{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nJeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa\nA. 5\nB. 7\nC. 8\nD. 10\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nJeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa A. 10, B. 8, C. 7, D 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nWyznaczanie związków\nmiarowych w wielościanach\n(III.9.b)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{5}{30}\\)\n\n## Sposób 1 - Wypisanie kwadratów i zliczenie\n\n**Szukamy: ile liczb ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 30\\}\\) jest kwadratami liczb całkowitych?**\n\nWypisujemy kolejne kwadraty liczb naturalnych i sprawdzamy, które nie przekraczają 30:\n\n\\[1^2 = 1 \\checkmark\\]\n\\[2^2 = 4 \\checkmark\\]\n\\[3^2 = 9 \\checkmark\\]\n\\[4^2 = 16 \\checkmark\\]\n\\[5^2 = 25 \\checkmark\\]\n\\[6^2 = 36 > 30 \\quad \\text{- już za duże, stop}\\]\n\n**Kwadraty w zbiorze:** \\(\\{1, 4, 9, 16, 25\\}\\) - jest ich **5**.\n\nPrzestrzeń zdarzeń elementarnych: każda z 30 liczb jest jednakowo prawdopodobna, więc \\(|\\Omega| = 30\\).\n\nZdarzenie sprzyjające \\(A\\) = \"wylosowana liczba jest kwadratem\": \\(|A| = 5\\).\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{30}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{30}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez oszacowanie\n\nIle liczb całkowitych \\(n\\) spełnia \\(n^2 \\leq 30\\)?\n\n\\[n^2 \\leq 30 \\implies n \\leq \\sqrt{30}\\]\n\nSzacujemy: \\(\\sqrt{25} = 5\\), \\(\\sqrt{36} = 6\\), więc:\n\n\\[\\sqrt{30} \\approx 5{,}48\\]\n\nZatem \\(n\\) może być równe \\(1, 2, 3, 4, 5\\) - dokładnie **5 wartości** (biorąc pod uwagę tylko liczby naturalne, bo kwadrat liczby ujemnej daje to samo co dodatniej).\n\nWynik taki sam: \\(P(A) = \\dfrac{5}{30}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru wprost: przestrzeń \\(\\Omega\\) to 30 równoprawdopodobnych wyników, zdarzenie \\(A\\) liczy 5 sprzyjających.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\dfrac{4}{30}\\) | Pominięto \\(1 = 1^2\\) - uczeń zaczyna od \\(2^2 = 4\\) i nie uznaje jedynki za kwadrat |\n| C \\(\\dfrac{6}{30}\\) | Doliczono \\(6^2 = 36\\), nie sprawdzając czy mieści się w zbiorze |\n| D \\(\\dfrac{10}{30}\\) | Pomylono kwadraty z liczbami podzielnymi przez 3 lub inną klasą liczb; ewentualnie błędnie policzono \\(\\sqrt{30} \\approx 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka \\(1 = 1^2\\) jest kwadratem liczby całkowitej! To najczęściej pomijana liczba - stąd błędna odpowiedź A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy ostatni kandydat (\\(6^2 = 36\\)) **mieści się w zbiorze** - tu nie mieści, więc nie liczymy. Nieuwaga tu daje błędną odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\) działa tylko gdy wszystkie wyniki są **jednakowo prawdopodobne** - w losowaniu jednej liczby ze zbioru \\(\\{1, \\ldots, 30\\}\\) tak właśnie jest.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzenia elementarne: \\(|\\Omega| = 30\\).\n\nKwadraty liczb całkowitych w \\(\\{1,\\ldots,30\\}\\): \\(1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25\\). \\(6^2=36>30\\).\n\nWięc \\(|A| = 5\\), a \\(P(A) = \\dfrac{5}{30}\\).\n\n### Sposób 2 - Wypisywanie wprost\n\\(\\{1, 4, 9, 16, 25\\}\\) - pięć elementów, \\(P=\\tfrac{5}{30}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{4}{30}\\):** ktoś pominął \\(1\\) lub \\(25\\).\n- **C. \\(\\tfrac{6}{30}\\):** ktoś dołączył \\(36\\) (poza zbiorem).\n- **D. \\(\\tfrac{10}{30}\\):** prawdopodobnie sumowanie czegoś innego, np. liczb podzielnych przez 3.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (1 pkt)
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

\n

Poziom podstawowy
7
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
8
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa A. 10, B. 8, C. 7, D 5

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
Modelowanie matematyczne
Wyznaczanie związków
miarowych w wielościanach
(III.9.b)
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{5}{30}\\)

\n

Sposób 1 - Wypisanie kwadratów i zliczenie

\n

Szukamy: ile liczb ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 30\\}\\) jest kwadratami liczb całkowitych?

