Zadanie 33. (5 pkt)
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość
2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu
poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią
prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km
h mniejsza od średniej
prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
33.
Maks. liczba pkt
4
5
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
18
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie 33. (0-5)
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość
2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu
poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią
prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od
średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Modelowanie matematyczne
Rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym
prowadzących do równań kwadratowych (III.3.b)
Rozwiązanie (I sposób)
Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza,
a t czas wyrażony w godzinach, w jakim zszedł ze wzgórza. Wówczas zależność między tą
prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci
2,1
v t
Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest zatem równa
1
v , natomiast czas,
w jakim wszedł, jest równy
4
1
1
1
60
15
t
t
. Możemy więc zapisać drugie równanie
16
1
2,1
15
v
t
Stąd otrzymujemy
16
16
21
15
15
10
v
v t
t
Po podstawieniu
21
10
v t
otrzymujemy
16
21
16
21
15
10
15
10
v
t
,
79
16
15
15
t
v
Podstawiając
79
16
15
15
t
v
w równaniu
21
10
v t
, otrzymujemy równanie kwadratowe
z niewiadomą v
79
16
21
15
15
10
v
v
,
2
16
79
21
0
15
15
10
v
v
,
2
32
158
63
0
v
v
,
2
158
4 32 63
16900
,
16900
130
1
158 130
28
7
2 32
2 32
16
v
,
2
158 130
288
9
2 32
2 32
2
v
Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką
turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia
warunki zadania, gdyż wtedy
1
4,5 1
3,5
v
Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaka turysta wchodził na wzgórze jest równa 3,5 km/h.
18
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Rozwiązanie (II sposób)
Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza.
Wówczas czas, w jakim zszedł ze wzgórza, wyrażony w godzinach jest równy 2,1
v . Ponieważ
łączny czas wejścia i zejścia był równy 1 godzinę i 4 minuty, czyli
4
1
16
1
1
60
15
15
godziny,
więc czas, w jakim wchodził, był równy 16
2,1
15
v
godziny. Stąd z kolei wynika, że średnia
prędkość, z jaką wchodził, była równa
2,1
16
2,1
15
v
km/h. Otrzymujemy w ten sposób równanie
z niewiadomą v
2,1
1
16
2,1
15
v
v
,
21
30
1
10 32
63
v
v
v
,
63
1
32
63
v
v
v
,
63
1 32
63
v
v
v
,
2
63
32
95
63
v
v
v
,
2
32
158
63
0
v
v
,
2
158
4 32 63
16900
,
16900
130
1
158 130
28
7
2 32
2 32
16
v
,
2
158 130
288
9
2 32
2 32
2
v
Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką
turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania,
gdyż wtedy
1
4,5 1
3,5
v
Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze jest równa 3,5 km/h.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający
oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza oraz
czas wyrażony w godzinach, w jakim schodził ze wzgórza, i zapisze zależność między
średnią prędkością i czasem, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.:
v - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza
t - czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza
16
1
2,1
15
v
t
albo
19
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta wchodził na wzgórze oraz
czas wyrażony w godzinach, w jakim wchodził na wzgórze, i zapisze zależność między
średnią prędkością i czasem, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.:
v - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze
t - czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze
16
1
2,1
15
v
t
Uwaga
Zdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie
2,1
v t
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t - odpowiednio prędkość i czas
schodzenia turysty ze wzgórza, np.;
16
1
2,1
15
2,1
v
t
v t
albo
zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t - odpowiednio prędkość i czas
wchodzenia turysty na wzgórze, np.;
16
1
2,1
15
2,1
v
t
v t
albo
oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od
tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,
w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.:
v - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza
1
v to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze
2,1
1
v to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze
albo
oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej
wielkości czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza, oraz czas, w jakim turysta
wchodził na wzgórze, np.:
v - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza
2,1
v to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza
16
2,1
15
v
to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze
albo
oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej
wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,
w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.:
v - średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza
1
v to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze
20
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
2,1
v to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza.
