{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3.\nOblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n17\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wychodzącego z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3 .\nOblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie związków miarowych w wielościanach\n(IV.9.b)\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPole\ncP powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe\n2\n2\n2\ncP\nxy\nxz\nyz\n\n\n\n. Możemy\nprzyjąć, że\n3\n:\n2\n:\n1\n:\n:\n\nz\ny\nx\n. Wtedy\n2\ny\nx\n\noraz\n3\nz\nx\n\n. Zatem\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2\n3\n4\n6\n12\n22\ncP x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n198\ncP \n, więc otrzymujemy równanie\n2\n22\n198\nx \nStąd\n9\n2 \nx\n, więc\n3\n\nx\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów ABD i BDH otrzymujemy\n2\n2\n2\np\nx\ny\n\n\noraz\n2\n2\n2\nd\np\nz\n\n\n16\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nStąd\n2\n2\n2\n2\nd\nx\ny\nz\n\n\n\nZatem\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n14\n14\n3 14\nd\nx\ny\nz\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka\nw zależności od jednej zmiennej, np.: x, 2x , 3x\nalbo\n zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi:\n2\n2\n2\nd\nx\ny\nz\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej,\nnp.:\n\n2\n2\n2\n3\n2 2\n3\ncP x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\nalbo\n zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\nd\nx\nx\nx\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.:\n3\n\nx\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu:\n3 14\nd \nUwagi\n1. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość\nprzekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x, 1\n2 x ,\n1\n3 x , i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje\nmaksymalnie 3 punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi,\nstanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.\n17\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nTo zadanie otwarte - wynik: \\(\\displaystyle V = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - twierdzenie cosinusów w trójkącie ASC\n\n**Krok 1: Wyznacz bok podstawy.**\n\nPodstawa to kwadrat o przekątnej \\(AC = 4\\sqrt{2}\\). Korzystamy z zależności \\(AC = a\\sqrt{2}\\):\n\\[a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} \\implies a = 4\\]\n\nPole podstawy: \\(P_p = a^2 = 16\\).\n\n**Krok 2: Wyraź krawędź boczną SA przez wysokość h.**\n\nW ostrosłupie prawidłowym środek O podstawy leży w połowie przekątnej, więc:\n\\[AO = \\frac{AC}{2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nWysokość \\(SO = h\\) jest prostopadła do podstawy, więc w trójkącie prostokątnym \\(SOA\\):\n\\[SA = \\sqrt{AO^2 + h^2} = \\sqrt{8 + h^2}\\]\n\nZ symetrii ostrosłupa: \\(SA = SC\\), więc trójkąt \\(ASC\\) jest **równoramienny**.\n\n**Krok 3: Zastosuj twierdzenie cosinusów w △ASC.**\n\nKąt przy wierzchołku S wynosi \\(60°\\), ramiona \\(SA = SC\\), podstawa \\(AC = 4\\sqrt{2}\\):\n\\[AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \\cdot SA \\cdot SC \\cdot \\cos(\\angle ASC)\\]\n\\[32 = (8+h^2) + (8+h^2) - 2(8+h^2) \\cdot \\cos 60°\\]\n\\[32 = 2(8+h^2) - 2(8+h^2) \\cdot \\frac{1}{2}\\]\n\\[32 = 2(8+h^2) - (8+h^2)\\]\n\\[32 = 8 + h^2\\]\n\\[h^2 = 24 \\implies h = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz objętość.**\n\\[\\boxed{V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - spostrzeżenie: trójkąt ASC jest równoboczny\n\nTrójkąt \\(ASC\\) jest równoramienny (\\(SA = SC\\)) z kątem przy wierzchołku \\(\\angle ASC = 60°\\).\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** trójkąt równoramienny z kątem \\(60°\\) przy wierzchołku jest **równoboczny**, bo wówczas wszystkie kąty wynoszą \\(60°\\).\n\nZatem:\n\\[SA = SC = AC = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Wyznacz wysokość ostrosłupa** z trójkąta prostokątnego \\(SOA\\) (gdzie \\(SO \\perp\\) podstawa):\n\\[h = \\sqrt{SA^2 - AO^2} = \\sqrt{(4\\sqrt{2})^2 - (2\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{32 - 8} = \\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nWzoru używamy w kroku końcowym, gdy znamy \\(h = 2\\sqrt{6}\\) i \\(P_p = 16\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - twierdzenie cosinusów, s. 16):**\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nW Sposobie 1 stosujemy go do trójkąta \\(ASC\\) z kątem \\(60°\\) przy S.\n\n**Dział 10 (Twierdzenie Pitagorasa, s. 15):**\n\\[SA^2 = SO^2 + AO^2\\]\nPozwala wyrazić \\(SA\\) przez \\(h\\) oraz wyznaczyć \\(h\\) z \\(SA\\) w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane \\(AC = 4\\sqrt{2}\\) to **przekątna** kwadratu, nie jego bok! Bok podstawy to \\(a = 4\\). Wstawienie \\(4\\sqrt{2}\\) jako boku prowadzi do \\(P_p = 32\\) i błędnej objętości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(AO\\) to odległość **od narożnika do środka** = połowa przekątnej, czyli \\(2\\sqrt{2}\\), a nie połowa boku (\\(2\\)). To częsty błąd przy obliczaniu krawędzi bocznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W twierdzeniu cosinusów kąt \\(60°\\) jest **przy wierzchołku S** (między ramionami \\(SA\\) i \\(SC\\)). Niektórzy wstawiają ten kąt błędnie - przy podstawie trójkąta, co daje zupełnie inny wynik.\n\n### Rozwiązanie\n\n**Krok 1. Wyznaczenie krawędzi podstawy**\nPodstawa jest kwadratem. Gdy bok podstawy to \\(a\\), przekątna ma długość \\(a\\sqrt{2}\\).\n\\[a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 4.\\]\n\n**Krok 2. Pole podstawy**\n\\[P_p = a^2 = 16.\\]\n\n**Krok 3. Wyznaczenie wysokości**\nOznaczmy przez \\(O\\) środek podstawy (i spodek wysokości ostrosłupa). Trójkąt \\(ASC\\) jest równoramienny (\\(|SA|=|SC|\\)) o kącie \\(\\sphericalangle ASC=60^\\circ\\). Ponadto \\(|AC|=4\\sqrt{2}\\).\n\nTrójkąt równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(60^\\circ\\) jest **równoboczny**, więc wszystkie boki mają długość \\(4\\sqrt{2}\\): \\(|SA|=|SC|=|AC|=4\\sqrt{2}\\).\n\nWysokość ostrosłupa \\(SO\\) jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego \\(ASC\\) z wierzchołka \\(S\\):\n\\[|SO| = \\dfrac{4\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{6}.\\]\n\n*(Alternatywnie: w trójkącie \\(AOS\\), \\(\\sphericalangle ASO = 30^\\circ\\), \\(|AO| = \\tfrac{1}{2}|AC| = 2\\sqrt{2}\\), \\(\\tan 30^\\circ = \\tfrac{|AO|}{|SO|}\\), więc \\(|SO| = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = \\tfrac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{6}\\).)*\n\n**Krok 4. Objętość ostrosłupa**\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot |SO| = \\dfrac{1}{3}\\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}.\\]\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,V = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi
prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3.
Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
17
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wychodzącego z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi
prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3 .
Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Użycie i tworzenie strategii
Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach
(IV.9.b)
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Pole
cP powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe
2
2
2
cP
xy
xz
yz



