczyło go zastosować bezpośrednio!

\n

Dział 9 (Trygonometria / Dział 10 Planimetria, s. 15) - twierdzenie sinusów:
\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]
Użyte w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odpowiedź | Typowy błąd |
| A: \\(\\sqrt{108}\\) | Policzono \\(\\sqrt{12^2 - 9^2} = \\sqrt{144-81} = \\sqrt{63}\\) - pomyłka znaku w Pitagorasie (odjęto zamiast dodać), a potem wzięto pełną wartość, nie połowę. Albo: obliczono \\(\\sqrt{12 \\cdot 9} = \\sqrt{108}\\) - losowe działanie bez uzasadnienia. |
| C: \\(15\\) | Obliczono poprawnie przeciwprostokątną \\(c = 15\\), ale zapomniano podzielić przez 2. To właśnie \\(c\\), nie \\(R\\)! |
| D: \\(\\dfrac{\\sqrt{108}}{2}\\) | Połączenie błędu z A (zły Pitagoras) i częściowo dobrego pomysłu (podzielenie przez 2). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(R = \\dfrac{c}{2}\\) działa tylko dla trójkąta prostokątnego - dla innych trójkątów musisz używać twierdzenia sinusów lub wzoru \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić okrąg opisany z wpisanym! Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny to \\(r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{12 + 9 - 15}{2} = 3\\) - zupełnie inna wartość.
\n
⚠️ Uwaga: Przy Pitagorasie zawsze sprawdź, który bok jest przeciwprostokątną (najdłuższy). Tu \\(c = 15 > 12 > 9\\) - to się zgadza!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym
\n

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej, a promień = \\(\\tfrac{1}{2}\\) przeciwprostokątnej.

\n

Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna:
\\[c = \\sqrt{12^2+9^2} = \\sqrt{144+81} = \\sqrt{225} = 15.\\]

\n

Promień: \\(R = \\dfrac{15}{2}\\).

\n
Sposób 2 - Wzór ogólny \\(R = \\tfrac{abc}{4P}\\)
\n

Pole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 9 = 54\\). Iloczyn boków: \\(12\\cdot 9 \\cdot 15 = 1620\\).
\\(R = \\dfrac{1620}{4\\cdot 54} = \\dfrac{1620}{216} = \\dfrac{15}{2}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}