{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nKąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę\n\n30 . Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten\ntrójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\nB\nC\nA\nD\nE\nF\nG\n\n30\n\nPoziom podstawowy\n19\nBRUDNOPIS\nKąt CAB trójkąta ACB ma miarę 30. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nKąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę\n\n30 . Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten\ntrójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.\nUżycie i tworzenie strategii\nWykorzystanie własności figur podobnych w zadaniach\n(IV.7.b)\nI sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem\n2\n\na\nTrójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD i wysokości AE, więc\n4\n2 \na\nAD\noraz\n3\n4 3\n2 3\n2\n2\nAD\nAE \n\n\nTrójkąt GBF to „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG i wysokości FG, więc\n2\nBG\nBF\n\noraz\n3\n2\nBG\nFG \nZatem\n3\n2\n2\nBG\n\n, więc\n4\n3\nBG \noraz\n1\n1\n4\n2\n2\n2\n3\n3\nBF\nBG\n\n\n\n\nTrójkąt ACB jest „połową trójkąta równobocznego” o boku AB. Obliczamy\n2\n2\n8\n2 3\n2\n2 3\n2\n3\n3\n2\n3\n3\n3\nAB\nAE\nEF\nBF\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta ACB jest więc równe\n2\n2\n3\n1\n3 8\n3 64\n32\n19\n3\n2\n3\n4\n3\n4\n2\n4\n8\n3\n8\n3\n3\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nAB\nP\nUwaga\nPodany sposób rozwiązania polega na rozwiązaniu trójkątów prostokątnych ADE i BGF. Tak\nsamo możemy postąpić rozwiązując inną parę trójkątów prostokątnych: ADE i DCG lub DCG\ni BGF.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość boku kwadratu: 2.\nB\nC\nA\nD\nE\nF\nG\n\n30\n23\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający skorzysta z własności trójkąta\n\n\n\n90\n,\n60\n,\n30\nalbo z funkcji trygonometrycznych\ni poprawnie obliczy długość jednego z odcinków:\n4\n\nAD\n,\n2 3\n\nAE\n,\n4\n3\n\nBG\n,\n2\n3\n\nBF\n,\n3\n\nCD\n,\n1\n\nCG\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający poprawnie obliczy długość jednego z boków trójkąta ACB:\n8\n3\n2\n3\nAB \n\nlub\n4\n1\n3\n\n\nBC\nlub\n3\n4\n\n\nAC\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy pole trójkąta ACB:\n19\n3\n4\n6\n\n\nACB\nP\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze wynik w innej, równoważnej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.:\n2\n3 8\n3\n2\n8\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nP\n,\n\n\n1\n4 3\n4\n3\n1\n2\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nP\nII sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem\n2\n\na\nTrójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD, więc\n4\n2 \na\nAD\n. Zatem\npole tego trójkąta jest równe\n2\n2\n3\n1\n4\n3\n2 3\n2\n4\n8\nADE\nAD\nP\n\n\n\n\nTrójkąt GBF to także „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG, więc\n2\nBG\nBF\n\nZatem\n3\n2\n2\nBG\n\n, więc\n4\n3\nBG \n. Pole trójkąta GBF jest więc równe\n2\n2\n4\n3\n3\n1\n2\n3\n3\n2\n4\n8\n3\nGBF\nBG\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nTrójkąt DGC również jest „połową trójkąta równobocznego” o boku DG. Ponieważ\n2\nDG\na\n\n\n, więc pole tego trójkąta jest równe\n2\n2\n3\n1\n2\n3\n3\n2\n4\n8\n2\n\n\n\n\nDCG\nDG\nP\nObliczamy pole trójkąta ACB\n2\n3\n19\n2 3\n3\n4\n3\n4\n3\n2\n6\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nADE\nGBF\nDCG\nDEFG\nP\nP\nP\nP\nP\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość boku kwadratu: 2.\n24\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GBF, DCG:\n2 3\nADE\nP\n\n,\n2\n3\n3\nGBF\nP\n\n,\n3\n2\n\nDCG\nP\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy pole każdego z trójkątów ADE, GBF, DCG:\n2 3\nADE\nP\n\n,\n2\n3\n3\nGBF\nP\n\n,\n3\n2\n\nDCG\nP\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy pole trójkąta ACB:\n19\n3\n4\n6\n\n\nACB\nP\nIII sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem\n2\n\na\n. Zauważmy, że trójkąt ACB jest\npodobny do trójkąta DCG\nTrójkąt DCG to „połowa trójkąta równobocznego” o boku DG długości 2, więc jego pole jest\nrówne\n2\n2\n3\n1\n2\n3\n3\n2\n4\n8\n2\n\n\n\n\nDCG\nDG\nP\nWysokość CM tego trójkąta obliczymy wykorzystując wzór na jego pole\n1\n1 2\n2\n2\n\n\n\n\n\nDCG\nP\nDG CM\nCM\nCM ,\nwięc\n3\n2\nCM \n. Zatem wysokość CN trójkąta ACB opuszczona na AB jest równa\n3\n2\n2\nCN\nCM\nMN\n\n\n\n\nSkala podobieństwa trójkąta ACB do trójkąta DCG jest więc równa\n3\n2\n4\n2\n1\n3\n3\n2\nCN\nCM\n\n\n\nPonieważ stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa, więc\n2\n4\n8\n16\n19\n8\n1\n1\n3\n3\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nDCG\nP\nP\nB\nC\nA\nD\nE\nF\nG\n\n30\nM\nN\n25\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nStąd i z obliczonego wcześniej pola trójkąta DCG otrzymujemy\n19\n8\n19\n8\n3\n19\n3\n4\n3\n3\n2\n6\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nDCG\nP\nP\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający obliczy długość boku kwadratu: 2.