{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n2\n2\n3\n1\n3\n1\n\n\n\njest równa\nA.\n2\n\nB.\n2 3\n\nC. 2\nD. 2 3\nWartość wyrażenia {2 / pierwiastek z 3 - 1} - {2 / pierwiastek z 3 + 1} jest równa A. 2, B. 2 * pierwiastki z 3, C. -2, D. -2 * pierwiastek z 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nPosługiwanie się wzorami\nskróconego mnożenia (II.2.a)\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((a-1)(b+1)\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nMamy wyrażenie:\n\\[ab + a - b - 1\\]\n\n**Krok 1:** Grupujemy wyrazy parami - pierwsze dwa i ostatnie dwa:\n\\[(ab + a) + (-b - 1)\\]\n\n**Krok 2:** Z każdej grupy wyciągamy wspólny czynnik:\n\\[a(b + 1) + (-1)(b + 1)\\]\n\\[a(b + 1) - 1 \\cdot (b + 1)\\]\n\n**Krok 3:** Teraz \\((b+1)\\) jest wspólnym czynnikiem - wyciągamy go przed nawias:\n\\[(b + 1)(a - 1)\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{(a-1)(b+1)}\\]\n\nCo jest odpowiedzią **C**.\n\n## Sposób 2 - Grupowanie w drugiej kolejności (inaczej)\n\nMożemy pogrupować wyrazy inaczej - pierwszy z trzecim, drugi z czwartym:\n\\[(ab - b) + (a - 1)\\]\n\n**Krok 1:** Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\\[b(a - 1) + 1 \\cdot (a - 1)\\]\n\n**Krok 2:** Wyciągamy \\((a-1)\\) przed nawias:\n\\[(a - 1)(b + 1)\\]\n\n**Wynik taki sam** - \\((a-1)(b+1)\\), odpowiedź **C**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyciągania wspólnego czynnika przed nawias (podstawowa technika faktoryzacji algebry szkolnej).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Rozwinięcie | Błąd |\n| A | \\((a-1)(b-1)\\) | \\(ab - a - b + 1\\) | Zmieniono znak przy \\(a\\) i na końcu - pomylono znaki w obu parach |\n| B | \\((a+1)(b-1)\\) | \\(ab - a + b - 1\\) | Przestawiono znaki przy \\(a\\) i \\(b\\) - zgadywanie zamiast rachunku |\n| D | \\((a+1)(b+1)\\) | \\(ab + a + b + 1\\) | Zmieniono znak przy \\(-b\\) na \\(+b\\) - przeoczono minus |\n\nMożesz **sam sprawdzić** każdą odpowiedź rozwijając nawias i porównując z \\(ab + a - b - 1\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu pamiętaj, że \\(-b - 1 = (-1)(b+1)\\), a NIE \\((-1)(b-1)\\). Minus przed grupą zmienia znaki **wszystkich** wyrazów wewnątrz nawiasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zgaduj odpowiedzi \"na oko\" - zawsze warto rozwinąć wybrany nawias z powrotem i sprawdzić, czy wychodzi to samo wyrażenie co w zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenia \\((a-1)(b+1)\\) i \\((b+1)(a-1)\\) to **to samo** - kolejność czynników nie ma znaczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Grupowanie wyrazów\n\\[ab + a - b - 1 = a(b+1) - (b+1) = (a-1)(b+1).\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie nawiasów odpowiedzi\nSprawdzamy **C.**: \\((a-1)(b+1) = ab + a - b - 1\\) ✓\n\n### Sposób 3 - Podstawienie \\(a=2, b=3\\)\nWyrażenie: \\(6 + 2 - 3 - 1 = 4\\).\n- **A.** \\((1)(2)=2\\) ✗\n- **B.** \\((3)(2)=6\\) ✗\n- **C.** \\((1)(4)=4\\) ✓\n- **D.** \\((3)(4)=12\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D.** - po wymnożeniu dają inne wyrażenie niż \\(ab+a-b-1\\), np. **A.** \\((a-1)(b-1) = ab - a - b + 1\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (1 pkt)<br>Wartość wyrażenia<br>2<br>2<br>3<br>1<br>3<br>1<br><br><br><br>jest równa<br>A.<br>2<br><br>B.