{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nNa ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?\nA. 100\nB. 90\nC. 45\nD. 20\nNa ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? A. 100, B. 90, C. 45, D. 20","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZliczanie obiektów\nw prostych sytuacjach\nkombinatorycznych\n(IV.10.b)\nC\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(48\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na objętość wyznaczamy wysokość, potem liczymy pole boczne\n\n**Dane:** promień \\(r = 4\\), objętość \\(V = 96\\pi\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wysokość walca ze wzoru na objętość.**\n\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\n\\[96\\pi = \\pi \\cdot 4^2 \\cdot h\\]\n\n\\[96\\pi = 16\\pi h\\]\n\n\\[h = \\frac{96\\pi}{16\\pi} = 6\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pole powierzchni bocznej.**\n\n\\[P_b = 2\\pi r h = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 48\\pi\\]\n\n**Odpowiedź: \\(P_b = 48\\pi\\)**, czyli odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie jednostek i kolejności obliczeń\n\nMożemy też podejść do tego odwrotnie - sprawdzić, czy dla \\(h = 6\\) objętość faktycznie wynosi \\(96\\pi\\):\n\n\\[V = \\pi r^2 h = \\pi \\cdot 16 \\cdot 6 = 96\\pi \\checkmark\\]\n\nA pole boczne to rozwinięcie bocznej powierzchni walca - prostokąt o bokach \\(2\\pi r\\) (obwód podstawy) i \\(h\\):\n\n\\[P_b = \\underbrace{2\\pi r}_{\\text{obwód podstawy}} \\cdot h = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 48\\pi \\checkmark\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzory na walec:\n\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nUżyliśmy do wyznaczenia wysokości \\(h\\) z objętości.\n\n\\[P_b = 2\\pi r h\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia pola powierzchni bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((16\\pi)\\) | Policzono samo \\(\\pi r^2 = 16\\pi\\) - to pole **podstawy**, nie powierzchni bocznej |\n| B \\((24\\pi)\\) | Policzono \\(2\\pi r \\cdot h/2\\) lub zapomniano że \\(h = 6\\), np. użyto \\(h = 3\\) (pomylono promień z połową wysokości) |\n| C \\((32\\pi)\\) | Policzono \\(P_b = \\pi r h \\cdot 2\\) ale z \\(r = 4\\) i \\(h = 4\\) - zapomniano wyznaczyć \\(h\\) i wstawiono \\(h = r\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić pola **bocznego** \\(P_b = 2\\pi r h\\) z polem **całkowitym** \\(P_c = 2\\pi r(r + h)\\) - zadanie pyta tylko o boczną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim policzysz pole boczne, ZAWSZE najpierw wyznacz brakującą daną (tu: wysokość) ze wzoru na objętość. Błąd uczniów polega na tym, że od razu próbują liczyć \\(P_b\\) bez wyznaczenia \\(h\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\pi\\) po obu stronach równania skraca się - nie bój się dzielić przez \\(\\pi\\) w środku obliczeń, to upraszcza!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wysokość z objętości, potem pole boczne\nObjętość walca: \\(V = \\pi r^2 h\\).\n\\(96\\pi = \\pi\\cdot 16 \\cdot h \\Rightarrow h = \\dfrac{96\\pi}{16\\pi} = 6\\).\n\nPole powierzchni bocznej walca: \\(P_b = 2\\pi r h = 2\\pi\\cdot 4\\cdot 6 = 48\\pi\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie jednostkowe\nDla \\(r=4, h=6\\): \\(V = \\pi\\cdot 4^2\\cdot 6 = 96\\pi\\) ✓.\nObwód podstawy \\(2\\pi r = 8\\pi\\), prostokąt boczny o wymiarach \\(8\\pi\\times 6\\) ma pole \\(48\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\pi\\):** to pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)).\n- **B. \\(24\\pi\\):** błąd - może ktoś wziął \\(h=3\\).\n- **C. \\(32\\pi\\):** ktoś pomnożył \\(4\\cdot 8\\) - nie związane z tą wysokością.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (1 pkt)<br>Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?