{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nLiczba\n\n\n2\n0\n3\n4\n1\n729\n256\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\njest równa\nA.\n1\n225\nB.\n1\n15\nC. 1\nD. 15\nLiczba (1 / (pierwiastek 3 stopnia z 729 + pierwiastek 4 stopnia z 256 + 2)^0)^(-2) jest równa A. 15, B. 1, C. 1/15, D. 1/225.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie potęgi\no wykładniku wymiernym\noraz stosowanie praw działań\nna potęgach o wykładnikach\nwymiernych (II.1.g)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(400\\,000\\ \\text{m}^2\\)\n\n## Sposób 1 - Przeliczenie boków na metry, potem pole\n\n**Krok 1: Zamiana skali.**\n\nSkala \\(1 : 20\\,000\\) oznacza, że \\(1\\ \\text{cm}\\) na planie = \\(20\\,000\\ \\text{cm}\\) w rzeczywistości.\n\nZamień \\(20\\,000\\ \\text{cm}\\) na metry:\n\\[20\\,000\\ \\text{cm} = 200\\ \\text{m}\\]\n\n**Krok 2: Przelicz boki prostokąta na rzeczywiste metry.**\n\n\\[2\\ \\text{cm} \\rightarrow 2 \\cdot 200\\ \\text{m} = 400\\ \\text{m}\\]\n\\[5\\ \\text{cm} \\rightarrow 5 \\cdot 200\\ \\text{m} = 1000\\ \\text{m}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz pole prostokąta.**\n\\[P = 400\\ \\text{m} \\cdot 1000\\ \\text{m} = 400\\,000\\ \\text{m}^2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\mathbf{400\\,000\\ \\text{m}^2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Pole na planie × kwadrat skali\n\nZamiast przeliczać boki osobno, możemy skorzystać z własności skal:\n\n**Krok 1: Oblicz pole na planie.**\n\\[P_{\\text{plan}} = 2\\ \\text{cm} \\cdot 5\\ \\text{cm} = 10\\ \\text{cm}^2\\]\n\n**Krok 2: Przelicz pole używając kwadratu skali.**\n\nJeśli skala liniowa wynosi \\(1 : 20\\,000\\), to skala powierzchniowa wynosi \\(1 : 20\\,000^2\\), czyli:\n\\[P_{\\text{rzeczywiste}} = 10\\ \\text{cm}^2 \\cdot (20\\,000)^2 = 10 \\cdot 400\\,000\\,000\\ \\text{cm}^2\\]\n\\[= 4\\,000\\,000\\,000\\ \\text{cm}^2\\]\n\n**Krok 3: Zamień cm² na m².**\n\\[1\\ \\text{m}^2 = 10\\,000\\ \\text{cm}^2\\]\n\\[P = \\frac{4\\,000\\,000\\,000}{10\\,000}\\ \\text{m}^2 = 400\\,000\\ \\text{m}^2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\mathbf{400\\,000\\ \\text{m}^2}\\) ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji skali i wzoru na pole prostokąta \\(P = a \\cdot b\\) oraz przeliczanie jednostek.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(20\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Wzięcie samej liczby ze skali jako wyniku - zupełne pominięcie obliczeń |\n| B - \\(40\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Pomnożenie pola na planie (\\(10\\ \\text{cm}^2\\)) przez \\(20\\,000\\) - zastosowanie skali liniowej do powierzchni zamiast jej kwadratu; albo przeliczenie \\(2\\times 5 = 10\\), \\(10 \\times 4000 = 40\\,000\\) po złym przeliczeniu cm→m |\n| C - \\(200\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Przeliczenie \\(1\\ \\text{cm} = 200\\ \\text{m}\\) poprawne, ale błąd przy mnożeniu: np. \\(200 \\cdot 1000 = 200\\,000\\) zamiast \\(400 \\cdot 1000\\) (zapomnienie o przeliczeniu boku 2 cm) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skala \\(1 : 20\\,000\\) jest skalą **liniową** - dotyczy długości. Dla **pól (powierzchni)** trzeba pomnożyć przez **kwadrat** skali, czyli przez \\((20\\,000)^2\\). To najczęstszy błąd w zadaniach ze skalą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o jednostkach! Skala jest w cm, więc boki obliczasz w cm, przeliczasz na metry (\\(1\\ \\text{m} = 100\\ \\text{cm}\\)), a dopiero potem liczysz pole w m². Pomieszanie jednostek (cm i m w jednym wzorze) to prosta droga do błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze zacznij od przeliczenia boków na jednostki rzeczywiste, a pole oblicz na końcu - nigdy nie przeliczaj bezpośrednio \\(\\text{cm}^2\\) na \\(\\text{m}^2\\) bez uwzględnienia kwadratu skali.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rzeczywiste wymiary, potem pole\nW skali \\(1:20\\,000\\): \\(1\\,\\text{cm}\\) na planie to \\(20\\,000\\,\\text{cm} = 200\\,\\text{m}\\) w rzeczywistości.\n\nBoki parku w rzeczywistości:\n- \\(2\\,\\text{cm} \\to 400\\,\\text{m}\\),\n- \\(5\\,\\text{cm} \\to 1000\\,\\text{m}\\).\n\nPole: \\(400 \\cdot 1000 = 400\\,000\\,\\text{m}^2\\).\n\n### Sposób 2 - Skala pól\nSkala pól = (skala długości)\\(^2 = 20\\,000^2 = 4\\cdot 10^8\\).\n\nPole na planie: \\(2\\cdot 5 = 10\\,\\text{cm}^2\\).\n\nPole w rzeczywistości: \\(10\\cdot 4\\cdot 10^8 = 4\\cdot 10^9 \\,\\text{cm}^2 = 4\\cdot 10^5 \\,\\text{m}^2 = 400\\,000\\,\\text{m}^2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20\\,000\\,\\text{m}^2\\):** ktoś pomnożył pole przez skalę długości, nie przez jej kwadrat.\n- **B. \\(40\\,000\\,\\text{m}^2\\):** j.w., z innym błędem.\n- **C. \\(200\\,000\\,\\text{m}^2\\):** ktoś zapomniał o jednym boku.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Liczba