. Możemy
przyjąć, że
3
:
2
:
1
:
:

z
y
x
. Wtedy
2
y
x

oraz
3
z
x

. Zatem

2
2
2
2
2
2
2
3
2 2
3
4
6
12
22
cP x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x








Ponieważ
198
cP 
, więc otrzymujemy równanie
2
22
198
x 
Stąd
9
2 
x
, więc
3

x
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów ABD i BDH otrzymujemy
2
2
2
p
x
y


oraz
2
2
2
d
p
z


16
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Stąd
2
2
2
2
d
x
y
z



Zatem




2
2
2
2
2
2
2
2
3
14
14
3 14
d
x
y
z
x
x
x
x
x









Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający
 zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka
w zależności od jednej zmiennej, np.: x, 2x , 3x
albo
 zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi:
2
2
2
d
x
y
z



Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
 zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej,
np.:

2
2
2
3
2 2
3
cP x
x
x
x
x
x
x




albo
 zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.:




2
2
2
2
3
d
x
x
x



Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.:
3

x
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu:
3 14
d 
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość
\n

przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x, 1
\n

2 x ,
1
3 x , i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje
maksymalnie 3 punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi,
stanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.
17
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

To zadanie otwarte - wynik: \\(\\displaystyle V = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}\\)

\n

Sposób 1 - twierdzenie cosinusów w trójkącie ASC

\n

Krok 1: Wyznacz bok podstawy.

\n

Podstawa to kwadrat o przekątnej \\(AC = 4\\sqrt{2}\\). Korzystamy z zależności \\(AC = a\\sqrt{2}\\):
\\[a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} \\implies a = 4\\]

\n

Pole podstawy: \\(P_p = a^2 = 16\\).

\n

Krok 2: Wyraź krawędź boczną SA przez wysokość h.

\n

W ostrosłupie prawidłowym środek O podstawy leży w połowie przekątnej, więc:
\\[AO = \\frac{AC}{2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\]

\n

Wysokość \\(SO = h\\) jest prostopadła do podstawy, więc w trójkącie prostokątnym \\(SOA\\):
\\[SA = \\sqrt{AO^2 + h^2} = \\sqrt{8 + h^2}\\]

\n

Z symetrii ostrosłupa: \\(SA = SC\\), więc trójkąt \\(ASC\\) jest równoramienny.

\n

Krok 3: Zastosuj twierdzenie cosinusów w △ASC.