Uwaga
Jeśli zdający wprowadza tylko jedną niewiadomą na oznaczenie jednej z czterech wielkości:
czas wchodzenia, czas schodzenia, prędkość wchodzenia, prędkość schodzenia, to 2 punkty
otrzymuje wtedy, gdy uzależni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostałych trzech
wielkości.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający
zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t - odpowiednio prędkość i czas
schodzenia turysty ze wzgórza, np.;
79
16
2,1
15
15
v
v
albo
zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t - odpowiednio prędkość i czas
wchodzenia turysty na wzgórze, np.;
16
47
2,1
15
15
v
v
albo
oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej
wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas,
w jakim turysta wchodził na wzgórze i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
2,1
2,1
16
1
15
v
v
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
Zdający
rozwiąże równanie z niewiadomą inną niż średnia prędkość schodzenia bezbłędnie
i nie obliczy średniej prędkości schodzenia
albo
rozwiąże równanie z niewiadomą v (średnia prędkość schodzenia) z błędem
rachunkowym.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający obliczy średnią prędkość wchodzenia turysty na wzgórze: 3,5 km/h
Uwagi
konsekwentnie.
21
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
że v - 1 oznacza prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza i konsekwentnie do
przyjętych oznaczeń rozwiąże zadanie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Przykład 1.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze
wzgórza i zapisze:
2,1
1
16
15
v
t
2,1
16
1
2,1
15
v t
v
t
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym
jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie
ujął wyrażenia 16
15
t
w nawias. Zapis równania
2,1
1
16
15
v
t
wskazuje na poprawną
interpretację zależności między wielkościami.
Przykład 2.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze
wzgórza i zapisze:
2,1
1
16
15
v
t
2,1
2,1
1
16
15
v
t
v
t
2,1
2,1
1
15
16
t
t
, 2,1
2,1
1
t
t
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 2,1
2,1
1
15
16
t
t
zdający
przestawił liczby w liczniku i mianowniku ułamka 16
15 lub nawet pominął ten ułamek.
Przykład 3.
Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.
2
32
158
63
0
v
v
zamiast
równania
2
32
158
63
0
v
v
(np. w wyniku złego przepisania znaku), konsekwentnie
jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci rozwiązanie niespełniające
22
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
warunków zadania i pozostawi wynik, który może być realną prędkością poruszania się
turysty, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy
5 punktów.
Średnia prędkość pana Kowalskiego: 25 km/h
Średnia prędkość pana Nowaka: 36 km/h
Oznaczamy zmienne:
\nNiech \\(v\\) = średnia prędkość pana Kowalskiego \\([\\text{km/h}]\\).
Wtedy prędkość pana Nowaka = \\(v + 11\\) \\([\\text{km/h}]\\).
Wyrażamy czasy przez prędkości:
\n\\[t_{\\text{Kowalski}} = \\frac{150}{v}, \\qquad t_{\\text{Nowak}} = \\frac{150}{v + 11}\\]
\nPrzeliczamy różnicę czasu:
\n\\[1 \\text{ godz. } 50 \\text{ min.} = 1\\frac{50}{60} \\text{ godz.} = 1\\frac{5}{6} \\text{ godz.} = \\frac{11}{6} \\text{ godz.}\\]
\nUkładamy równanie (Nowak jechał krócej):
\n\\[\\frac{150}{v} - \\frac{150}{v+11} = \\frac{11}{6}\\]
\nMnożymy obie strony przez \\(6v(v+11)\\):
\n\\[6 \\cdot 150(v+11) - 6 \\cdot 150v = 11 \\cdot v(v+11)\\]
\n\\[900(v + 11) - 900v = 11v(v+11)\\]
\n\\[900v + 9900 - 900v = 11v^2 + 121v\\]
\n\\[9900 = 11v^2 + 121v\\]
\nDzielimy przez 11:
\n\\[900 = v^2 + 11v\\]
\n\\[v^2 + 11v - 900 = 0\\]
\nWyróżnik:
\n\\[\\Delta = 11^2 + 4 \\cdot 900 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2\\]
\nPierwiastki:
\n\\[v = \\frac{-11 \\pm 61}{2}\\]
\n\\[v_1 = \\frac{-11 + 61}{2} = \\frac{50}{2} = 25, \\qquad v_2 = \\frac{-11 - 61}{2} = \\frac{-72}{2} = -36\\]
\nPrędkość musi być dodatnia, więc \\(v_2 = -36\\) odrzucamy.
