{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nMediana zestawu danych 2, 12,\n, 10, 5, 3\na\njest równa 7. Wówczas\nA.\n4\na \nB.\n6\na \nC.\n7\na \nD.\n9\na \n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać\nw wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nMediana zestawu danych 2, 12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas A. a=9, B. a=7, C. a=6, D a=4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nObliczanie mediany danych\n(III.2.e)\nD\nA\n6\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nSchemat oceniania zadań otwartych","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(h = 9\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na objętość ostrosłupa\n\nOstrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę w kształcie kwadratu.\n\n**Dane:**\n- Objętość: \\(V = 432\\)\n- Krawędź podstawy: \\(a = 12\\)\n\nPole podstawy (kwadrat):\n\\[P_p = a^2 = 12^2 = 144\\]\n\nWzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\n\nPodstawiamy znane wartości i wyznaczamy \\(h\\):\n\\[432 = \\frac{1}{3} \\cdot 144 \\cdot h\\]\n\\[432 = 48h\\]\n\\[h = \\frac{432}{48} = 9\\]\n\n**Wysokość ostrosłupa wynosi \\(h = 9\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie z powrotem)\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = 12\\) i \\(h = 9\\) rzeczywiście \\(V = 432\\):\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 12^2 \\cdot 9 = \\frac{1}{3} \\cdot 144 \\cdot 9 = \\frac{1296}{3} = 432 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość.\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio do wyznaczenia \\(h\\). Pole podstawy (kwadrat) to \\(P_p = a^2\\) - podstawowy wzór z geometrii płaskiej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tego wyniku |\n| A | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze: \\(432 = 144 \\cdot h \\Rightarrow h = 3\\) - czyli policzono objętość graniastosłupa, nie ostrosłupa |\n| C | Pomylono kolejność działań: \\(432 \\div 12 \\div \\frac{1}{3} = 36 \\cdot \\frac{3}{4} \\) lub użyto krawędzi zamiast pola: \\(\\frac{432 \\cdot 3}{12 \\cdot 4} = 27\\) |\n| D | Wzięto pole podstawy jako \\(a\\) (czyli 12) zamiast \\(a^2 = 144\\): \\(\\frac{432 \\cdot 3}{12} = 108\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze na objętość. Graniastosłup to \\(P_p \\cdot h\\), ostrosłup to dokładnie trzy razy mniej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Krawędź podstawy\" to bok kwadratu \\(a\\), a nie długość krawędzi bocznej ostrosłupa. Pole podstawy = \\(a^2 = 144\\), nie \\(a = 12\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(h\\) pamiętaj, że równanie \\(432 = 48h\\) rozwiązujemy przez **dzielenie** obu stron przez 48, a nie przez mnożenie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość ostrosłupa\n\\(V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot H\\), gdzie \\(P_p\\) to pole podstawy.\nPodstawą jest kwadrat o boku \\(12\\), więc \\(P_p = 12^2 = 144\\).\n\n\\[432 = \\dfrac{1}{3}\\cdot 144 \\cdot H \\Rightarrow 432 = 48H \\Rightarrow H = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie odpowiedzi\nDla \\(H=9\\): \\(V=\\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\cdot 9 = 48\\cdot 9 = 432\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\):** \\(V=\\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\cdot 3=144\\ne 432\\).\n- **C. \\(27\\):** daje \\(V=1296\\).\n- **D. \\(108\\):** daje \\(V=5184\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (1 pkt)
Mediana zestawu danych 2, 12,
, 10, 5, 3
a
jest równa 7. Wówczas
A.
4
a 
B.
6
a 
C.
7
a 
D.
9
a 

\n

Poziom podstawowy
9
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
10
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać
w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.
Mediana zestawu danych 2, 12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas A. a=9, B. a=7, C. a=6, D a=4

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Modelowanie matematyczne
Obliczanie mediany danych
(III.2.e)
D
A
6
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Schemat oceniania zadań otwartych

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(h = 9\\)

\n

Sposób 1 - ze wzoru na objętość ostrosłupa

\n

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę w kształcie kwadratu.

\n

Dane:

\n\n

Pole podstawy (kwadrat):
\\[P_p = a^2 = 12^2 = 144\\]

\n

Wzór na objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]

\n

Podstawiamy znane wartości i wyznaczamy \\(h\\):
\\[432 = \\frac{1}{3} \\cdot 144 \\cdot h\\]
\\[432 = 48h\\]
\\[h = \\frac{432}{48} = 9\\]

\n

Wysokość ostrosłupa wynosi \\(h = 9\\).

\n

Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie z powrotem)

\n

Sprawdzamy, czy dla \\(a = 12\\) i \\(h = 9\\) rzeczywiście \\(V = 432\\):

\n

\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 12^2 \\cdot 9 = \\frac{1}{3} \\cdot 144 \\cdot 9 = \\frac{1296}{3} = 432 \\checkmark\\]

\n

Wynik zgadza się - odpowiedź B jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzór na objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]
gdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość.

\n

Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio do wyznaczenia \\(h\\). Pole podstawy (kwadrat) to \\(P_p = a^2\\) - podstawowy wzór z geometrii płaskiej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tego wyniku |
| A | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze: \\(432 = 144 \\cdot h \\Rightarrow h = 3\\) - czyli policzono objętość graniastosłupa, nie ostrosłupa |
| C | Pomylono kolejność działań: \\(432 \\div 12 \\div \\frac{1}{3} = 36 \\cdot \\frac{3}{4} \\) lub użyto krawędzi zamiast pola: \\(\\frac{432 \\cdot 3}{12 \\cdot 4} = 27\\) |
| D | Wzięto pole podstawy jako \\(a\\) (czyli 12) zamiast \\(a^2 = 144\\): \\(\\frac{432 \\cdot 3}{12} = 108\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze na objętość. Graniastosłup to \\(P_p \\cdot h\\), ostrosłup to dokładnie trzy razy mniej!
\n
⚠️ Uwaga: "Krawędź podstawy" to bok kwadratu \\(a\\), a nie długość krawędzi bocznej ostrosłupa. Pole podstawy = \\(a^2 = 144\\), nie \\(a = 12\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(h\\) pamiętaj, że równanie \\(432 = 48h\\) rozwiązujemy przez dzielenie obu stron przez 48, a nie przez mnożenie.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór na objętość ostrosłupa
\n

\\(V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot H\\), gdzie \\(P_p\\) to pole podstawy.
Podstawą jest kwadrat o boku \\(12\\), więc \\(P_p = 12^2 = 144\\).

\n

\\[432 = \\dfrac{1}{3}\\cdot 144 \\cdot H \\Rightarrow 432 = 48H \\Rightarrow H = 9.\\]

\n
Sposób 2 - Podstawienie odpowiedzi
\n

Dla \\(H=9\\): \\(V=\\tfrac{1}{3}\\cdot 144\\cdot 9 = 48\\cdot 9 = 432\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}