{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nJeżeli A jest zdarzeniem losowym, a\nA zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz\nzachodzi równość ( )\n2\n( ')\n\nP A\nP A\n, to\nA.\n2\n( )\n3\nP A \nB.\n1\n( )\n2\nP A \nC.\n1\n( )\n3\nP A \nD.\n1\n( )\n6\nP A \nJeżeli A jest zdarzeniem losowowym, a A' - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A) = 2 * P(A'), to A. P(a) = 1/6, B. P(A) = 1/3, C. P(A) = 1/2, D. P(A) = 2/3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nRozumowanie i argumentacja\nWykorzystanie sumy,\niloczynu i różnicy zdarzeń do\nobliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń\n(V.10.c)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie okręgu to \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\), czyli środek \\(S = (2, -2)\\) i promień \\(r = 2\\).\n\n## Sposób 1 - Własność okręgu stycznego do osi układu\n\n**Kluczowa obserwacja:** Jeśli okrąg jest styczny do prostej, to promień poprowadzony do punktu styczności jest **prostopadły do tej prostej**.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy x-współrzędną środka.**\n\nPunkt \\(M = (2, 0)\\) leży na osi \\(OX\\). Okrąg jest styczny do osi \\(OX\\) w tym punkcie, więc promień \\(SM\\) musi być prostopadły do osi \\(OX\\), czyli pionowy. Zatem środek \\(S\\) ma tę samą x-współrzędną co \\(M\\):\n\\[S_x = 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy y-współrzędną środka.**\n\nPunkt \\(N = (0, -2)\\) leży na osi \\(OY\\). Okrąg jest styczny do osi \\(OY\\) w tym punkcie, więc promień \\(SN\\) musi być prostopadły do osi \\(OY\\), czyli poziomy. Zatem środek \\(S\\) ma tę samą y-współrzędną co \\(N\\):\n\\[S_y = -2\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy promień.**\n\nŚrodek to \\(S = (2, -2)\\). Promień to odległość od środka do punktu styczności:\n\\[r = |SM| = \\sqrt{(2-2)^2 + (0-(-2))^2} = \\sqrt{0 + 4} = 2\\]\n\nSprawdzenie z punktem \\(N\\): \\(r = |SN| = \\sqrt{(2-0)^2 + (-2-(-2))^2} = \\sqrt{4 + 0} = 2\\) ✓\n\n**Krok 4: Zapisujemy równanie.**\n\n\\[(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2\\]\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y+2)^2 = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nZamiast wyprowadzać równanie, sprawdzamy, które z podanych równań jest spełnione dla obu punktów \\(M = (2, 0)\\) i \\(N = (0, -2)\\).\n\nSprawdzamy odpowiedź **B**: \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\)\n\nDla \\(M = (2, 0)\\):\n\\[(2-2)^2 + (0+2)^2 = 0 + 4 = 4 \\checkmark\\]\n\nDla \\(N = (0, -2)\\):\n\\[(0-2)^2 + (-2+2)^2 = 4 + 0 = 4 \\checkmark\\]\n\n**Oba punkty leżą na okręgu B.**\n\nSprawdzamy też czy okrąg B faktycznie jest styczny do osi (a nie przecina je w innych punktach). Środek \\(S = (2, -2)\\), promień \\(r = 2\\). Odległość środka od osi \\(OX\\) to \\(|{-2}| = 2 = r\\) ✓, odległość od osi \\(OY\\) to \\(|2| = 2 = r\\) ✓. Zatem okrąg jest styczny - nie przecina - każdej z osi.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach do zapisania i rozpoznania równania okręgu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Środek okręgu | Błąd |\n| A | \\(S = (2, 2)\\) | Uczeń wziął współrzędną \\(y\\) środka jako \\(+2\\) zamiast \\(-2\\) - zapomniał, że punkt \\(N = (0, -2)\\) wymaga \\(S_y = -2\\) |\n| C | \\(S = (-2, -2)\\) | Uczeń pomylił x-współrzędną środka na \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) - wziął wartość bezwzględną zamiast samej współrzędnej punktu \\(M\\) |\n| D | \\(S = (-2, 2)\\) | Podwójny błąd: zła x-współrzędna (\\(-2\\) zamiast \\(+2\\)) i zła y-współrzędna (\\(+2\\) zamiast \\(-2\\)) - zamienione znaki w obu wymiarach |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak w równaniu okręgu jest