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG:\n2 3\nADE\nP\n\n,\n2\n3\n3\nGBF\nP\n\n,\n3\n2\n\nDCG\nP\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający obliczy skalę podobieństwa trójkąta ACB do jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG\ni wykorzysta twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, np.:\n4\n1\n3\nCN\nCM \n,\n2\n4\n1\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\nACB\nDCG\nP\nP\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy pole trójkąta ACB:\n19\n3\n4\n6\nABC\nP\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: C = (3, 3)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoramienności (AC = BC)\n\n**Krok 1: Sprawdzamy, który wierzchołek leży na danej prostej.**\n\nProsta: \\(2x - y - 3 = 0\\)\n\nDla \\(A = (2, 1)\\): \\(2 \\cdot 2 - 1 - 3 = 0\\) ✓\n\nDla \\(B = (5, 2)\\): \\(2 \\cdot 5 - 2 - 3 = 5 \\neq 0\\) ✗\n\nZatem to ramię \\(AC\\) zawiera się w prostej \\(2x - y - 3 = 0\\). Wierzchołek \\(C\\) leży na tej prostej, więc:\n\\[C = (t,\\ 2t - 3) \\quad \\text{dla pewnego } t\\]\n\n**Krok 2: Zapisujemy warunek równoramienności \\(|AC| = |BC|\\).**\n\n\\[|AC|^2 = (t-2)^2 + (2t-3-1)^2 = (t-2)^2 + (2t-4)^2 = (t-2)^2 + 4(t-2)^2 = 5(t-2)^2\\]\n\n\\[|BC|^2 = (t-5)^2 + (2t-3-2)^2 = (t-5)^2 + (2t-5)^2\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy i rozwiązujemy.**\n\n\\[5(t-2)^2 = (t-5)^2 + (2t-5)^2\\]\n\n\\[5(t^2 - 4t + 4) = (t^2 - 10t + 25) + (4t^2 - 20t + 25)\\]\n\n\\[5t^2 - 20t + 20 = 5t^2 - 30t + 50\\]\n\n\\[-20t + 20 = -30t + 50\\]\n\n\\[10t = 30 \\implies t = 3\\]\n\nZatem \\(\\boxed{C = (3,\\ 2 \\cdot 3 - 3) = (3, 3)}\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(|AC| = \\sqrt{1^2 + 2^2} = \\sqrt{5}\\), \\(|BC| = \\sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \\sqrt{5}\\). ✓\n\n## Sposób 2 - Sieczna prostopadłego bisektora AB\n\nPonieważ trójkąt jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), wierzchołek \\(C\\) **leży na prostej prostopadłej do \\(AB\\) poprowadzonej przez jego środek**.\n\n**Krok 1: Środek i nachylenie \\(AB\\).**\n\n\\[M = \\left(\\frac{2+5}{2},\\ \\frac{1+2}{2}\\right) = \\left(\\frac{7}{2},\\ \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\nNachylenie \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\frac{2-1}{5-2} = \\frac{1}{3}\\)\n\nNachylenie prostopadłej: \\(a_\\perp = -3\\) (bo \\(\\frac{1}{3} \\cdot (-3) = -1\\))\n\n**Krok 2: Równanie prostopadłego bisektora.**\n\n\\[y - \\frac{3}{2} = -3\\left(x - \\frac{7}{2}\\right) \\implies y = -3x + 12\\]\n\n**Krok 3: Układ równań - C jest przecięciem prostopadłego bisektora z daną prostą.**\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 3 \\\\ y = -3x + 12 \\end{cases}\\]\n\n\\[2x - 3 = -3x + 12 \\implies 5x = 15 \\implies x = 3,\\quad y = 3\\]\n\n\\[\\boxed{C = (3, 3)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- **Proste prostopadłe:** \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\nUżyliśmy w Sposobie 2, żeby wyznaczyć nachylenie prostopadłego bisektora \\(AB\\).\n\n- **Środek odcinka:** \\(x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\), \\(y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\)\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia środka \\(M\\) odcinka \\(AB\\).\n\n- **Długość odcinka:** \\(|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\)\nUżyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia \\(|AC|\\) i \\(|BC|\\) i postawienia warunku równości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zaczniesz rachunki, sprawdź, który wierzchołek (A czy B) leży na danej prostej - to kluczowy krok, bez którego nie wiesz, które ramię (AC czy BC) leży na tej prostej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 łatwo zapomnieć rozwinąć \\((2t - 4)^2 = 4(t-2)^2\\), co upraszcza \\(|AC|^2\\). Jeśli tego nie dostrzeżesz, rachunki będą znacznie trudniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób z prostą prostopadłego bisektora (Sposób 2) jest szybszy i mniej podatny na błędy algebraiczne - warto go znać jako standardowe narzędzie dla trójkątów równoramiennych w geometrii analitycznej.\n\n### Rozwiązanie (Sposób 1 - symetralna podstawy)\n\n**Krok 1. W trójkącie równoramiennym wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej podstawy \\(AB\\).**\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(AB\\):\n\\[a_{AB} = \\dfrac{2-1}{5-2} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\nWspółczynnik prostej prostopadłej: \\(a_\\perp = -3\\).\n\nŚrodek \\(AB\\):\n\\[S = \\left(\\dfrac{2+5}{2},\\, \\dfrac{1+2}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{7}{2},\\,\\dfrac{3}{2}\\right).\\]\n\n**Krok 2. Równanie symetralnej \\(AB\\)**\n\\(y = -3x + b\\), przechodzi przez \\(S\\):\n\\[\\dfrac{3}{2} = -3\\cdot\\dfrac{7}{2} + b \\Rightarrow b = \\dfrac{3}{2} + \\dfrac{21}{2} = 12.\\]\nSymetralna: \\(y = -3x + 12\\).\n\n**Krok 3. Przecięcie symetralnej z prostą ramienia**\nRamię: \\(2x - y - 3 = 0 \\Rightarrow y = 2x - 3\\). Wstawiam do symetralnej:\n\\[2x - 3 = -3x + 12,\\]\n\\[5x = 15,\\]\n\\[x = 3.\\]\nWtedy \\(y = 2\\cdot 3 - 3 = 3\\).\n\n**Krok 4. Weryfikacja**\n- Punkt \\(C=(3,3)\\) spełnia \\(2\\cdot 3 - 3 - 3 = 0\\) ✓\n- Odległości: \\(|AC|=\\sqrt{(3-2)^2+(3-1)^2}=\\sqrt{5}\\), \\(|BC|=\\sqrt{(3-5)^2+(3-2)^2}=\\sqrt{5}\\). Równe ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\,C = (3,\\,3)\\,}\\]","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (4 pkt)
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę

