{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n9\n18\n4\n8\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nRozwiąż równanie 9x^3+18x^2-4x-8 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n9\n18\n4\n8\n0\nx\nx\nx\n\n\n\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu\nna czynniki (I.3.d)\nRozwiązanie (I sposób - metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania\nwyrazów\n\n\n\n\n2\n9\n2\n4\n2\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nlub \n\n\n\n2\n2\n9\n4\n2 9\n4\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n\n2\n2\n9\n4\n0\nx\nx\n\n\n\nZatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: \n\n\n2\n2\n9\n4\nx\nx\n\n\n, i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nRozwiązanie (II sposób - metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 2\n jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n. Dzielimy\nten wielomian przez dwumian \n\n2\nx \ni otrzymujemy iloraz\n2\n(9\n4)\nx \n. Obliczamy\npierwiastki trójmianu\n2\n(9\n4)\nx \n: 1\n2\n3\nx \noraz\n2\n2\n3\nx \n. Zatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nalbo\nStwierdzamy, że liczba\n2\n3\n\njest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n. Dzielimy\nten wielomian przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\ni otrzymujemy iloraz\n2\n(9\n12\n12)\nx\nx\n\n\n. Obliczamy\nwyróżnik trójmianu\n2\n(9\n12\n12)\nx\nx\n\n\n:\n\n\n2\n12\n4 9\n12\n576\n\n\n\n. Stąd pierwiastkami\n8\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\ntrójmianu są liczby 1\n12\n24\n2\n18\nx\n\n\n\n oraz\n2\n12\n24\n2\n18\n3\nx\n\n\n\n\n. Zatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nalbo\nStwierdzamy, że liczba 2\n3 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n. Dzielimy\nten wielomian przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\ni otrzymujemy iloraz\n2\n(9\n24\n12)\nx\nx\n\n\n. Obliczamy\nwyróżnik trójmianu:\n2\n24\n4 9 12\n144\n\n\n\n. Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby\n1\n24 12\n2\n18\nx\n\n\n\n oraz\n2\n24 12\n2\n18\n3\nx\n\n\n\n\n. Zatem\n2\nx  lub\n2\n3\nx \nlub\n2\n3\nx \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n podzieli wielomian\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n przez dwumian \n\n2\nx \n, otrzyma iloraz\n2\n(9\n4)\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\n, otrzyma iloraz\n2\n(9\n24\n12)\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n3\n2\n9\n18\n4\n8\nx\nx\nx\n\n\n przez dwumian\n2\n3\nx\n\n\n\n\n\n\n\n, otrzyma iloraz\n2\n(9\n12\n12)\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n3\n2\n8\n12\n2\n3\nx\nx\nx\n\n\n przez trójmian kwadratowy, np.\n2\n(9\n4)\nx \n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2 2\n2,\n,\n3 3\n\n\nUwaga\nJeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n9\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)\n\nZadanie polega na **udowodnieniu** nierówności:\n\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\frac{a^2+b^2}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - przekształcenie do równoważnej nierówności (metoda algebraiczna)\n\n**Idea:** Sprowadzamy nierówność do postaci, którą łatwo uzasadnić (np. kwadrat liczby jest nieujemny).\n\n**Krok 1.** Pomnóż obie strony przez \\(4 > 0\\) (kierunek nierówności się nie zmienia):\n\\[(a+b)^2 \\le 2(a^2+b^2)\\]\n\n**Krok 2.** Rozwiń lewą stronę korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\le 2a^2 + 2b^2\\]\n\n**Krok 3.** Przenieś wszystko na prawą stronę:\n\\[0 \\le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2\\]\n\\[0 \\le a^2 - 2ab + b^2\\]\n\n**Krok 4.** Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia:\n\\[0 \\le (a - b)^2\\]\n\n**Wniosek:** Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, czyli \\((a-b)^2 \\ge 0\\) **dla wszystkich** \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). Zachodzi równość dokładnie wtedy, gdy \\(a = b\\).\n\nPonieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez \\(4 > 0\\), przenoszenie wyrazów), nierówność wyjściowa jest prawdziwa dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - bezpośrednie rozwinięcie obu stron i porównanie\n\n**Idea:** Zamiast mnożyć przez 4, bezpośrednio rozwijamy lewą stronę i pokazujemy, że różnica \\(\\text{prawa} - \\text{lewa} \\ge 0\\).\n\n**Krok 1.** Oblicz lewą stronę:\n\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{(a+b)^2}{4} = \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz różnicę \\(\\frac{a^2+b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2\\):\n\\[\\frac{a^2+b^2}{2} - \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]\n\n**Krok 3.** Sprowadź do wspólnego mianownika \\(4\\):\n\\[\\frac{2(a^2+b^2)}{4} - \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \\frac{2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{4}\\]\n\\[= \\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \\frac{(a-b)^2}{4}\\]\n\n**Krok 4.** Ponieważ \\((a-b)^2 \\ge 0\\) dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\), mamy:\n\\[\\frac{(a-b)^2}{4} \\ge 0\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{a^2+b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\ge 0 \\implies \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\frac{a^2+b^2}{2} \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy obu wzorów przy rozwijaniu wyrażeń w krokach 2-3 obu sposobów.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność ogólna:\nDla dowolnej liczby rzeczywistej \\(x\\): \\(x^2 \\ge 0\\), ze szczególnym przypadkiem \\((a-b)^2 \\ge 0\\). To jest serce całego dowodu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić nierówność dla kilku przykładowych wartości (np. \\(a=2, b=4\\)). Dowód musi działać **dla wszystkich** \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\) - musisz dojść do tożsamości lub oczywistej własności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną kierunek nierówności się odwraca! Tutaj mnożymy przez \\(4 > 0\\), więc kierunek zostaje - ale zawsze sprawdź znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równość \\(\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{a^2+b^2}{2}\\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \\(a = b\\). To warto zauważyć - oznacza, że nierówność jest **ostra** dla \\(a \\ne b\\). Jeśli zadanie pyta o warunek równości, odpowiedź brzmi: \\(a = b\\).\n\n### Dowód\n\n**Krok 1. Przekształcenie nierówności równoważnie**\nZaczynamy od nierówności, którą mamy wykazać:\n\\[\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\dfrac{a^2+b^2}{2}.\\]\n\nLewa strona: \\(\\dfrac{(a+b)^2}{4}\\). Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (dodatnie, nierówność zachowana):\n\\[(a+b)^2 \\le 2(a^2+b^2).\\]\n\n**Krok 2. Rozwijamy kwadrat**\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\\]\nNierówność:\n\\[a^2 + 2ab + b^2 \\le 2a^2 + 2b^2.\\]\n\n**Krok 3. Przenosimy wszystko na jedną stronę**\n\\[0 \\le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2.\\]\n\n**Krok 4. Wniosek**\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: \\((a-b)^2 \\ge 0\\) dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.\n\n**Uwaga:** Równość zachodzi \\(\\iff a=b\\).\n\n\\(\\blacksquare\\)","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
9
18
4
8
0
x
x
x




Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
12
Rozwiąż równanie 9x^3+18x^2-4x-8 = 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiąż równanie
3
2
9
18
4
8
0
x
x
x



Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu
na czynniki (I.3.d)
Rozwiązanie (I sposób - metoda grupowania)
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania
wyrazów




2
9
2
4
2
0
x
x
x




lub 



2
2
9
4
2 9
4
0
x
x
x




, stąd



2
2
9
4
0
x
x



Zatem
2
x  lub
2
3
x 
lub
2
3
x 
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: 


2
2
9
4
x
x


, i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błąd.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
2
x  lub
2
3
x 
lub
2
3
x 
Rozwiązanie (II sposób - metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba 2
 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
9
18
4
8
x
x
x


. Dzielimy
ten wielomian przez dwumian 

2
x 
i otrzymujemy iloraz
2
(9
4)
x 
. Obliczamy
pierwiastki trójmianu
2
(9
4)
x 
: 1
2
3
x 
oraz
2
2
3
x 
. Zatem
2
x  lub
2
3
x 
lub
2
3
x 
albo
Stwierdzamy, że liczba
2
3

jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
9
18
4
8
x
x
x


. Dzielimy
ten wielomian przez dwumian
2
3
x







i otrzymujemy iloraz
2
(9
12
12)
x
x


. Obliczamy
wyróżnik trójmianu
2
(9
12
12)
x
x


:


2
12
4 9
12
576



. Stąd pierwiastkami
8
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
trójmianu są liczby 1
12
24
2
18
x



 oraz
2
12
24
2
18
3
x




. Zatem
2
x  lub
2
3
x 
lub
2
3
x 
albo
Stwierdzamy, że liczba 2
3 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
9
18
4
8
x
x
x


. Dzielimy
ten wielomian przez dwumian
2
3
x







i otrzymujemy iloraz
2
(9
24
12)
x
x


. Obliczamy
wyróżnik trójmianu:
2
24
4 9 12
144



. Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby
1
24 12
2
18
x



 oraz
2
24 12
2
18
3
x




. Zatem
2
x  lub
2
3
x 
lub
2
3
x 
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 podzieli wielomian
3
2
9
18
4
8
x
x
x


 przez dwumian 

2
x 
, otrzyma iloraz
2
(9
4)
x 
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
 podzieli wielomian
3
2
9
18
4
8
x
x
x


 przez dwumian
2
3
x







, otrzyma iloraz
2
(9
24
12)
x
x


i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
 podzieli wielomian
3
2
9
18
4
8
x
x
x


 przez dwumian
2
3
x







, otrzyma iloraz
2
(9
12
12)
x
x


i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
 podzieli wielomian
3
2
8
12
2
3
x
x
x


 przez trójmian kwadratowy, np.
2
(9
4)
x 
,
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
2 2
2,
,
3 3


