{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nStożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy\ntworząca stożka jest\nA. sześć razy dłuższa od wysokości walca.\nB. trzy razy dłuższa od wysokości walca.\nC. dwa razy dłuższa od wysokości walca.\nD. równa wysokości walca.\nStożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznej. Wtedy tworząca stożka jest A. równa wysokości walca, B. dwa razy dłuższa od wysokości walca, C. trzy razy dłuższa od wysokości walca, D. sześć razy dłuższa od wysokości walca","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nWyznaczanie związków\nmiarowych w bryłach\nobrotowych (III.9.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(6\\))\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\n\nProsta \\(HI\\) jest równoległa do \\(EF\\), więc trójkąt \\(GHI\\) jest **podobny** do trójkąta \\(GEF\\) (na zasadzie: kąt wspólny przy \\(G\\), dwa kąty odpowiadające sobie przy podstawach są równe - proste równoległe tworzą te same kąty z przecinającymi).\n\n**Wyznaczamy współczynnik podobieństwa** z boków równoległych:\n\\[k = \\frac{|HI|}{|EF|} = \\frac{7}{21} = \\frac{1}{3}\\]\n\nPonieważ trójkąty są podobne z współczynnikiem \\(k = \\frac{1}{3}\\), **wszystkie odpowiadające sobie boki są w tym stosunku**. W szczególności:\n\\[\\frac{|GI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\]\n\nSkoro \\(|GI| = 3\\), to:\n\\[|GF| = 3 \\cdot |GI| = 3 \\cdot 3 = 9\\]\n\nSzukany odcinek \\(FI\\) to fragment boku \\(GF\\) poza punktem \\(I\\):\n\\[|FI| = |GF| - |GI| = 9 - 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Talesa bezpośrednio\n\nProsta \\(HI \\parallel EF\\) przecina boki trójkąta \\(GEF\\). Na podstawie **twierdzenia Talesa** podziały obu boków są proporcjonalne:\n\n\\[\\frac{|GI|}{|FI|} = \\frac{|GH|}{|HE|} = \\frac{|HI|}{|EF|} = \\frac{7}{21} = \\frac{1}{3}\\]\n\nZ proporcji \\(\\dfrac{|GI|}{|FI|} = \\dfrac{1}{3}\\) i \\(|GI| = 3\\):\n\n\\[|FI| = 3 \\cdot |GI| = 3 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - Twierdzenie Talesa:\n\n> Jeśli prosta równoległa do jednego boku trójkąta przecina dwa pozostałe boki, to dzieli je proporcjonalnie.\n\n\\[\\frac{|GI|}{|IF|} = \\frac{|GH|}{|HE|} = \\frac{|HI|}{|EF|}\\]\n\nUżyliśmy tego wprost w obu sposobach - proporcja daje nam stosunek odcinków na boku \\(FG\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(9\\) | Uczeń wyznaczył \\(\\|GF\\|\\) (cały bok), ale nie odjął \\(\\|GI\\|\\) - zatrzymał się w połowie |\n| C. \\(12\\) | Wzięto \\(\\|FI\\| = 2 \\cdot \\|GF\\|\\) albo pomylono kierunek proporcji i liczono \\(\\|FI\\| = 3 \\cdot \\|EF\\|/21 \\cdot \\) |\n| D. \\(17\\) | Dodano \\(\\|GI\\| + \\|HI\\| = 3 + 7 + 7 = \\) - przypadkowe kombinowanie danych bez użycia podobieństwa |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(|GF|\\) z \\(|FI|\\)! Twierdzenie Talesa daje nam cały bok \\(GF = 9\\), ale pytanie dotyczy **odcinka \\(FI\\)**, czyli tej części boku **poza** punktem \\(I\\) - trzeba jeszcze odjąć \\(|GI|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek podobieństwa \\(k = \\frac{1}{3}\\) dotyczy odległości od wierzchołka \\(G\\) - bo \\(G\\) jest wierzchołkiem wspólnym obu trójkątów. Stąd \\(\\frac{|GI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\), **a nie** \\(\\frac{|FI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że podobieństwo działa tutaj, bo prosta równoległa do podstawy \"odcina\" mniejszy trójkąt podobny do całego - to klasyczny schemat zadań z trójkątami podobnymi na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Talesa / podobieństwo trójkątów\nProsta \\(HI \\parallel EF\\) tworzy trójkąt \\(GHI\\) podobny do \\(GEF\\) (\\(kkk\\)).\n\nStosunek podobieństwa: \\(k = \\dfrac{|HI|}{|EF|} = \\dfrac{7}{21} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\nWięc \\(|GI| = \\dfrac{1}{3}|GF|\\), czyli \\(|GF| = 3|GI| = 3\\cdot 3 = 9\\).\n\nDługość odcinka \\(FI\\): \\(|FI| = |GF| - |GI| = 9 - 3 = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Proporcja odcinków\n\\(\\dfrac{|GI|}{|GF|} = \\dfrac{|HI|}{|EF|} \\Rightarrow \\dfrac{3}{|GF|} = \\dfrac{7}{21} = \\dfrac{1}{3}\\).\nStąd \\(|GF|=9\\), a \\(|FI|=|GF|-|GI|=6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(9\\):** to cała długość \\(|GF|\\), nie \\(|FI|\\).\n- **C. \\(12\\):** wynik z błędnej proporcji \\(\\tfrac{21}{7}\\cdot\\tfrac{3}{1}\\).\n- **D. \\(17\\):** błąd: różnica \\(21-7+3\\)?","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (1 pkt)
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy
tworząca stożka jest
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca.
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznej. Wtedy tworząca stożka jest A. równa wysokości walca, B. dwa razy dłuższa od wysokości walca, C. trzy razy dłuższa od wysokości walca, D. sześć razy dłuższa od wysokości walca