<br>A. 100<br>B. 90<br>C. 45<br>D. 20<br>Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? A. 100, B. 90, C. 45, D. 20</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Użycie i tworzenie strategii<br>Zliczanie obiektów<br>w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych<br>(IV.10.b)<br>C<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(48\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - ze wzoru na objętość wyznaczamy wysokość, potem liczymy pole boczne</h4>\n<p><strong>Dane:</strong> promień \\(r = 4\\), objętość \\(V = 96\\pi\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy wysokość walca ze wzoru na objętość.</strong></p>\n<p>\\[V = \\pi r^2 h\\]</p>\n<p>\\[96\\pi = \\pi \\cdot 4^2 \\cdot h\\]</p>\n<p>\\[96\\pi = 16\\pi h\\]</p>\n<p>\\[h = \\frac{96\\pi}{16\\pi} = 6\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczamy pole powierzchni bocznej.</strong></p>\n<p>\\[P_b = 2\\pi r h = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 48\\pi\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(P_b = 48\\pi\\)</strong>, czyli odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie jednostek i kolejności obliczeń</h4>\n<p>Możemy też podejść do tego odwrotnie - sprawdzić, czy dla \\(h = 6\\) objętość faktycznie wynosi \\(96\\pi\\):</p>\n<p>\\[V = \\pi r^2 h = \\pi \\cdot 16 \\cdot 6 = 96\\pi \\checkmark\\]</p>\n<p>A pole boczne to rozwinięcie bocznej powierzchni walca - prostokąt o bokach \\(2\\pi r\\) (obwód podstawy) i \\(h\\):</p>\n<p>\\[P_b = \\underbrace{2\\pi r}_{\\text{obwód podstawy}} \\cdot h = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 48\\pi \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik - <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzory na walec:</p>\n<p>\\[V = \\pi r^2 h\\]</p>\n<p>Użyliśmy do wyznaczenia wysokości \\(h\\) z objętości.</p>\n<p>\\[P_b = 2\\pi r h\\]</p>\n<p>Użyliśmy do obliczenia pola powierzchni bocznej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((16\\pi)\\) | Policzono samo \\(\\pi r^2 = 16\\pi\\) - to pole <strong>podstawy</strong>, nie powierzchni bocznej |<br>| B \\((24\\pi)\\) | Policzono \\(2\\pi r \\cdot h/2\\) lub zapomniano że \\(h = 6\\), np. użyto \\(h = 3\\) (pomylono promień z połową wysokości) |<br>| C \\((32\\pi)\\) | Policzono \\(P_b = \\pi r h \\cdot 2\\) ale z \\(r = 4\\) i \\(h = 4\\) - zapomniano wyznaczyć \\(h\\) i wstawiono \\(h = r\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić pola <strong>bocznego</strong> \\(P_b = 2\\pi r h\\) z polem <strong>całkowitym</strong> \\(P_c = 2\\pi r(r + h)\\) - zadanie pyta tylko o boczną!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zanim policzysz pole boczne, ZAWSZE najpierw wyznacz brakującą daną (tu: wysokość) ze wzoru na objętość. Błąd uczniów polega na tym, że od razu próbują liczyć \\(P_b\\) bez wyznaczenia \\(h\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\pi\\) po obu stronach równania skraca się - nie bój się dzielić przez \\(\\pi\\) w środku obliczeń, to upraszcza!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wysokość z objętości, potem pole boczne</h5>\n<p>Objętość walca: \\(V = \\pi r^2 h\\).<br>\\(96\\pi = \\pi\\cdot 16 \\cdot h \\Rightarrow h = \\dfrac{96\\pi}{16\\pi} = 6\\).</p>\n<p>Pole powierzchni bocznej walca: \\(P_b = 2\\pi r h = 2\\pi\\cdot 4\\cdot 6 = 48\\pi\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie jednostkowe</h5>\n<p>Dla \\(r=4, h=6\\): \\(V = \\pi\\cdot 4^2\\cdot 6 = 96\\pi\\) ✓.<br>Obwód podstawy \\(2\\pi r = 8\\pi\\), prostokąt boczny o wymiarach \\(8\\pi\\times 6\\) ma pole \\(48\\pi\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(16\\pi\\):</strong> to pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)).</li><li><strong>B. \\(24\\pi\\):</strong> błąd - może ktoś wziął \\(h=3\\).</li><li><strong>C. \\(32\\pi\\):</strong> ktoś pomnożył \\(4\\cdot 8\\) - nie związane z tą wysokością.</li></ul>"}]}