\n

Wypisujemy kolejne kwadraty liczb naturalnych i sprawdzamy, które nie przekraczają 30:

\n

\\[1^2 = 1 \\checkmark\\]
\\[2^2 = 4 \\checkmark\\]
\\[3^2 = 9 \\checkmark\\]
\\[4^2 = 16 \\checkmark\\]
\\[5^2 = 25 \\checkmark\\]
\\[6^2 = 36 > 30 \\quad \\text{- już za duże, stop}\\]

\n

Kwadraty w zbiorze: \\(\\{1, 4, 9, 16, 25\\}\\) - jest ich 5.

\n

Przestrzeń zdarzeń elementarnych: każda z 30 liczb jest jednakowo prawdopodobna, więc \\(|\\Omega| = 30\\).

\n

Zdarzenie sprzyjające \\(A\\) = "wylosowana liczba jest kwadratem": \\(|A| = 5\\).

\n

\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{30}\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{30}\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez oszacowanie

\n

Ile liczb całkowitych \\(n\\) spełnia \\(n^2 \\leq 30\\)?

\n

\\[n^2 \\leq 30 \\implies n \\leq \\sqrt{30}\\]

\n

Szacujemy: \\(\\sqrt{25} = 5\\), \\(\\sqrt{36} = 6\\), więc:

\n

\\[\\sqrt{30} \\approx 5{,}48\\]

\n

Zatem \\(n\\) może być równe \\(1, 2, 3, 4, 5\\) - dokładnie 5 wartości (biorąc pod uwagę tylko liczby naturalne, bo kwadrat liczby ujemnej daje to samo co dodatniej).

\n

Wynik taki sam: \\(P(A) = \\dfrac{5}{30}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:

\n

\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]

\n

Użyliśmy tego wzoru wprost: przestrzeń \\(\\Omega\\) to 30 równoprawdopodobnych wyników, zdarzenie \\(A\\) liczy 5 sprzyjających.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(\\dfrac{4}{30}\\) | Pominięto \\(1 = 1^2\\) - uczeń zaczyna od \\(2^2 = 4\\) i nie uznaje jedynki za kwadrat |
| C \\(\\dfrac{6}{30}\\) | Doliczono \\(6^2 = 36\\), nie sprawdzając czy mieści się w zbiorze |
| D \\(\\dfrac{10}{30}\\) | Pomylono kwadraty z liczbami podzielnymi przez 3 lub inną klasą liczb; ewentualnie błędnie policzono \\(\\sqrt{30} \\approx 10\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Jedynka \\(1 = 1^2\\) jest kwadratem liczby całkowitej! To najczęściej pomijana liczba - stąd błędna odpowiedź A.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, czy ostatni kandydat (\\(6^2 = 36\\)) mieści się w zbiorze - tu nie mieści, więc nie liczymy. Nieuwaga tu daje błędną odpowiedź C.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\) działa tylko gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne - w losowaniu jednej liczby ze zbioru \\(\\{1, \\ldots, 30\\}\\) tak właśnie jest.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
\n

Zdarzenia elementarne: \\(|\\Omega| = 30\\).

\n

Kwadraty liczb całkowitych w \\(\\{1,\\ldots,30\\}\\): \\(1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25\\). \\(6^2=36>30\\).

\n

Więc \\(|A| = 5\\), a \\(P(A) = \\dfrac{5}{30}\\).

\n
Sposób 2 - Wypisywanie wprost
\n

\\(\\{1, 4, 9, 16, 25\\}\\) - pięć elementów, \\(P=\\tfrac{5}{30}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}