Uwaga
Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może
otrzymać co najwyżej 1 punkt.
9
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)

\n

Zadanie polega na udowodnieniu nierówności:
\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\frac{a^2+b^2}{2}\\]

\n

Sposób 1 - przekształcenie do równoważnej nierówności (metoda algebraiczna)

\n

Idea: Sprowadzamy nierówność do postaci, którą łatwo uzasadnić (np. kwadrat liczby jest nieujemny).

\n

Krok 1. Pomnóż obie strony przez \\(4 > 0\\) (kierunek nierówności się nie zmienia):
\\[(a+b)^2 \\le 2(a^2+b^2)\\]

\n

Krok 2. Rozwiń lewą stronę korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
\\[a^2 + 2ab + b^2 \\le 2a^2 + 2b^2\\]

\n

Krok 3. Przenieś wszystko na prawą stronę:
\\[0 \\le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2\\]
\\[0 \\le a^2 - 2ab + b^2\\]

\n

Krok 4. Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia:
\\[0 \\le (a - b)^2\\]

\n

Wniosek: Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, czyli \\((a-b)^2 \\ge 0\\) dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). Zachodzi równość dokładnie wtedy, gdy \\(a = b\\).

\n

Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez \\(4 > 0\\), przenoszenie wyrazów), nierówność wyjściowa jest prawdziwa dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - bezpośrednie rozwinięcie obu stron i porównanie

\n

Idea: Zamiast mnożyć przez 4, bezpośrednio rozwijamy lewą stronę i pokazujemy, że różnica \\(\\text{prawa} - \\text{lewa} \\ge 0\\).

\n

Krok 1. Oblicz lewą stronę:
\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{(a+b)^2}{4} = \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]

\n

Krok 2. Oblicz różnicę \\(\\frac{a^2+b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2\\):
\\[\\frac{a^2+b^2}{2} - \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]

\n

Krok 3. Sprowadź do wspólnego mianownika \\(4\\):
\\[\\frac{2(a^2+b^2)}{4} - \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \\frac{2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{4}\\]
\\[= \\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \\frac{(a-b)^2}{4}\\]

\n

Krok 4. Ponieważ \\((a-b)^2 \\ge 0\\) dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\), mamy:
\\[\\frac{(a-b)^2}{4} \\ge 0\\]

\n

Zatem:
\\[\\frac{a^2+b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\ge 0 \\implies \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\frac{a^2+b^2}{2} \\quad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)
\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy obu wzorów przy rozwijaniu wyrażeń w krokach 2-3 obu sposobów.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własność ogólna:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \\(x\\): \\(x^2 \\ge 0\\), ze szczególnym przypadkiem \\((a-b)^2 \\ge 0\\). To jest serce całego dowodu.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić nierówność dla kilku przykładowych wartości (np. \\(a=2, b=4\\)). Dowód musi działać dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\) - musisz dojść do tożsamości lub oczywistej własności.
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną kierunek nierówności się odwraca! Tutaj mnożymy przez \\(4 > 0\\), więc kierunek zostaje - ale zawsze sprawdź znak!
\n
⚠️ Uwaga: Równość \\(\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{a^2+b^2}{2}\\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \\(a = b\\). To warto zauważyć - oznacza, że nierówność jest ostra dla \\(a \\ne b\\). Jeśli zadanie pyta o warunek równości, odpowiedź brzmi: \\(a = b\\).
\n
Dowód
\n

Krok 1. Przekształcenie nierówności równoważnie
Zaczynamy od nierówności, którą mamy wykazać:
\\[\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2 \\le \\dfrac{a^2+b^2}{2}.\\]

\n

Lewa strona: \\(\\dfrac{(a+b)^2}{4}\\). Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (dodatnie, nierówność zachowana):
\\[(a+b)^2 \\le 2(a^2+b^2).\\]

\n

Krok 2. Rozwijamy kwadrat
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\\]
Nierówność:
\\[a^2 + 2ab + b^2 \\le 2a^2 + 2b^2.\\]

\n

Krok 3. Przenosimy wszystko na jedną stronę
\\[0 \\le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2.\\]

\n

Krok 4. Wniosek
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: \\((a-b)^2 \\ge 0\\) dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.

\n

Uwaga: Równość zachodzi \\(\\iff a=b\\).

\n

\\(\\blacksquare\\)

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -2$ lub $x = -\\\\dfrac{2}{3}$ lub $x = \\\\dfrac{2}{3}$

"}]}