przeciwny do znaku współrzędnej środka. Środek \\(S = (2, -2)\\) daje \\((x-2)^2 + (y\\mathbf{+}2)^2 = 4\\), bo \\(y - (-2) = y + 2\\). Łatwo tu popełnić błąd znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt styczny do osi \\(OX\\) wymaga, żeby **środek leżał na tej samej pionowej linii** co punkt styczności (ta sama x-współrzędna). Analogicznie dla osi \\(OY\\) - ta sama y-współrzędna. To wynika z prostopadłości promienia do stycznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że w tym zadaniu promień \\(r = 2\\) wynika z geometrii (odległość środka do osi), a nie jest podany wprost - uczniowie czasem myślą, że \\(r\\) trzeba osobno zakładać.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Środek i promień z geometrii\nOkrąg styczny do osi \\(OX\\) w \\(M=(2,0)\\) ma środek na prostej \\(x=2\\) (prostopadłej do osi \\(OX\\) w \\(M\\)).\nOkrąg styczny do osi \\(OY\\) w \\(N=(0,-2)\\) ma środek na prostej \\(y=-2\\).\n\nStąd środek \\(S = (2,-2)\\). Promień to odległość od \\(S\\) do \\(M\\): \\(r = |0-(-2)|=2\\), albo do \\(N\\): \\(r=|2-0|=2\\).\n\nRównanie: \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie w odpowiedziach\nPunkt \\(M=(2,0)\\) i \\(N=(0,-2)\\) muszą leżeć na okręgu:\n- **B.** \\((2-2)^2+(0+2)^2=0+4=4\\) ✓ oraz \\((0-2)^2+(-2+2)^2=4+0=4\\) ✓\n- Pozostałe - sprawdzenie pokazuje niezgodność.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** środek \\((2,2)\\) - punkt \\(N\\) dałby \\(4+16=20 \\ne 4\\).\n- **C.** środek \\((-2,-2)\\) - punkt \\(M\\) dałby \\(16+4=20\\).\n- **D.** środek \\((-2,2)\\) - podobnie.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a<br>A zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz<br>zachodzi równość ( )<br>2<br>( &#x27;)<br><br>P A<br>P A<br>, to<br>A.<br>2<br>( )<br>3<br>P A <br>B.<br>1<br>( )<br>2<br>P A <br>C.<br>1<br>( )<br>3<br>P A <br>D.<br>1<br>( )<br>6<br>P A <br>Jeżeli A jest zdarzeniem losowowym, a A&#x27; - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A) = 2 * P(A&#x27;), to A. P(a) = 1/6, B. P(A) = 1/3, C. P(A) = 1/2, D. P(A) = 2/3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Rozumowanie i argumentacja<br>Wykorzystanie sumy,<br>iloczynu i różnicy zdarzeń do<br>obliczania<br>prawdopodobieństw zdarzeń<br>(V.10.c)<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Równanie okręgu to \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\), czyli środek \\(S = (2, -2)\\) i promień \\(r = 2\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Własność okręgu stycznego do osi układu</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Jeśli okrąg jest styczny do prostej, to promień poprowadzony do punktu styczności jest <strong>prostopadły do tej prostej</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy x-współrzędną środka.</strong></p>\n<p>Punkt \\(M = (2, 0)\\) leży na osi \\(OX\\). Okrąg jest styczny do osi \\(OX\\) w tym punkcie, więc promień \\(SM\\) musi być prostopadły do osi \\(OX\\), czyli pionowy. Zatem środek \\(S\\) ma tę samą x-współrzędną co \\(M\\):<br>\\[S_x = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy y-współrzędną środka.</strong></p>\n<p>Punkt \\(N = (0, -2)\\) leży na osi \\(OY\\). Okrąg jest styczny do osi \\(OY\\) w tym punkcie, więc promień \\(SN\\) musi być prostopadły do osi \\(OY\\), czyli poziomy. Zatem środek \\(S\\) ma tę samą y-współrzędną co \\(N\\):<br>\\[S_y = -2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy promień.</strong></p>\n<p>Środek to \\(S = (2, -2)\\). Promień to odległość od środka do punktu styczności:<br>\\[r = |SM| = \\sqrt{(2-2)^2 + (0-(-2))^2} = \\sqrt{0 + 4} = 2\\]</p>\n<p>Sprawdzenie z punktem \\(N\\): \\(r = |SN| = \\sqrt{(2-0)^2 + (-2-(-2))^2} = \\sqrt{4 + 0} = 2\\) ✓</p>\n<p><strong>Krok 4: Zapisujemy równanie.