2
0
3
4
1
729
256
2













jest równa
A.
1
225
B.
1
15
C. 1
D. 15
Liczba (1 / (pierwiastek 3 stopnia z 729 + pierwiastek 4 stopnia z 256 + 2)^0)^(-2) jest równa A. 15, B. 1, C. 1/15, D. 1/225.

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie potęgi
o wykładniku wymiernym
oraz stosowanie praw działań
na potęgach o wykładnikach
wymiernych (II.1.g)
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(400\\,000\\ \\text{m}^2\\)

\n

Sposób 1 - Przeliczenie boków na metry, potem pole

\n

Krok 1: Zamiana skali.

\n

Skala \\(1 : 20\\,000\\) oznacza, że \\(1\\ \\text{cm}\\) na planie = \\(20\\,000\\ \\text{cm}\\) w rzeczywistości.

\n

Zamień \\(20\\,000\\ \\text{cm}\\) na metry:
\\[20\\,000\\ \\text{cm} = 200\\ \\text{m}\\]

\n

Krok 2: Przelicz boki prostokąta na rzeczywiste metry.

\n

\\[2\\ \\text{cm} \\rightarrow 2 \\cdot 200\\ \\text{m} = 400\\ \\text{m}\\]
\\[5\\ \\text{cm} \\rightarrow 5 \\cdot 200\\ \\text{m} = 1000\\ \\text{m}\\]

\n

Krok 3: Oblicz pole prostokąta.
\\[P = 400\\ \\text{m} \\cdot 1000\\ \\text{m} = 400\\,000\\ \\text{m}^2\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\mathbf{400\\,000\\ \\text{m}^2}\\)

\n

Sposób 2 - Pole na planie × kwadrat skali

\n

Zamiast przeliczać boki osobno, możemy skorzystać z własności skal:

\n

Krok 1: Oblicz pole na planie.
\\[P_{\\text{plan}} = 2\\ \\text{cm} \\cdot 5\\ \\text{cm} = 10\\ \\text{cm}^2\\]

\n

Krok 2: Przelicz pole używając kwadratu skali.