<br>2 3<br><br>C. 2<br>D. 2 3<br>Wartość wyrażenia {2 / pierwiastek z 3 - 1} - {2 / pierwiastek z 3 + 1} jest równa A. 2, B. 2 * pierwiastki z 3, C. -2, D. -2 * pierwiastek z 3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji<br>Posługiwanie się wzorami<br>skróconego mnożenia (II.2.a)<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\((a-1)(b+1)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)</h4>\n<p>Mamy wyrażenie:<br>\\[ab + a - b - 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Grupujemy wyrazy parami - pierwsze dwa i ostatnie dwa:<br>\\[(ab + a) + (-b - 1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Z każdej grupy wyciągamy wspólny czynnik:<br>\\[a(b + 1) + (-1)(b + 1)\\]<br>\\[a(b + 1) - 1 \\cdot (b + 1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Teraz \\((b+1)\\) jest wspólnym czynnikiem - wyciągamy go przed nawias:<br>\\[(b + 1)(a - 1)\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong><br>\\[\\boxed{(a-1)(b+1)}\\]</p>\n<p>Co jest odpowiedzią <strong>C</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Grupowanie w drugiej kolejności (inaczej)</h4>\n<p>Możemy pogrupować wyrazy inaczej - pierwszy z trzecim, drugi z czwartym:<br>\\[(ab - b) + (a - 1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:<br>\\[b(a - 1) + 1 \\cdot (a - 1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Wyciągamy \\((a-1)\\) przed nawias:<br>\\[(a - 1)(b + 1)\\]</p>\n<p><strong>Wynik taki sam</strong> - \\((a-1)(b+1)\\), odpowiedź <strong>C</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyciągania wspólnego czynnika przed nawias (podstawowa technika faktoryzacji algebry szkolnej).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wyrażenie | Rozwinięcie | Błąd |<br>| A | \\((a-1)(b-1)\\) | \\(ab - a - b + 1\\) | Zmieniono znak przy \\(a\\) i na końcu - pomylono znaki w obu parach |<br>| B | \\((a+1)(b-1)\\) | \\(ab - a + b - 1\\) | Przestawiono znaki przy \\(a\\) i \\(b\\) - zgadywanie zamiast rachunku |<br>| D | \\((a+1)(b+1)\\) | \\(ab + a + b + 1\\) | Zmieniono znak przy \\(-b\\) na \\(+b\\) - przeoczono minus |</p>\n<p>Możesz <strong>sam sprawdzić</strong> każdą odpowiedź rozwijając nawias i porównując z \\(ab + a - b - 1\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy grupowaniu pamiętaj, że \\(-b - 1 = (-1)(b+1)\\), a NIE \\((-1)(b-1)\\). Minus przed grupą zmienia znaki <strong>wszystkich</strong> wyrazów wewnątrz nawiasu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zgaduj odpowiedzi &quot;na oko&quot; - zawsze warto rozwinąć wybrany nawias z powrotem i sprawdzić, czy wychodzi to samo wyrażenie co w zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyrażenia \\((a-1)(b+1)\\) i \\((b+1)(a-1)\\) to <strong>to samo</strong> - kolejność czynników nie ma znaczenia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Grupowanie wyrazów</h5>\n<p>\\[ab + a - b - 1 = a(b+1) - (b+1) = (a-1)(b+1).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Mnożenie nawiasów odpowiedzi</h5>\n<p>Sprawdzamy <strong>C.</strong>: \\((a-1)(b+1) = ab + a - b - 1\\) ✓</p>\n<h5>Sposób 3 - Podstawienie \\(a=2, b=3\\)</h5>\n<p>Wyrażenie: \\(6 + 2 - 3 - 1 = 4\\).</p>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\((1)(2)=2\\) ✗</li><li><strong>B.</strong> \\((3)(2)=6\\) ✗</li><li><strong>C.</strong> \\((1)(4)=4\\) ✓</li><li><strong>D.</strong> \\((3)(4)=12\\) ✗</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B, D.</strong> - po wymnożeniu dają inne wyrażenie niż \\(ab+a-b-1\\), np. <strong>A.</strong> \\((a-1)(b-1) = ab - a - b + 1\\).</li></ul>"}]}