{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nWykresem funkcji kwadratowej\n\n2\n2\nf x\nx\nbx\nc\n\n\n\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt\n\n\n4,0\nW \n. Oblicz wartości współczynników b i c.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nWykresem funkcji kwadratowej f(x) = 2x^2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartość współczynników b i c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWykresem funkcji kwadratowej\n\n2\n2\nf x\nx\nbx\nc\n\n\n\njest parabola, której wierzchołkiem jest\npunkt\n\n\n4,0\nW \n. Oblicz wartości współczynników b i c.\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i)\nRozwiązanie (I sposób)\nZe wzorów\n2\nw\nb\nx\na\n\n,\n4\nw\ny\na\n\n\nna współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:\n4\n2 2\nb\n\n\n\ni\n0\n4 2\n\n\n\n\n, więc\n16\nb \ni\n0\n\nStąd \n\n2\n16\n4 2\n0\nc\n\n\n, czyli\n32\nc \nRozwiązanie (II sposób)\nWzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n16\n8\n4\n8\nb\nb\nb\nb\nb\nb\nf x\nx\nx\nc\nx\nx\nc\nx\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nWierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne\n2\n,\n4\n8\nb\nb\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Otrzymujemy układ\nrównań\n4\n4\nb\n\n\ni\n2\n0\n8\nb\nc \n\nStąd\n16\nb \ni\n2\n2\n16\n32\n8\n8\nb\nc \n\n\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy :\n obliczy współczynnik b:\n16\nb \ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\n zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.:\n4\n4\nb\n\n\ni\n2\n0\n8\nb\nc \n\n,\ni nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy współczynniki b i c:\n16\nb \n,\n32\nc \nRozwiązanie (III sposób)\nPonieważ\n4\n\nw\nx\noraz\n0\nw\ny \n, więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny,\nzatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej\n\n\n\n2\n2\n4\n\n\nf x\nx\nStąd\n\n2\n2\n16\n32\n\n\n\nf x\nx\nx\n, zatem\n16\nb \ni\n32\nc \n7\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że\n\n\n\n2\n2\n4\nf x\nx\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy współczynniki b i c:\n16\nb \n,\n32\nc ","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - analiza znaków (tabela znaków)\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe każdego czynnika.**\n\n\\[2x - 3 = 0 \\implies x = \\frac{3}{2}\\]\n\n\\[3 - x = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Krok 2: Utwórz tabelę znaków.**\n\nDzielimy oś liczbową na trzy przedziały: $\\left(-\\infty, \\frac{3}{2}\\right)$, $\\left(\\frac{3}{2}, 3\\right)$, $\\left(3, +\\infty\\right)$.\n\n| Przedział | \\(2x-3\\) | \\(3-x\\) | Iloczyn |\n| \\(x < \\frac{3}{2}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = \\frac{3}{2}\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(\\frac{3}{2} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n\n**Krok 3: Odczytaj wynik.**\n\nIloczyn jest **nieujemny** (czyli \\(\\ge 0\\)) dla \\(x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle\\).\n\n> Uwaga: końce przedziału włączamy, bo nierówność jest **nieostra** (\\(\\ge 0\\)), a w punktach $x = \\frac{3}{2}$ i $x = 3$ iloczyn wynosi dokładnie \\(0\\).\n\n## Sposób 2 - sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\n**Krok 1: Rozwiń iloczyn.**\n\n\\[(2x-3)(3-x) = 6x - 2x^2 - 9 + 3x = -2x^2 + 9x - 9\\]\n\nNierówność staje się:\n\n\\[-2x^2 + 9x - 9 \\ge 0\\]\n\n**Krok 2: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\) - zmień kierunek nierówności!**\n\n\\[2x^2 - 9x + 9 \\le 0\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\n\\[\\Delta = (-9)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 9 = 81 - 72 = 9\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{9 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot 2} = \\frac{9 - 3}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{9 + \\sqrt{9}}{4} = \\frac{9 + 3}{4} = \\frac{12}{4} = 3\\]\n\n**Krok 4: Odczytaj wynik z kształtu paraboli.**\n\nTrójmian \\(2x^2 - 9x + 9\\) ma \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę**. Trójmian jest **nieujemny** poza miejscami zerowymi i **niedodatni** między nimi.\n\nSzukamy \\(2x^2 - 9x + 9 \\le 0\\), więc odpowiedź to:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nW Sposobie 2 skorzystaliśmy ze wzoru na miejsca zerowe trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy też faktu o znaku trójmianu kwadratowego:\n- Gdy \\(a > 0\\): trójmian jest **ujemny między** pierwiastkami \\(x_1\\) i \\(x_2\\), a **nieujemny na zewnątrz**.\n- (Ta własność wynika bezpośrednio z postaci iloczynowej \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) - s. 7.)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy mnożysz nierówność przez liczbę **ujemną**, musisz **odwrócić znak** nierówności. W Sposobie 2 mnożyliśmy przez \\(-1\\), więc \\(\\ge 0\\) zamieniło się w \\(\\le 0\\). To klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału - przy nierówności **ostrej** (\\(> 0\\)) punkty \\(x = \\frac{3}{2}\\) i \\(x = 3\\) byłyby wykluczone (nawiasy okrągłe). Przy **nieostrą** (\\(\\ge 0\\)) są włączone (nawiasy kątowe \\(\\langle\\,\\rangle\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie przestawiaj czynników bez zastanowienia. Czynnik \\(3 - x\\) jest malejącą funkcją \\(x\\) - zera szukaj poprawnie: \\(3 - x = 0 \\Rightarrow x = 3\\), a nie \\(x = -3\\).\n\n### Rozwiązanie\n\n**Krok 1. Miejsca zerowe**\nIloczyn jest równy zero, gdy któryś czynnik jest zerem:\n\\[2x-3=0 \\Rightarrow x=\\dfrac{3}{2},\\quad 3-x=0 \\Rightarrow x=3.\\]\n\n**Krok 2. Sprowadzenie do postaci kanonicznej**\nWymnóżmy (lub zanalizujmy znak):\n\\((2x-3)(3-x) = -2x^2 + 9x - 9\\).\n\nTo trójmian kwadratowy z \\(a=-2<0\\) - parabola **ramionami w dół**. Miejsca zerowe \\(x=\\tfrac{3}{2}, x=3\\). Jest nieujemna (\\(\\ge 0\\)) między miejscami zerowymi (włącznie z końcami).\n\n**Krok 3. Zbiór rozwiązań**\n\\[\\boxed{\\,x \\in \\left\\langle \\dfrac{3}{2},\\, 3 \\right\\rangle\\,}\\quad\\text{czyli}\\quad \\dfrac{3}{2} \\le x \\le 3.\\]\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=2\\) (wewnątrz): \\((4-3)(3-2)=1\\cdot 1=1\\ge 0\\) ✓\n- \\(x=0\\) (poza): \\((-3)(3)=-9<0\\) ✗\n- \\(x=\\tfrac{3}{2}\\): \\((0)(3/2)=0\\ge 0\\) ✓ (koniec należy)\n- \\(x=3\\): \\((3)(0)=0\\ge 0\\) ✓","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Wykresem funkcji kwadratowej

