{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę\nwłasność, że reszta z dzielenia liczby\n2\n3k przez 7 jest równa 5.\n\nPoziom podstawowy\n13\nUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k^2 przez 7 jest równa 5.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę\nwłasność, że reszta z dzielenia liczby\n2\n3k przez 7 jest równa 5.\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem\nwzorów skróconego mnożenia (V.2.a)\nI sposób rozwiązania\nPonieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc\n2\n7\n\nm\nk\n,\ngdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3 7\n2\n3 49\n28\n4\n3 49\n3 28\n12\n7 3 7\n3 4\n1\n5\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nk\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nDwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast 12\n7\n5\n\n\n. To oznacza, że\nreszta z dzielenia liczby\n2\n3k przez 7 jest równa 5. To kończy dowód.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze wyrażenie w postaci: \n\n2\n2\n7\n3\n\nm\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,\nktóre nie przekreślają poprawności rozumowania.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci \n5\n1\n4\n3\n7\n3\n7\n2\n\n\n\n\n\nm\nm\nII sposób rozwiązania\nPonieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc\n\n\n2 mod7\n\nk\nStąd wynika, że\n\n\n2\n4 mod7\n\nk\n. Ponadto\n\n\n3\n3 mod7\n\n, więc z własności kongruencji\n\n\n\n\n2\n3\n3 4 mod7\n12 mod7\n5\n\n\n\nk\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze że\n\n\n2\n4 mod7\n\nk\nUwaga\nZdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli\nliczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje\nresztę 4.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze\n\n\n\n\n2\n3\n3 4 mod7\n12 mod7\n5\n\n\n\nk\n10\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie sin α, potem podstawienie\n\n**Krok 1: Wyznaczamy sin α z jedynki trygonometrycznej.**\n\nWiemy, że \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc:\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{3}{9} = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\sin\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pierwszą część wyrażenia.**\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{6}}{3}}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy drugą część wyrażenia.**\n\n\\[\\frac{\\cos\\alpha}{1 + \\sin\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}{1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3}} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}{\\frac{3 + \\sqrt{6}}{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{6}}\\]\n\nWyłurzamy mianownik - mnożymy przez \\(\\frac{3 - \\sqrt{6}}{3 - \\sqrt{6}}\\):\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{6}} \\cdot \\frac{3 - \\sqrt{6}}{3 - \\sqrt{6}} = \\frac{\\sqrt{3}(3 - \\sqrt{6})}{9 - 6} = \\frac{3\\sqrt{3} - \\sqrt{18}}{3} = \\frac{3\\sqrt{3} - 3\\sqrt{2}}{3} = \\sqrt{3} - \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 4: Sumujemy obie części.**\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\sqrt{2} + (\\sqrt{3} - \\sqrt{2}) = \\boxed{\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Najpierw upraszczamy wyrażenie, potem podstawiamy\n\nTo sprytniejsze podejście: zamiast od razu podstawiać, sprowadzamy wyrażenie na wspólny mianownik i upraszczamy.\n\n**Krok 1: Sprowadzamy na wspólny mianownik** \\(\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)\\):\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin\\alpha \\cdot (1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha}{\\cos\\alpha \\cdot (1+\\sin\\alpha)}\\]\n\n**Krok 2: Upraszczamy licznik.**\n\n\\[\\sin\\alpha(1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + 1\\]\n\n(bo \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\))\n\n**Krok 3: Skracamy ułamek.**\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha + 1}{\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)} = \\frac{1 + \\sin\\alpha}{\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)} = \\frac{1}{\\cos\\alpha}\\]\n\nCałe wyrażenie redukuje się do \\(\\dfrac{1}{\\cos\\alpha}\\)! Teraz wystarczy podstawić:\n\n\\[\\frac{1}{\\cos\\alpha} = \\frac{1}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{3} = \\boxed{\\sqrt{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 (Krok 1) i w Sposobie 2 (Krok 2) do uproszczenia \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach:\n\\[\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} = \\sqrt{\\frac{a}{b}}, \\quad \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}\\]\nUżyte przy upraszczaniu \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{2}\\) oraz przy wyłurzaniu \\(\\sqrt{3}(3-\\sqrt{6})\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej mamy \\(\\sin\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{2}{3}}\\) - nie zapomnij wybrać wartości dodatniej, bo zadanie podaje, że \\(\\alpha\\) jest **ostry** (I ćwiartka, wszystkie funkcje dodatnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyłurzanie przez sprzężenie \\((3 - \\sqrt{6})\\) - łatwo pomylić się na znakach. Sprawdź: \\((3+\\sqrt{6})(3-\\sqrt{6}) = 9 - 6 = 3\\), nie \\(9 - \\sqrt{6}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 pokazuje piękną zasadę - **zanim zaczniesz podstawiać, zawsze sprawdź, czy wyrażenie daje się uprościć algebraicznie**. Tutaj dzięki jedynce trygonometrycznej całe skomplikowane wyrażenie zredukowało się do zwykłego \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha}\\). Na maturze oszczędzasz czas i unikasz błędów rachunkowych.\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - uproszczenie wyrażenia)\n\n**Krok 1. Sprowadzenie do wspólnego mianownika**\n\\[\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\dfrac{\\sin\\alpha(1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha}{\\cos\\alpha(1+\\sin\\alpha)}.\\]\n\n**Krok 2. Uproszczenie licznika przy pomocy \\(\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1\\)**\n\\[\\sin\\alpha + \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + 1.\\]\n\n**Krok 3. Skracanie**\n\\[\\dfrac{1+\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha(1+\\sin\\alpha)} = \\dfrac{1}{\\cos\\alpha}.\\]\n\n**Krok 4. Podstawienie**\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc:\n\\[\\dfrac{1}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - obliczenie \\(\\sin\\alpha\\)\nKąt ostry \\(\\Rightarrow \\sin\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sqrt{1-\\tfrac{1}{3}} = \\sqrt{\\tfrac{2}{3}} = \\tfrac{\\sqrt{6}}{3}.\\]\nPo podstawieniu i obliczeniach otrzymujemy \\(\\sqrt{3}\\).\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\sqrt{3}\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę
własność, że reszta z dzielenia liczby
2
3k przez 7 jest równa 5.

