{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nZe zbioru liczb \n\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których\npierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nZe zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawodopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nZe zbioru liczb \n\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których\npierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.\nModelowanie matematyczne\nZliczanie obiektów w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako\nklasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (III.10.b,d)\nRozwiązanie I sposób „metoda klasyczna”\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary \n\n,\na b liczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n8 8\n64\n\n. Wypisujemy\nzdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na wylosowaniu dwóch\nliczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n5, 1 , 6, 2 , 7, 1 , 7, 3 , 8, 2 , 8, 4\nA \nZatem\n6\nA \nZapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:\n6\n3\n( )\n64\n32\nP A \n\nRozwiązanie II sposób „metoda tabeli”\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary \n\n,\na b liczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\n2.\n1.\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\nX\n6\nX\n7\nX\nX\n8\nX\nX\n12\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n8 8\n64\n\n. Zliczamy, oznaczone\nkrzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na\nwylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6:\n6\nA \nObliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:\n6\n3\n( )\n64\n32\nP A \n\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n8 8\n64\n\nalbo\n obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A ,\npolegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od\ndrugiej o 4 lub 6:\n6\nA \ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe\n3\n( )\n32\nP A \nIII sposób rozwiązania „metoda drzewka”\nRysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji\nsprzyjającej zdarzeniu A.\nObliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:\n1 1\n1 1\n1 2\n1 2\n6\n3\n( )\n8 8\n8 8\n8 8\n8 8\n64\n32\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nP A\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji\nsprzyjających zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne\nprawdopodobieństwo.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe\n6\n3\n( )\n64\n32\n\n\nP A\n1\n8\n1\n8\n1, 2, 3, 4\n5\n6\n7\nnie 2\n1\n8\n4\n8\n8\n1\nnie 3 i nie 1\n7\n8\n1\n8\n1\n8\n2\n8\nnie 1\n7\n8\n6\n8\n2\n8\n6\n8\n2\n3 lub 1\n2 lub 4\nnie 2 i nie 4\n1\n8\n13\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nUwagi\n1. Akceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane\npoprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,375%.\n2. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od 1, to zdający otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to\notrzymuje 0 punktów.\n4. Akceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej\nkolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź\n6\n( )\n64\n\nP A\n, to otrzymuje 2 punkty, jeśli\nnatomiast zapisze tylko odpowiedź\n3\n( )\n32\nP A \n, to otrzymuje 1 punkt.\n14\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWynik: \\(P = \\frac{13}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - analiza znaku iloczynu\n\n**Kiedy iloczyn jest dodatni?**\nIloczyn dwóch liczb jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy **obie mają ten sam znak** (obie dodatnie lub obie ujemne).\n\n**Krok 1: Policz przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nLosujemy jedną liczbę z \\(K\\) (5 elementów) i jedną z \\(L\\) (5 elementów):\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Krok 2: Wyodrębnij liczby według znaku.**\n\nZe zbioru \\(K = \\{-4, -1, 1, 5, 6\\}\\):\n- Ujemne: \\(\\{-4, -1\\}\\) → **2 liczby**\n- Dodatnie: \\(\\{1, 5, 6\\}\\) → **3 liczby**\n\nZe zbioru \\(L = \\{-3, -2, 2, 3, 4\\}\\):\n- Ujemne: \\(\\{-3, -2\\}\\) → **2 liczby**\n- Dodatnie: \\(\\{2, 3, 4\\}\\) → **3 liczby**\n\n*(Zero nie należy do żadnego zbioru - upraszcza sprawę.)*\n\n**Krok 3: Zlicz przypadki sprzyjające.**\n\n| Przypadek | Liczba par |\n| oba dodatnie: \\(3 \\cdot 3\\) | \\(9\\) |\n| oba ujemne: \\(2 \\cdot 2\\) | \\(4\\) |\n| **Razem** | **13** |\n\n**Krok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.**\n\\[P = \\frac{13}{25}\\]\n\n## Sposób 2 - przez zdarzenie przeciwne\n\nIloczyn **nie** jest dodatni wtedy, gdy liczby mają **różne znaki** (jedna dodatnia, druga ujemna).\n\n**Przypadki, gdy iloczyn ≤ 0 (tu: iloczyn ujemny, bo zero wykluczone):**\n\n| Przypadek | Liczba par |\n| z \\(K\\) dodatnia, z \\(L\\) ujemna: \\(3 \\cdot 2\\) | \\(6\\) |\n| z \\(K\\) ujemna, z \\(L\\) dodatnia: \\(2 \\cdot 3\\) | \\(6\\) |\n| **Razem** | **12** |\n\nZdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo:\n\\[P(\\text{iloczyn} \\leq 0) = \\frac{12}{25}\\]\n\nZatem:\n\\[P(\\text{iloczyn dodatni}) = 1 - \\frac{12}{25} = \\frac{25 - 12}{25} = \\frac{13}{25}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\frac{13}{25}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1. W Sposobie 2 dodatkowo:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte bez podanych opcji ABCD - podana jest jedynie litera A oznaczająca poprawny wynik \\(\\frac{13}{25}\\). Typowe błędy to:\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi |\n| \\(\\frac{9}{25}\\) | Policzono tylko pary obu dodatnich, zapomniano o parach obu ujemnych |\n| \\(\\frac{4}{25}\\) | Policzono tylko pary obu ujemnych |\n| \\(\\frac{12}{25}\\) | Policzono zdarzenie **przeciwne** (różne znaki) zamiast tego samego znaku |\n| \\(\\frac{6}{25}\\) | Policzono tylko jedną \"gałąź\" różnych znaków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - policzenie tylko par obu-dodatnich i pominięcie par obu-ujemnych. Iloczyn dwóch ujemnych też jest **dodatni**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy w zbiorach nie ma zera - zero dałoby iloczyn równy zero (nie dodatni). Tu szczęśliwie zera nie ma, ale na maturze może być!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń to pary \\((k, l)\\), a nie suma zbiorów - \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\), **nie** \\(5 + 5 = 10\\).\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\n\n**Krok 1. Zdefiniowanie \\(\\Omega\\)**\nZdarzenia elementarne to pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x\\in K, y\\in L\\). \\(K\\) ma 5 elementów, \\(L\\) ma 5, więc:\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25.\\]\n\n**Krok 2. Klasyfikacja liczb w zbiorach**\n- \\(K\\): ujemne \\(\\{-4,-1\\}\\) (2 szt.), dodatnie \\(\\{1,5,6\\}\\) (3 szt.).\n- \\(L\\): ujemne \\(\\{-3,-2\\}\\) (2 szt.), dodatnie \\(\\{2,3,4\\}\\) (3 szt.).\n\n**Krok 3. Warunek iloczyn dodatni**\nIloczyn \\(x\\cdot y > 0\\) \\(\\iff\\) obie liczby mają ten sam znak:\n- Obie dodatnie: \\(3 \\cdot 3 = 9\\) par.\n- Obie ujemne: \\(2 \\cdot 2 = 4\\) pary.\n\nŁącznie: \\(|A| = 9 + 4 = 13\\).\n\n**Krok 4. Prawdopodobieństwo**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\boxed{\\dfrac{13}{25}}.\\]\n\n### Sposób 2 - metoda drzewa\nPrawdopodobieństwo wylosowania dodatniej z \\(K\\): \\(\\tfrac{3}{5}\\), ujemnej: \\(\\tfrac{2}{5}\\). Analogicznie dla \\(L\\).\n\\[P(A) = \\underbrace{\\tfrac{3}{5}\\cdot \\tfrac{3}{5}}_{\\text{obie dodatnie}} + \\underbrace{\\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{2}{5}}_{\\text{obie ujemne}} = \\tfrac{9}{25} + \\tfrac{4}{25} = \\tfrac{13}{25}.\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Ze zbioru liczb 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których
pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
15
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawodopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Ze zbioru liczb 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których
pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
Modelowanie matematyczne
Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach
kombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako
klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń (III.10.b,d)
Rozwiązanie I sposób „metoda klasyczna”
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary 