2
2
f x
x
bx
c



jest parabola, której wierzchołkiem jest
punkt


4,0
W 
. Oblicz wartości współczynników b i c.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
11
Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 2x^2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartość współczynników b i c.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Wykresem funkcji kwadratowej

2
2
f x
x
bx
c



jest parabola, której wierzchołkiem jest
punkt


4,0
W 
. Oblicz wartości współczynników b i c.
Użycie i tworzenie strategii
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i)
Rozwiązanie (I sposób)
Ze wzorów
2
w
b
x
a

,
4
w
y
a


na współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:
4
2 2
b



i
0
4 2




, więc
16
b 
i
0

Stąd 

2
16
4 2
0
c


, czyli
32
c 
Rozwiązanie (II sposób)
Wzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
16
8
4
8
b
b
b
b
b
b
f x
x
x
c
x
x
c
x
c




























Wierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne
2
,
4
8
b
b
c








. Otrzymujemy układ
równań
4
4
b


i
2
0
8
b
c 

Stąd
16
b 
i
2
2
16
32
8
8
b
c 


Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy :
 obliczy współczynnik b:
16
b 
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy
albo
 zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.:
4
4
b


i
2
0
8
b
c 

,
i nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy współczynniki b i c:
16
b 
,
32
c 
Rozwiązanie (III sposób)
Ponieważ
4

w
x
oraz
0
w
y 
, więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny,
zatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej



2
2
4


f x
x
Stąd

2
2
16
32



f x
x
x
, zatem
16
b 
i
32
c 
7
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze, że



2
2
4
f x
x


Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy współczynniki b i c:
16
b 
,
32
c 

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle\\)

\n

Sposób 1 - analiza znaków (tabela znaków)

\n

Krok 1: Znajdź miejsca zerowe każdego czynnika.