\n

Poziom podstawowy
13
Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k^2 przez 7 jest równa 5.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę
własność, że reszta z dzielenia liczby
2
3k przez 7 jest równa 5.
Rozumowanie i argumentacja
Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem
wzorów skróconego mnożenia (V.2.a)
I sposób rozwiązania
Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc
2
7

m
k
,
gdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy






2
2
2
2
2
3
3 7
2
3 49
28
4
3 49
3 28
12
7 3 7
3 4
1
5













k
m
m
m
m
m
m
m
Dwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast 12
7
5


. To oznacza, że
reszta z dzielenia liczby
2
3k przez 7 jest równa 5. To kończy dowód.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze wyrażenie w postaci: 

2
2
7
3

m
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,
które nie przekreślają poprawności rozumowania.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci 
5
1
4
3
7
3
7
2





m
m
II sposób rozwiązania
Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, więc


2 mod7

k
Stąd wynika, że


2
4 mod7

k
. Ponadto


3
3 mod7

, więc z własności kongruencji




2
3
3 4 mod7
12 mod7
5



k
. To kończy dowód.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze że


2
4 mod7

k
Uwaga
Zdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli
liczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje
resztę 4.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze




2
3
3 4 mod7
12 mod7
5



k
10
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Obliczenie sin α, potem podstawienie

\n

Krok 1: Wyznaczamy sin α z jedynki trygonometrycznej.

\n

Wiemy, że \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc:
\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{3}{9} = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\sin\\alpha > 0\\):
\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}\\]

\n

Krok 2: Obliczamy pierwszą część wyrażenia.

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{6}}{3}}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{2}\\]

\n

Krok 3: Obliczamy drugą część wyrażenia.

\n

\\[\\frac{\\cos\\alpha}{1 + \\sin\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}{1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3}} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{3}}{\\frac{3 + \\sqrt{6}}{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{6}}\\]

\n

Wyłurzamy mianownik - mnożymy przez \\(\\frac{3 - \\sqrt{6}}{3 - \\sqrt{6}}\\):
\\[\\frac{\\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{6}} \\cdot \\frac{3 - \\sqrt{6}}{3 - \\sqrt{6}} = \\frac{\\sqrt{3}(3 - \\sqrt{6})}{9 - 6} = \\frac{3\\sqrt{3} - \\sqrt{18}}{3} = \\frac{3\\sqrt{3} - 3\\sqrt{2}}{3} = \\sqrt{3} - \\sqrt{2}\\]

\n

Krok 4: Sumujemy obie części.