,
a b liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
8 8
64

. Wypisujemy
zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na wylosowaniu dwóch
liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je:









5, 1 , 6, 2 , 7, 1 , 7, 3 , 8, 2 , 8, 4
A 
Zatem
6
A 
Zapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:
6
3
( )
64
32
P A 

Rozwiązanie II sposób „metoda tabeli”
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary 

,
a b liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.
2.
1.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
X
6
X
7
X
X
8
X
X
12
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
8 8
64

. Zliczamy, oznaczone
krzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A , polegającego na
wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6:
6
A 
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:
6
3
( )
64
32
P A 

Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
8 8
64

albo
 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A ,
polegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od
drugiej o 4 lub 6:
6
A 
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe
3
( )
32
P A 
III sposób rozwiązania „metoda drzewka”
Rysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji
sprzyjającej zdarzeniu A.
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:
1 1
1 1
1 2
1 2
6
3
( )
8 8
8 8
8 8
8 8
64
32










P A
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji
sprzyjających zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne
prawdopodobieństwo.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe
6
3
( )
64
32


P A
1
8
1
8
1, 2, 3, 4
5
6
7
nie 2
1
8
4
8
8
1
nie 3 i nie 1
7
8
1
8
1
8
2
8
nie 1
7
8
6
8
2
8
6
8
2
3 lub 1
2 lub 4
nie 2 i nie 4
1
8
13
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Uwagi

\n
  1. Akceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane
\n

poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,375%.