\n

Jeśli skala liniowa wynosi \\(1 : 20\\,000\\), to skala powierzchniowa wynosi \\(1 : 20\\,000^2\\), czyli:
\\[P_{\\text{rzeczywiste}} = 10\\ \\text{cm}^2 \\cdot (20\\,000)^2 = 10 \\cdot 400\\,000\\,000\\ \\text{cm}^2\\]
\\[= 4\\,000\\,000\\,000\\ \\text{cm}^2\\]

\n

Krok 3: Zamień cm² na m².
\\[1\\ \\text{m}^2 = 10\\,000\\ \\text{cm}^2\\]
\\[P = \\frac{4\\,000\\,000\\,000}{10\\,000}\\ \\text{m}^2 = 400\\,000\\ \\text{m}^2\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\mathbf{400\\,000\\ \\text{m}^2}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji skali i wzoru na pole prostokąta \\(P = a \\cdot b\\) oraz przeliczanie jednostek.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(20\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Wzięcie samej liczby ze skali jako wyniku - zupełne pominięcie obliczeń |
| B - \\(40\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Pomnożenie pola na planie (\\(10\\ \\text{cm}^2\\)) przez \\(20\\,000\\) - zastosowanie skali liniowej do powierzchni zamiast jej kwadratu; albo przeliczenie \\(2\\times 5 = 10\\), \\(10 \\times 4000 = 40\\,000\\) po złym przeliczeniu cm→m |
| C - \\(200\\,000\\ \\text{m}^2\\) | Przeliczenie \\(1\\ \\text{cm} = 200\\ \\text{m}\\) poprawne, ale błąd przy mnożeniu: np. \\(200 \\cdot 1000 = 200\\,000\\) zamiast \\(400 \\cdot 1000\\) (zapomnienie o przeliczeniu boku 2 cm) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Skala \\(1 : 20\\,000\\) jest skalą liniową - dotyczy długości. Dla pól (powierzchni) trzeba pomnożyć przez kwadrat skali, czyli przez \\((20\\,000)^2\\). To najczęstszy błąd w zadaniach ze skalą!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o jednostkach! Skala jest w cm, więc boki obliczasz w cm, przeliczasz na metry (\\(1\\ \\text{m} = 100\\ \\text{cm}\\)), a dopiero potem liczysz pole w m². Pomieszanie jednostek (cm i m w jednym wzorze) to prosta droga do błędu.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze zacznij od przeliczenia boków na jednostki rzeczywiste, a pole oblicz na końcu - nigdy nie przeliczaj bezpośrednio \\(\\text{cm}^2\\) na \\(\\text{m}^2\\) bez uwzględnienia kwadratu skali.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Rzeczywiste wymiary, potem pole
\n

W skali \\(1:20\\,000\\): \\(1\\,\\text{cm}\\) na planie to \\(20\\,000\\,\\text{cm} = 200\\,\\text{m}\\) w rzeczywistości.

\n

Boki parku w rzeczywistości:

\n\n

Pole: \\(400 \\cdot 1000 = 400\\,000\\,\\text{m}^2\\).

\n
Sposób 2 - Skala pól
\n

Skala pól = (skala długości)\\(^2 = 20\\,000^2 = 4\\cdot 10^8\\).

\n

Pole na planie: \\(2\\cdot 5 = 10\\,\\text{cm}^2\\).

\n

Pole w rzeczywistości: \\(10\\cdot 4\\cdot 10^8 = 4\\cdot 10^9 \\,\\text{cm}^2 = 4\\cdot 10^5 \\,\\text{m}^2 = 400\\,000\\,\\text{m}^2\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}