\n

Kąt przy wierzchołku S wynosi \\(60°\\), ramiona \\(SA = SC\\), podstawa \\(AC = 4\\sqrt{2}\\):
\\[AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \\cdot SA \\cdot SC \\cdot \\cos(\\angle ASC)\\]
\\[32 = (8+h^2) + (8+h^2) - 2(8+h^2) \\cdot \\cos 60°\\]
\\[32 = 2(8+h^2) - 2(8+h^2) \\cdot \\frac{1}{2}\\]
\\[32 = 2(8+h^2) - (8+h^2)\\]
\\[32 = 8 + h^2\\]
\\[h^2 = 24 \\implies h = 2\\sqrt{6}\\]

\n

Krok 4: Oblicz objętość.
\\[\\boxed{V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - spostrzeżenie: trójkąt ASC jest równoboczny

\n

Trójkąt \\(ASC\\) jest równoramienny (\\(SA = SC\\)) z kątem przy wierzchołku \\(\\angle ASC = 60°\\).

\n

Kluczowe spostrzeżenie: trójkąt równoramienny z kątem \\(60°\\) przy wierzchołku jest równoboczny, bo wówczas wszystkie kąty wynoszą \\(60°\\).

\n

Zatem:
\\[SA = SC = AC = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Wyznacz wysokość ostrosłupa z trójkąta prostokątnego \\(SOA\\) (gdzie \\(SO \\perp\\) podstawa):
\\[h = \\sqrt{SA^2 - AO^2} = \\sqrt{(4\\sqrt{2})^2 - (2\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{32 - 8} = \\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}\\]

\n

Objętość:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\frac{32\\sqrt{6}}{3}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
Wzoru używamy w kroku końcowym, gdy znamy \\(h = 2\\sqrt{6}\\) i \\(P_p = 16\\).

\n

Dział 10 (Planimetria - twierdzenie cosinusów, s. 16):
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
W Sposobie 1 stosujemy go do trójkąta \\(ASC\\) z kątem \\(60°\\) przy S.

\n

Dział 10 (Twierdzenie Pitagorasa, s. 15):
\\[SA^2 = SO^2 + AO^2\\]
Pozwala wyrazić \\(SA\\) przez \\(h\\) oraz wyznaczyć \\(h\\) z \\(SA\\) w Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dane \\(AC = 4\\sqrt{2}\\) to przekątna kwadratu, nie jego bok! Bok podstawy to \\(a = 4\\). Wstawienie \\(4\\sqrt{2}\\) jako boku prowadzi do \\(P_p = 32\\) i błędnej objętości.
\n
⚠️ Uwaga: \\(AO\\) to odległość od narożnika do środka = połowa przekątnej, czyli \\(2\\sqrt{2}\\), a nie połowa boku (\\(2\\)). To częsty błąd przy obliczaniu krawędzi bocznej.
\n
⚠️ Uwaga: W twierdzeniu cosinusów kąt \\(60°\\) jest przy wierzchołku S (między ramionami \\(SA\\) i \\(SC\\)). Niektórzy wstawiają ten kąt błędnie - przy podstawie trójkąta, co daje zupełnie inny wynik.
\n
Rozwiązanie
\n

Krok 1. Wyznaczenie krawędzi podstawy
Podstawa jest kwadratem. Gdy bok podstawy to \\(a\\), przekątna ma długość \\(a\\sqrt{2}\\).
\\[a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 4.\\]

\n

Krok 2. Pole podstawy
\\[P_p = a^2 = 16.\\]

\n

Krok 3. Wyznaczenie wysokości
Oznaczmy przez \\(O\\) środek podstawy (i spodek wysokości ostrosłupa). Trójkąt \\(ASC\\) jest równoramienny (\\(|SA|=|SC|\\)) o kącie \\(\\sphericalangle ASC=60^\\circ\\). Ponadto \\(|AC|=4\\sqrt{2}\\).

\n

Trójkąt równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(60^\\circ\\) jest równoboczny, więc wszystkie boki mają długość \\(4\\sqrt{2}\\): \\(|SA|=|SC|=|AC|=4\\sqrt{2}\\).

\n

Wysokość ostrosłupa \\(SO\\) jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego \\(ASC\\) z wierzchołka \\(S\\):
\\[|SO| = \\dfrac{4\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{6}.\\]

\n

(Alternatywnie: w trójkącie \\(AOS\\), \\(\\sphericalangle ASO = 30^\\circ\\), \\(|AO| = \\tfrac{1}{2}|AC| = 2\\sqrt{2}\\), \\(\\tan 30^\\circ = \\tfrac{|AO|}{|SO|}\\), więc \\(|SO| = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = \\tfrac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{6}\\).)

\n

Krok 4. Objętość ostrosłupa
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot |SO| = \\dfrac{1}{3}\\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{6} = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}.\\]

\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{\\,V = \\dfrac{32\\sqrt{6}}{3}\\,}\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$d = 3\\\\sqrt{14}$

"}]}