\n
  1. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od 1, to zdający otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to
\n

otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej
\n

kolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie
może otrzymać 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź
\n

6
( )
64

P A
, to otrzymuje 2 punkty, jeśli
natomiast zapisze tylko odpowiedź
3
( )
32
P A 
, to otrzymuje 1 punkt.
14
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Wynik: \\(P = \\frac{13}{25}\\)

\n

Sposób 1 - analiza znaku iloczynu

\n

Kiedy iloczyn jest dodatni?
Iloczyn dwóch liczb jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy obie mają ten sam znak (obie dodatnie lub obie ujemne).

\n

Krok 1: Policz przestrzeń zdarzeń elementarnych.

\n

Losujemy jedną liczbę z \\(K\\) (5 elementów) i jedną z \\(L\\) (5 elementów):
\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]

\n

Krok 2: Wyodrębnij liczby według znaku.

\n

Ze zbioru \\(K = \\{-4, -1, 1, 5, 6\\}\\):

\n\n

Ze zbioru \\(L = \\{-3, -2, 2, 3, 4\\}\\):

\n\n

(Zero nie należy do żadnego zbioru - upraszcza sprawę.)

\n

Krok 3: Zlicz przypadki sprzyjające.

\n

| Przypadek | Liczba par |
| oba dodatnie: \\(3 \\cdot 3\\) | \\(9\\) |
| oba ujemne: \\(2 \\cdot 2\\) | \\(4\\) |
| Razem | 13 |

\n

Krok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.
\\[P = \\frac{13}{25}\\]

\n

Sposób 2 - przez zdarzenie przeciwne

\n

Iloczyn nie jest dodatni wtedy, gdy liczby mają różne znaki (jedna dodatnia, druga ujemna).

\n

Przypadki, gdy iloczyn ≤ 0 (tu: iloczyn ujemny, bo zero wykluczone):

\n

| Przypadek | Liczba par |
| z \\(K\\) dodatnia, z \\(L\\) ujemna: \\(3 \\cdot 2\\) | \\(6\\) |
| z \\(K\\) ujemna, z \\(L\\) dodatnia: \\(2 \\cdot 3\\) | \\(6\\) |
| Razem | 12 |

\n

Zdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo:
\\[P(\\text{iloczyn} \\leq 0) = \\frac{12}{25}\\]

\n

Zatem:
\\[P(\\text{iloczyn dodatni}) = 1 - \\frac{12}{25} = \\frac{25 - 12}{25} = \\frac{13}{25}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(\\frac{13}{25}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

\n

Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1. W Sposobie 2 dodatkowo:
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

To zadanie otwarte bez podanych opcji ABCD - podana jest jedynie litera A oznaczająca poprawny wynik \\(\\frac{13}{25}\\). Typowe błędy to:

\n

| Błędny wynik | Skąd pochodzi |
| \\(\\frac{9}{25}\\) | Policzono tylko pary obu dodatnich, zapomniano o parach obu ujemnych |
| \\(\\frac{4}{25}\\) | Policzono tylko pary obu ujemnych |
| \\(\\frac{12}{25}\\) | Policzono zdarzenie przeciwne (różne znaki) zamiast tego samego znaku |
| \\(\\frac{6}{25}\\) | Policzono tylko jedną "gałąź" różnych znaków |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - policzenie tylko par obu-dodatnich i pominięcie par obu-ujemnych. Iloczyn dwóch ujemnych też jest dodatni!
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy w zbiorach nie ma zera - zero dałoby iloczyn równy zero (nie dodatni). Tu szczęśliwie zera nie ma, ale na maturze może być!
\n
⚠️ Uwaga: Przestrzeń zdarzeń to pary \\((k, l)\\), a nie suma zbiorów - \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\), nie \\(5 + 5 = 10\\).
\n
Rozwiązanie (Sposób 1 - klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
\n

Krok 1. Zdefiniowanie \\(\\Omega\\)
Zdarzenia elementarne to pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x\\in K, y\\in L\\). \\(K\\) ma 5 elementów, \\(L\\) ma 5, więc:
\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25.\\]

\n

Krok 2. Klasyfikacja liczb w zbiorach

\n\n

Krok 3. Warunek iloczyn dodatni
Iloczyn \\(x\\cdot y > 0\\) \\(\\iff\\) obie liczby mają ten sam znak:

\n\n

Łącznie: \\(|A| = 9 + 4 = 13\\).

\n

Krok 4. Prawdopodobieństwo
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\boxed{\\dfrac{13}{25}}.\\]

\n
Sposób 2 - metoda drzewa
\n

Prawdopodobieństwo wylosowania dodatniej z \\(K\\): \\(\\tfrac{3}{5}\\), ujemnej: \\(\\tfrac{2}{5}\\). Analogicznie dla \\(L\\).
\\[P(A) = \\underbrace{\\tfrac{3}{5}\\cdot \\tfrac{3}{5}}{\\text{obie dodatnie}} + \\underbrace{\\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{2}{5}}{\\text{obie ujemne}} = \\tfrac{9}{25} + \\tfrac{4}{25} = \\tfrac{13}{25}.\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A)=\\\\dfrac{3}{32}$

"}]}