</strong></p>\n<p>\\[(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2\\]<br>\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y+2)^2 = 4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów</h4>\n<p>Zamiast wyprowadzać równanie, sprawdzamy, które z podanych równań jest spełnione dla obu punktów \\(M = (2, 0)\\) i \\(N = (0, -2)\\).</p>\n<p>Sprawdzamy odpowiedź <strong>B</strong>: \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\)</p>\n<p>Dla \\(M = (2, 0)\\):<br>\\[(2-2)^2 + (0+2)^2 = 0 + 4 = 4 \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla \\(N = (0, -2)\\):<br>\\[(0-2)^2 + (-2+2)^2 = 4 + 0 = 4 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Oba punkty leżą na okręgu B.</strong></p>\n<p>Sprawdzamy też czy okrąg B faktycznie jest styczny do osi (a nie przecina je w innych punktach). Środek \\(S = (2, -2)\\), promień \\(r = 2\\). Odległość środka od osi \\(OX\\) to \\(|{-2}| = 2 = r\\) ✓, odległość od osi \\(OY\\) to \\(|2| = 2 = r\\) ✓. Zatem okrąg jest styczny - nie przecina - każdej z osi.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie okręgu w postaci kanonicznej:<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]<br>gdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach do zapisania i rozpoznania równania okręgu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Środek okręgu | Błąd |<br>| A | \\(S = (2, 2)\\) | Uczeń wziął współrzędną \\(y\\) środka jako \\(+2\\) zamiast \\(-2\\) - zapomniał, że punkt \\(N = (0, -2)\\) wymaga \\(S_y = -2\\) |<br>| C | \\(S = (-2, -2)\\) | Uczeń pomylił x-współrzędną środka na \\(-2\\) zamiast \\(+2\\) - wziął wartość bezwzględną zamiast samej współrzędnej punktu \\(M\\) |<br>| D | \\(S = (-2, 2)\\) | Podwójny błąd: zła x-współrzędna (\\(-2\\) zamiast \\(+2\\)) i zła y-współrzędna (\\(+2\\) zamiast \\(-2\\)) - zamienione znaki w obu wymiarach |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak w równaniu okręgu jest przeciwny do znaku współrzędnej środka. Środek \\(S = (2, -2)\\) daje \\((x-2)^2 + (y\\mathbf{+}2)^2 = 4\\), bo \\(y - (-2) = y + 2\\). Łatwo tu popełnić błąd znaku!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt styczny do osi \\(OX\\) wymaga, żeby <strong>środek leżał na tej samej pionowej linii</strong> co punkt styczności (ta sama x-współrzędna). Analogicznie dla osi \\(OY\\) - ta sama y-współrzędna. To wynika z prostopadłości promienia do stycznej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że w tym zadaniu promień \\(r = 2\\) wynika z geometrii (odległość środka do osi), a nie jest podany wprost - uczniowie czasem myślą, że \\(r\\) trzeba osobno zakładać.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Środek i promień z geometrii</h5>\n<p>Okrąg styczny do osi \\(OX\\) w \\(M=(2,0)\\) ma środek na prostej \\(x=2\\) (prostopadłej do osi \\(OX\\) w \\(M\\)).<br>Okrąg styczny do osi \\(OY\\) w \\(N=(0,-2)\\) ma środek na prostej \\(y=-2\\).</p>\n<p>Stąd środek \\(S = (2,-2)\\). Promień to odległość od \\(S\\) do \\(M\\): \\(r = |0-(-2)|=2\\), albo do \\(N\\): \\(r=|2-0|=2\\).</p>\n<p>Równanie: \\((x-2)^2 + (y+2)^2 = 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie w odpowiedziach</h5>\n<p>Punkt \\(M=(2,0)\\) i \\(N=(0,-2)\\) muszą leżeć na okręgu:</p>\n<ul><li><strong>B.</strong> \\((2-2)^2+(0+2)^2=0+4=4\\) ✓ oraz \\((0-2)^2+(-2+2)^2=4+0=4\\) ✓</li><li>Pozostałe - sprawdzenie pokazuje niezgodność.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> środek \\((2,2)\\) - punkt \\(N\\) dałby \\(4+16=20 \\ne 4\\).</li><li><strong>C.</strong> środek \\((-2,-2)\\) - punkt \\(M\\) dałby \\(16+4=20\\).</li><li><strong>D.</strong> środek \\((-2,2)\\) - podobnie.</li></ul>"}]}