{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nDo wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem\n2\n2x\ny\n\n\n, należy\npunkt\nA.\n(1, 2)\nA \n\nB.\n(2, 1)\nB \n\nC.\n1\n1, 2\nC\n\n\n\n\n\n\nD.\n(4,4)\nD \nDo wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y = -2^{x-2}, należy punkt A. A = (2,-1), B. B = (1,-2), C. C = (1, 1/2), D. D = (4,4).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie potęgi\no wykładniku wymiernym\n(II.1.g)\nB\nA\n5\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(m = \\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - warunek równoległości (przyrównanie współczynników kierunkowych)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**:\n\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n- Prosta 1: \\(y = mx - 5\\) - współczynnik kierunkowy: \\(a_1 = m\\)\n- Prosta 2: \\(y = (1-2m)x + 7\\) - współczynnik kierunkowy: \\(a_2 = 1 - 2m\\)\n\nPrzyrównujemy \\(a_1 = a_2\\):\n\\[m = 1 - 2m\\]\n\\[m + 2m = 1\\]\n\\[3m = 1\\]\n\\[\\boxed{m = \\frac{1}{3}}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (wymagamy różnych wyrazów wolnych):\n- Wyraz wolny prostej 1: \\(-5\\)\n- Wyraz wolny prostej 2: \\(7\\)\n\nOczywiście \\(-5 \\neq 7\\), więc proste są **równoległe, nie identyczne**. ✓\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(m = \\frac{1}{3}\\) do równań obu prostych i sprawdzamy:\n\nProsta 1:\n\\[y = \\frac{1}{3}x - 5\\]\n\nProsta 2 (obliczamy \\(1 - 2m = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\)):\n\\[y = \\frac{1}{3}x + 7\\]\n\nObie proste mają współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{3}\\) i różne wyrazy wolne (\\(-5\\) i \\(7\\)), co potwierdza, że są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ oraz } b_1 \\neq b_2\\]\n\nTo jest kluczowy warunek użyty w Sposobie 1. Karta wzorów podaje go w formie:\n> Proste równoległe: \\(a_1 = a_2\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(m = -1\\) | Błędne równanie: uczeń pisze \\(-m = 1 - 2m\\) zamiast \\(m = 1 - 2m\\) (pomyłka znaku przy \\(m\\)) |\n| B: \\(m = -\\frac{1}{3}\\) | Błędna forma: uczeń rozwiązuje \\(m = -(1-2m)\\), jakby przyrównywał z minusem |\n| D: \\(m = 1\\) | Uczeń wstawia \\(m = 1\\) bez rachunku i sprawdza \"czy wychodzi ładna liczba\", albo błędnie upraszcza równanie do \\(m = 2m - 1 \\Rightarrow 0 = m - 1 \\Rightarrow m = 1\\) (pomylona strona odejmowania) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to NIE to samo co identyczność. Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby tą samą prostą - wtedy nie są równoległe w potocznym sensie. Zawsze sprawdź, czy \\(b_1 \\neq b_2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić odczytując współczynnik kierunkowy prostej 2. \\((1-2m)\\) to cały współczynnik przy \\(x\\), nie należy go rozbijać ani przestawiać przed podstawieniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po ustawieniu równania \\(m = 1 - 2m\\) przenoś \\(2m\\) na lewą stronę z plusem, nie z minusem - to tutaj najczęściej powstaje błąd arytmetyczny.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nDwie proste \\(y=a_1 x+b_1\\), \\(y=a_2 x+b_2\\) są równoległe \\(\\iff a_1=a_2\\) (i \\(b_1\\ne b_2\\) - tutaj \\(-5\\ne 7\\) spełnione).\n\nWięc \\(m = 1-2m\\):\n\\[3m = 1 \\Rightarrow m = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- **A. \\(m=-1\\):** \\(a_1=-1, a_2=1-(-2)=3\\) ✗\n- **B. \\(m=-\\tfrac{1}{3}\\):** \\(a_1=-\\tfrac{1}{3}, a_2=1+\\tfrac{2}{3}=\\tfrac{5}{3}\\) ✗\n- **C. \\(m=\\tfrac{1}{3}\\):** \\(a_1=\\tfrac{1}{3}, a_2=1-\\tfrac{2}{3}=\\tfrac{1}{3}\\) ✓\n- **D. \\(m=1\\):** \\(a_1=1, a_2=-1\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D:** dla tych wartości \\(m\\) współczynniki kierunkowe prostych nie są równe, więc proste nie są równoległe.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"wykladnicza","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 22. (1 pkt)
Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem
2
2x
y