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\sqrt{2} + (\\sqrt{3} - \\sqrt{2}) = \\boxed{\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Najpierw upraszczamy wyrażenie, potem podstawiamy

\n

To sprytniejsze podejście: zamiast od razu podstawiać, sprowadzamy wyrażenie na wspólny mianownik i upraszczamy.

\n

Krok 1: Sprowadzamy na wspólny mianownik \\(\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)\\):

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin\\alpha \\cdot (1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha}{\\cos\\alpha \\cdot (1+\\sin\\alpha)}\\]

\n

Krok 2: Upraszczamy licznik.

\n

\\[\\sin\\alpha(1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + 1\\]

\n

(bo \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\))

\n

Krok 3: Skracamy ułamek.

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha + 1}{\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)} = \\frac{1 + \\sin\\alpha}{\\cos\\alpha \\cdot (1 + \\sin\\alpha)} = \\frac{1}{\\cos\\alpha}\\]

\n

Całe wyrażenie redukuje się do \\(\\dfrac{1}{\\cos\\alpha}\\)! Teraz wystarczy podstawić:

\n

\\[\\frac{1}{\\cos\\alpha} = \\frac{1}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{3} = \\boxed{\\sqrt{3}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyta w Sposobie 1 (Krok 1) i w Sposobie 2 (Krok 2) do uproszczenia \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na pierwiastkach:
\\[\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} = \\sqrt{\\frac{a}{b}}, \\quad \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}\\]
Użyte przy upraszczaniu \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{2}\\) oraz przy wyłurzaniu \\(\\sqrt{3}(3-\\sqrt{6})\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej mamy \\(\\sin\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{2}{3}}\\) - nie zapomnij wybrać wartości dodatniej, bo zadanie podaje, że \\(\\alpha\\) jest ostry (I ćwiartka, wszystkie funkcje dodatnie).
\n
⚠️ Uwaga: Wyłurzanie przez sprzężenie \\((3 - \\sqrt{6})\\) - łatwo pomylić się na znakach. Sprawdź: \\((3+\\sqrt{6})(3-\\sqrt{6}) = 9 - 6 = 3\\), nie \\(9 - \\sqrt{6}\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Sposób 2 pokazuje piękną zasadę - zanim zaczniesz podstawiać, zawsze sprawdź, czy wyrażenie daje się uprościć algebraicznie. Tutaj dzięki jedynce trygonometrycznej całe skomplikowane wyrażenie zredukowało się do zwykłego \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha}\\). Na maturze oszczędzasz czas i unikasz błędów rachunkowych.
\n
Rozwiązanie (Sposób 1 - uproszczenie wyrażenia)
\n

Krok 1. Sprowadzenie do wspólnego mianownika
\\[\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\dfrac{\\sin\\alpha(1+\\sin\\alpha) + \\cos^2\\alpha}{\\cos\\alpha(1+\\sin\\alpha)}.\\]

\n

Krok 2. Uproszczenie licznika przy pomocy \\(\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1\\)
\\[\\sin\\alpha + \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\sin\\alpha + 1.\\]

\n

Krok 3. Skracanie
\\[\\dfrac{1+\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha(1+\\sin\\alpha)} = \\dfrac{1}{\\cos\\alpha}.\\]

\n

Krok 4. Podstawienie
\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc:
\\[\\dfrac{1}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - obliczenie \\(\\sin\\alpha\\)
\n

Kąt ostry \\(\\Rightarrow \\sin\\alpha > 0\\):
\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sqrt{1-\\tfrac{1}{3}} = \\sqrt{\\tfrac{2}{3}} = \\tfrac{\\sqrt{6}}{3}.\\]
Po podstawieniu i obliczeniach otrzymujemy \\(\\sqrt{3}\\).

\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{\\,\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\dfrac{\\cos\\alpha}{1+\\sin\\alpha} = \\sqrt{3}\\,}\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}