{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia\nwykresu funkcji określonej wzorem\n1\ny\nx\n\ndla każdej liczby rzeczywistej\n0\nx \n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n0\nx\ny\na) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości\nfunkcji f są większe od 0.\nb) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem\n\n\n( )\n3\n\n\ng x\nf x\nOdpowiedź: a)\nb)\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y = 1/x dla każdej liczby rzeczywistej x różne od zera. a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x-3).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia\nwykresu funkcji określonej wzorem\n1\ny\nx\n\ndla każdej liczby rzeczywistej\n0\nx \n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n0\nx\ny\na) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości\nfunkcji f są większe od 0.\nb) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem\n\n\n( )\n3\n\n\ng x\nf x\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie\nna podstawie wykresu funkcji\n( )\ny\nf x\n\nwykresów funkcji\n(\n)\ny\nf x a\n\n\n,\n(\n)\ny\nf x a\n\n\n,\n( )\ny\nf x\na\n\n,\n( )\ny\nf x\na\n\n (IV.4.b,d)\nRozwiązanie\na) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \n:\n\n2, 3 .\nb) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3. Zatem miejscem\nzerowym funkcji g jest liczba 3 3\n6\n\n, ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając\nwykres funkcji f o 3 jednostki w prawo.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \n: \n\n2, 3 lub 2\n3\nx\n\n\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g\nalbo\n poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g:\n6\nx \ni na tym poprzestanie lub błędnie\nzapisze zbiór argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których\n( )\n0\nf x \n: \n\n2, 3 i zapisze miejsce\nzerowe funkcji g:\n6\nx \n11\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nW rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy: \n\n3, 2 ,\n\n\n3, 2\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = 14\\)\n\nWyrazy ciągu to \\(6\\), \\(20\\), \\(34\\), a różnica wynosi \\(r = 14\\).\n\n## Sposób 1 - warunek stałej różnicy\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, czyli:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[(2x+4) - 6 = (x+26) - (2x+4)\\]\n\\[2x - 2 = x + 26 - 2x - 4\\]\n\\[2x - 2 = -x + 22\\]\n\\[3x = 24\\]\n\\[x = 8\\]\n\nWyznaczamy konkretne wyrazy ciągu:\n\\[a_1 = 6\\]\n\\[a_2 = 2 \\cdot 8 + 4 = 20\\]\n\\[a_3 = 8 + 26 = 34\\]\n\nRóżnica ciągu:\n\\[\\boxed{r = a_2 - a_1 = 20 - 6 = 14}\\]\n\n## Sposób 2 - własność środkowego wyrazu (średnia arytmetyczna)\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz (dla \\(n \\geq 2\\)) jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2x + 4 = \\frac{6 + (x+26)}{2}\\]\n\\[2(2x+4) = x + 32\\]\n\\[4x + 8 = x + 32\\]\n\\[3x = 24 \\implies x = 8\\]\n\nWyrazy: \\(6,\\ 20,\\ 34\\), więc \\(r = 14\\). ✓\n\n**Weryfikacja:** \\(20 - 6 = 14\\) oraz \\(34 - 20 = 14\\) - różnice równe, ciąg arytmetyczny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - środkowy wyraz \\(2x+4\\) musi być średnią arytmetyczną \\(6\\) i \\(x+26\\).\n\nRównoważnie korzystamy z definicji różnicy:\n\\[r = a_{n+1} - a_n = \\text{const}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównaliśmy \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek ciągu arytmetycznego to \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), **nie** \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_1\\). Porównuj zawsze **sąsiednie** wyrazy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(x = 8\\) trzeba **podstawić** i policzyć konkretne wyrazy, żeby wyznaczyć \\(r\\). Zadanie pyta o różnicę \\(r\\), nie o \\(x\\)! Wielu uczniów podaje \\(x = 8\\) jako odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak - jeśli wyrazy maleją, różnica \\(r\\) jest ujemna i to też jest poprawny ciąg arytmetyczny. Tu wyrazy rosną (\\(6 < 20 < 34\\)), więc \\(r > 0\\).\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - własność środkowego wyrazu)\n\n**Krok 1. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego**\nW ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:\n\\[2x+4 = \\dfrac{6 + (x+26)}{2} = \\dfrac{x+32}{2}.\\]\n\n**Krok 2. Rozwiązanie równania**\n\\[2(2x+4) = x+32,\\]\n\\[4x+8 = x+32,\\]\n\\[3x = 24,\\]\n\\[x = 8.\\]\n\n**Krok 3. Obliczenie wyrazów i różnicy**\nPodstawiając \\(x=8\\):\n- \\(a_1 = 6\\),\n- \\(a_2 = 2\\cdot 8 + 4 = 20\\),\n- \\(a_3 = 8 + 26 = 34\\).\n\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 20 - 6 = 14\\) (sprawdzenie: \\(a_3 - a_2 = 34 - 20 = 14\\) ✓).\n\n### Sposób 2 - układ z \\(r\\)\n\\(2x+4 = 6+r\\) oraz \\(x+26 = 6+2r\\). Z pierwszego: \\(r = 2x - 2\\). Podstawienie do drugiego: \\(x+26 = 6 + 2(2x-2) = 4x+2\\), czyli \\(24 = 3x\\), \\(x=8\\), \\(r=14\\).\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,r = 14\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia
wykresu funkcji określonej wzorem
1
y
x

dla każdej liczby rzeczywistej
0
x 
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości
funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem


( )
3


g x
f x
Odpowiedź: a)
b)
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
14
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y = 1/x dla każdej liczby rzeczywistej x różne od zera. a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x-3).