, należy
punkt
A.
(1, 2)
A 

B.
(2, 1)
B 

C.
1
1, 2
C






D.
(4,4)
D 
Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y = -2^{x-2}, należy punkt A. A = (2,-1), B. B = (1,-2), C. C = (1, 1/2), D. D = (4,4).

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie potęgi
o wykładniku wymiernym
(II.1.g)
B
A
5
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(m = \\dfrac{1}{3}\\)

\n

Sposób 1 - warunek równoległości (przyrównanie współczynników kierunkowych)

\n

Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne:
\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]

\n

Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:

\n\n

Przyrównujemy \\(a_1 = a_2\\):
\\[m = 1 - 2m\\]
\\[m + 2m = 1\\]
\\[3m = 1\\]
\\[\\boxed{m = \\frac{1}{3}}\\]

\n

Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne (wymagamy różnych wyrazów wolnych):

\n\n

Oczywiście \\(-5 \\neq 7\\), więc proste są równoległe, nie identyczne. ✓

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

\n

Podstawiamy \\(m = \\frac{1}{3}\\) do równań obu prostych i sprawdzamy:

\n

Prosta 1:
\\[y = \\frac{1}{3}x - 5\\]

\n

Prosta 2 (obliczamy \\(1 - 2m = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\)):
\\[y = \\frac{1}{3}x + 7\\]

\n

Obie proste mają współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{3}\\) i różne wyrazy wolne (\\(-5\\) i \\(7\\)), co potwierdza, że są równoległe. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej:
\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ oraz } b_1 \\neq b_2\\]

\n

To jest kluczowy warunek użyty w Sposobie 1. Karta wzorów podaje go w formie:

\n
Proste równoległe: \\(a_1 = a_2\\)
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \\(m = -1\\) | Błędne równanie: uczeń pisze \\(-m = 1 - 2m\\) zamiast \\(m = 1 - 2m\\) (pomyłka znaku przy \\(m\\)) |
| B: \\(m = -\\frac{1}{3}\\) | Błędna forma: uczeń rozwiązuje \\(m = -(1-2m)\\), jakby przyrównywał z minusem |
| D: \\(m = 1\\) | Uczeń wstawia \\(m = 1\\) bez rachunku i sprawdza "czy wychodzi ładna liczba", albo błędnie upraszcza równanie do \\(m = 2m - 1 \\Rightarrow 0 = m - 1 \\Rightarrow m = 1\\) (pomylona strona odejmowania) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Równoległość to NIE to samo co identyczność. Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby tą samą prostą - wtedy nie są równoległe w potocznym sensie. Zawsze sprawdź, czy \\(b_1 \\neq b_2\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo się pomylić odczytując współczynnik kierunkowy prostej 2. \\((1-2m)\\) to cały współczynnik przy \\(x\\), nie należy go rozbijać ani przestawiać przed podstawieniem.
\n
⚠️ Uwaga: Po ustawieniu równania \\(m = 1 - 2m\\) przenoś \\(2m\\) na lewą stronę z plusem, nie z minusem - to tutaj najczęściej powstaje błąd arytmetyczny.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Warunek równoległości
\n

Dwie proste \\(y=a_1 x+b_1\\), \\(y=a_2 x+b_2\\) są równoległe \\(\\iff a_1=a_2\\) (i \\(b_1\\ne b_2\\) - tutaj \\(-5\\ne 7\\) spełnione).

\n

Więc \\(m = 1-2m\\):
\\[3m = 1 \\Rightarrow m = \\dfrac{1}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}