\nWynik:
\nPrędkość pana Kowalskiego: \\(\\mathbf{v = 25 \\text{ km/h}}\\)\n
Prędkość pana Nowaka: \\(\\mathbf{v + 11 = 36 \\text{ km/h}}\\)
Sprawdzamy, czy wynik spełnia oba warunki zadania.
\nWarunek 1 - różnica prędkości:
\n\\[36 - 25 = 11 \\text{ km/h} \\quad \\checkmark\\]
\nWarunek 2 - różnica czasów:
\nCzas Kowalskiego:
\\[t_K = \\frac{150}{25} = 6 \\text{ godz.}\\]
Czas Nowaka:
\\[t_N = \\frac{150}{36} = \\frac{150}{36} = \\frac{25}{6} \\text{ godz.} = 4 \\text{ godz. } 10 \\text{ min.}\\]
Różnica:
\\[t_K - t_N = 6 - \\frac{25}{6} = \\frac{36}{6} - \\frac{25}{6} = \\frac{11}{6} \\text{ godz.} = 1 \\text{ godz. } 50 \\text{ min.} \\quad \\checkmark\\]
Oba warunki spełnione - wynik poprawny.
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy tych wzorów do rozwiązania równania kwadratowego \\(v^2 + 11v - 900 = 0\\).
⚠️ Uwaga: 1 godzina i 50 minut to nie \\(1{,}50\\) godziny! Przelicz poprawnie: \\(50 \\text{ min} = \\frac{50}{60} = \\frac{5}{6}\\) godz., czyli razem \\(\\frac{11}{6}\\) godz. To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n
⚠️ Uwaga: Po wymnożeniu przez \\(6v(v+11)\\) łatwo zgubić którąś grupę lub pomylić kolejność odejmowania. Pamiętaj: Nowak jechał krócej, więc \\(t_K - t_N = \\frac{11}{6}\\), a nie odwrotnie.\n
⚠️ Uwaga: Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - jedno ujemne. Zawsze sprawdź, czy rozwiązanie ma sens fizycznie (prędkość musi być dodatnia) i odrzuć rozwiązanie nieprzystające do kontekstu zadania.\n
Krok 1. Oznaczenia
Niech \\(v\\) [km/h] - prędkość pana Nowaka, \\(t\\) [h] - czas pana Nowaka. Wtedy:
Krok 2. Układ równań
Trasa 150 km:
\\[\\begin{cases} v\\cdot t = 150 \\\\ (v-11)\\left(t+\\tfrac{11}{6}\\right) = 150 \\end{cases}\\]
Krok 3. Z pierwszego równania \\(t = \\tfrac{150}{v}\\). Podstawienie do drugiego:
\\[(v-11)\\left(\\dfrac{150}{v}+\\dfrac{11}{6}\\right)=150.\\]
Wymnażamy:
\\[\\dfrac{150(v-11)}{v} + \\dfrac{11(v-11)}{6} = 150.\\]
Mnożymy obie strony przez \\(6v\\):
\\[900(v-11) + 11v(v-11) = 900v,\\]
\\[900v - 9900 + 11v^2 - 121v = 900v,\\]
\\[11v^2 - 121v - 9900 = 0,\\]
\\[v^2 - 11v - 900 = 0.\\]
Krok 4. Rozwiązanie równania kwadratowego
\\[\\Delta = 121 + 3600 = 3721 = 61^2.\\]
\\[v = \\dfrac{11 \\pm 61}{2}.\\]
\\[v_1 = -25 \\text{ (odrzucamy, }v>0\\text{)},\\quad v_2 = 36.\\]
Krok 5. Obliczenia końcowe
\nSprawdzenie:
Czas Nowaka: \\(\\tfrac{150}{36} = \\tfrac{25}{6}\\) h.
Czas Kowalskiego: \\(\\tfrac{150}{25} = 6\\) h.
Różnica: \\(6 - \\tfrac{25}{6} = \\tfrac{36-25}{6} = \\tfrac{11}{6}\\) h = 1 h 50 min ✓.
\\[\\boxed{\\,\\text{pan Nowak: } 36\\,\\text{km/h},\\quad \\text{pan Kowalski: } 25\\,\\text{km/h}\\,}\\]
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$3,5$ km/h
"}]}