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Modelowanie matematyczne
Wyznaczanie związków
miarowych w bryłach
obrotowych (III.9.b)
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (\\(6\\))

\n

Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów

\n

Prosta \\(HI\\) jest równoległa do \\(EF\\), więc trójkąt \\(GHI\\) jest podobny do trójkąta \\(GEF\\) (na zasadzie: kąt wspólny przy \\(G\\), dwa kąty odpowiadające sobie przy podstawach są równe - proste równoległe tworzą te same kąty z przecinającymi).

\n

Wyznaczamy współczynnik podobieństwa z boków równoległych:
\\[k = \\frac{|HI|}{|EF|} = \\frac{7}{21} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Ponieważ trójkąty są podobne z współczynnikiem \\(k = \\frac{1}{3}\\), wszystkie odpowiadające sobie boki są w tym stosunku. W szczególności:
\\[\\frac{|GI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Skoro \\(|GI| = 3\\), to:
\\[|GF| = 3 \\cdot |GI| = 3 \\cdot 3 = 9\\]

\n

Szukany odcinek \\(FI\\) to fragment boku \\(GF\\) poza punktem \\(I\\):
\\[|FI| = |GF| - |GI| = 9 - 3 = \\mathbf{6}\\]

\n

Sposób 2 - Twierdzenie Talesa bezpośrednio

\n

Prosta \\(HI \\parallel EF\\) przecina boki trójkąta \\(GEF\\). Na podstawie twierdzenia Talesa podziały obu boków są proporcjonalne:

\n

\\[\\frac{|GI|}{|FI|} = \\frac{|GH|}{|HE|} = \\frac{|HI|}{|EF|} = \\frac{7}{21} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Z proporcji \\(\\dfrac{|GI|}{|FI|} = \\dfrac{1}{3}\\) i \\(|GI| = 3\\):

\n

\\[|FI| = 3 \\cdot |GI| = 3 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:

\n
Jeśli prosta równoległa do jednego boku trójkąta przecina dwa pozostałe boki, to dzieli je proporcjonalnie.
\n

\\[\\frac{|GI|}{|IF|} = \\frac{|GH|}{|HE|} = \\frac{|HI|}{|EF|}\\]

\n

Użyliśmy tego wprost w obu sposobach - proporcja daje nam stosunek odcinków na boku \\(FG\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B. \\(9\\) | Uczeń wyznaczył \\(\\|GF\\|\\) (cały bok), ale nie odjął \\(\\|GI\\|\\) - zatrzymał się w połowie |
| C. \\(12\\) | Wzięto \\(\\|FI\\| = 2 \\cdot \\|GF\\|\\) albo pomylono kierunek proporcji i liczono \\(\\|FI\\| = 3 \\cdot \\|EF\\|/21 \\cdot \\) |
| D. \\(17\\) | Dodano \\(\\|GI\\| + \\|HI\\| = 3 + 7 + 7 = \\) - przypadkowe kombinowanie danych bez użycia podobieństwa |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(|GF|\\) z \\(|FI|\\)! Twierdzenie Talesa daje nam cały bok \\(GF = 9\\), ale pytanie dotyczy odcinka \\(FI\\), czyli tej części boku poza punktem \\(I\\) - trzeba jeszcze odjąć \\(|GI|\\).
\n
⚠️ Uwaga: Stosunek podobieństwa \\(k = \\frac{1}{3}\\) dotyczy odległości od wierzchołka \\(G\\) - bo \\(G\\) jest wierzchołkiem wspólnym obu trójkątów. Stąd \\(\\frac{|GI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\), a nie \\(\\frac{|FI|}{|GF|} = \\frac{1}{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że podobieństwo działa tutaj, bo prosta równoległa do podstawy "odcina" mniejszy trójkąt podobny do całego - to klasyczny schemat zadań z trójkątami podobnymi na maturze.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Talesa / podobieństwo trójkątów
\n

Prosta \\(HI \\parallel EF\\) tworzy trójkąt \\(GHI\\) podobny do \\(GEF\\) (\\(kkk\\)).

\n

Stosunek podobieństwa: \\(k = \\dfrac{|HI|}{|EF|} = \\dfrac{7}{21} = \\dfrac{1}{3}\\).

\n

Więc \\(|GI| = \\dfrac{1}{3}|GF|\\), czyli \\(|GF| = 3|GI| = 3\\cdot 3 = 9\\).

\n

Długość odcinka \\(FI\\): \\(|FI| = |GF| - |GI| = 9 - 3 = 6\\).

\n
Sposób 2 - Proporcja odcinków
\n

\\(\\dfrac{|GI|}{|GF|} = \\dfrac{|HI|}{|EF|} \\Rightarrow \\dfrac{3}{|GF|} = \\dfrac{7}{21} = \\dfrac{1}{3}\\).
Stąd \\(|GF|=9\\), a \\(|FI|=|GF|-|GI|=6\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}