\n

\\[2x - 3 = 0 \\implies x = \\frac{3}{2}\\]

\n

\\[3 - x = 0 \\implies x = 3\\]

\n

Krok 2: Utwórz tabelę znaków.

\n

Dzielimy oś liczbową na trzy przedziały: $\\left(-\\infty, \\frac{3}{2}\\right)$, $\\left(\\frac{3}{2}, 3\\right)$, $\\left(3, +\\infty\\right)$.

\n

| Przedział | \\(2x-3\\) | \\(3-x\\) | Iloczyn |
| \\(x < \\frac{3}{2}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |
| \\(x = \\frac{3}{2}\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(\\frac{3}{2} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |

\n

Krok 3: Odczytaj wynik.

\n

Iloczyn jest nieujemny (czyli \\(\\ge 0\\)) dla \\(x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle\\).

\n
Uwaga: końce przedziału włączamy, bo nierówność jest nieostra (\\(\\ge 0\\)), a w punktach $x = \\frac{3}{2}$ i $x = 3$ iloczyn wynosi dokładnie \\(0\\).
\n

Sposób 2 - sprowadzenie do trójmianu kwadratowego

\n

Krok 1: Rozwiń iloczyn.

\n

\\[(2x-3)(3-x) = 6x - 2x^2 - 9 + 3x = -2x^2 + 9x - 9\\]

\n

Nierówność staje się:

\n

\\[-2x^2 + 9x - 9 \\ge 0\\]

\n

Krok 2: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\) - zmień kierunek nierówności!

\n

\\[2x^2 - 9x + 9 \\le 0\\]

\n

Krok 3: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.

\n

\\[\\Delta = (-9)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 9 = 81 - 72 = 9\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{9 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot 2} = \\frac{9 - 3}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{9 + \\sqrt{9}}{4} = \\frac{9 + 3}{4} = \\frac{12}{4} = 3\\]

\n

Krok 4: Odczytaj wynik z kształtu paraboli.

\n

Trójmian \\(2x^2 - 9x + 9\\) ma \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę. Trójmian jest nieujemny poza miejscami zerowymi i niedodatni między nimi.

\n

Szukamy \\(2x^2 - 9x + 9 \\le 0\\), więc odpowiedź to:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\left\\langle \\frac{3}{2}, 3 \\right\\rangle}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

W Sposobie 2 skorzystaliśmy ze wzoru na miejsca zerowe trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy też faktu o znaku trójmianu kwadratowego:

\n\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy mnożysz nierówność przez liczbę ujemną, musisz odwrócić znak nierówności. W Sposobie 2 mnożyliśmy przez \\(-1\\), więc \\(\\ge 0\\) zamieniło się w \\(\\le 0\\). To klasyczna pułapka!
\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziału - przy nierówności ostrej (\\(> 0\\)) punkty \\(x = \\frac{3}{2}\\) i \\(x = 3\\) byłyby wykluczone (nawiasy okrągłe). Przy nieostrą (\\(\\ge 0\\)) są włączone (nawiasy kątowe \\(\\langle\\,\\rangle\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nie przestawiaj czynników bez zastanowienia. Czynnik \\(3 - x\\) jest malejącą funkcją \\(x\\) - zera szukaj poprawnie: \\(3 - x = 0 \\Rightarrow x = 3\\), a nie \\(x = -3\\).
\n
Rozwiązanie
\n

Krok 1. Miejsca zerowe
Iloczyn jest równy zero, gdy któryś czynnik jest zerem:
\\[2x-3=0 \\Rightarrow x=\\dfrac{3}{2},\\quad 3-x=0 \\Rightarrow x=3.\\]

\n

Krok 2. Sprowadzenie do postaci kanonicznej
Wymnóżmy (lub zanalizujmy znak):
\\((2x-3)(3-x) = -2x^2 + 9x - 9\\).

\n

To trójmian kwadratowy z \\(a=-2<0\\) - parabola ramionami w dół. Miejsca zerowe \\(x=\\tfrac{3}{2}, x=3\\). Jest nieujemna (\\(\\ge 0\\)) między miejscami zerowymi (włącznie z końcami).

\n

Krok 3. Zbiór rozwiązań
\\[\\boxed{\\,x \\in \\left\\langle \\dfrac{3}{2},\\, 3 \\right\\rangle\\,}\\quad\\text{czyli}\\quad \\dfrac{3}{2} \\le x \\le 3.\\]

\n
Weryfikacja
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$b = -16, c = 32$

"}]}