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia
wykresu funkcji określonej wzorem
1
y
x

dla każdej liczby rzeczywistej
0
x 
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości
funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem


( )
3


g x
f x
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Odczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie
na podstawie wykresu funkcji
( )
y
f x

wykresów funkcji
(
)
y
f x a


,
(
)
y
f x a


,
( )
y
f x
a

,
( )
y
f x
a

 (IV.4.b,d)
Rozwiązanie
a) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których
( )
0
f x 
:

2, 3 .
b) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3. Zatem miejscem
zerowym funkcji g jest liczba 3 3
6

, ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając
wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których
( )
0
f x 
: 

2, 3 lub 2
3
x


i na
tym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g
albo
 poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g:
6
x 
i na tym poprzestanie lub błędnie
zapisze zbiór argumentów, dla których
( )
0
f x 
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których
( )
0
f x 
: 

2, 3 i zapisze miejsce
zerowe funkcji g:
6
x 
11
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
W rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy: 

3, 2 ,


3, 2
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(r = 14\\)

\n

Wyrazy ciągu to \\(6\\), \\(20\\), \\(34\\), a różnica wynosi \\(r = 14\\).

\n

Sposób 1 - warunek stałej różnicy

\n

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, czyli:
\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]

\n

Podstawiamy nasze wyrazy:
\\[(2x+4) - 6 = (x+26) - (2x+4)\\]
\\[2x - 2 = x + 26 - 2x - 4\\]
\\[2x - 2 = -x + 22\\]
\\[3x = 24\\]
\\[x = 8\\]

\n

Wyznaczamy konkretne wyrazy ciągu:
\\[a_1 = 6\\]
\\[a_2 = 2 \\cdot 8 + 4 = 20\\]
\\[a_3 = 8 + 26 = 34\\]

\n

Różnica ciągu:
\\[\\boxed{r = a_2 - a_1 = 20 - 6 = 14}\\]

\n

Sposób 2 - własność środkowego wyrazu (średnia arytmetyczna)

\n

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (dla \\(n \\geq 2\\)) jest średnią arytmetyczną sąsiadów:
\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]

\n

Podstawiamy:
\\[2x + 4 = \\frac{6 + (x+26)}{2}\\]
\\[2(2x+4) = x + 32\\]
\\[4x + 8 = x + 32\\]
\\[3x = 24 \\implies x = 8\\]

\n

Wyrazy: \\(6,\\ 20,\\ 34\\), więc \\(r = 14\\). ✓

\n

Weryfikacja: \\(20 - 6 = 14\\) oraz \\(34 - 20 = 14\\) - różnice równe, ciąg arytmetyczny. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność wyrazu ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 - środkowy wyraz \\(2x+4\\) musi być średnią arytmetyczną \\(6\\) i \\(x+26\\).

\n

Równoważnie korzystamy z definicji różnicy:
\\[r = a_{n+1} - a_n = \\text{const}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównaliśmy \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Warunek ciągu arytmetycznego to \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), nie \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_1\\). Porównuj zawsze sąsiednie wyrazy!
\n
⚠️ Uwaga: Po znalezieniu \\(x = 8\\) trzeba podstawić i policzyć konkretne wyrazy, żeby wyznaczyć \\(r\\). Zadanie pyta o różnicę \\(r\\), nie o \\(x\\)! Wielu uczniów podaje \\(x = 8\\) jako odpowiedź.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź znak - jeśli wyrazy maleją, różnica \\(r\\) jest ujemna i to też jest poprawny ciąg arytmetyczny. Tu wyrazy rosną (\\(6 < 20 < 34\\)), więc \\(r > 0\\).
\n
Rozwiązanie (Sposób 1 - własność środkowego wyrazu)
\n

Krok 1. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego
W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:
\\[2x+4 = \\dfrac{6 + (x+26)}{2} = \\dfrac{x+32}{2}.\\]

\n

Krok 2. Rozwiązanie równania
\\[2(2x+4) = x+32,\\]
\\[4x+8 = x+32,\\]
\\[3x = 24,\\]
\\[x = 8.\\]

\n

Krok 3. Obliczenie wyrazów i różnicy
Podstawiając \\(x=8\\):

\n\n

Różnica: \\(r = a_2 - a_1 = 20 - 6 = 14\\) (sprawdzenie: \\(a_3 - a_2 = 34 - 20 = 14\\) ✓).

\n
Sposób 2 - układ z \\(r\\)
\n

\\(2x+4 = 6+r\\) oraz \\(x+26 = 6+2r\\). Z pierwszego: \\(r = 2x - 2\\). Podstawienie do drugiego: \\(x+26 = 6 + 2(2x-2) = 4x+2\\), czyli \\(24 = 3x\\), \\(x=8\\), \\(r=14\\).

\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{\\,r = 14\\,}\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $x \\in (2, 3)$, b) $x=6$

"}]}