30 . Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten
trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
B
C
A
D
E
F
G

30

\n

Poziom podstawowy
19
BRUDNOPIS
Kąt CAB trójkąta ACB ma miarę 30. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę

30 . Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten
trójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
Użycie i tworzenie strategii
Wykorzystanie własności figur podobnych w zadaniach
(IV.7.b)
I sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem
2

a
Trójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD i wysokości AE, więc
4
2 
a
AD
oraz
3
4 3
2 3
2
2
AD
AE 


Trójkąt GBF to „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG i wysokości FG, więc
2
BG
BF

oraz
3
2
BG
FG 
Zatem
3
2
2
BG

, więc
4
3
BG 
oraz
1
1
4
2
2
2
3
3
BF
BG




Trójkąt ACB jest „połową trójkąta równobocznego” o boku AB. Obliczamy
2
2
8
2 3
2
2 3
2
3
3
2
3
3
3
AB
AE
EF
BF











Pole trójkąta ACB jest więc równe
2
2
3
1
3 8
3 64
32
19
3
2
3
4
3
4
2
4
8
3
8
3
3
6





















ACB
AB
P
Uwaga
Podany sposób rozwiązania polega na rozwiązaniu trójkątów prostokątnych ADE i BGF. Tak
samo możemy postąpić rozwiązując inną parę trójkątów prostokątnych: ADE i DCG lub DCG
i BGF.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający obliczy długość boku kwadratu: 2.
B
C
A
D
E
F
G

30
23
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający skorzysta z własności trójkąta



90
,
60
,
30
albo z funkcji trygonometrycznych
i poprawnie obliczy długość jednego z odcinków:
4

AD
,
2 3

AE
,
4
3

BG
,
2
3

BF
,
3

CD
,
1

CG
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający poprawnie obliczy długość jednego z boków trójkąta ACB:
8
3
2
3
AB 

lub
4
1
3


BC
lub
3
4


AC
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy pole trójkąta ACB:
19
3
4
6


ACB
P
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze wynik w innej, równoważnej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.:
2
3 8
3
2
8
3








ACB
P
,


1
4 3
4
3
1
2
3












ACB
P
II sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem
2

a
Trójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD, więc
4
2 
a
AD
. Zatem
pole tego trójkąta jest równe
2
2
3
1
4
3
2 3
2
4
8
ADE
AD
P




Trójkąt GBF to także „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG, więc
2
BG
BF

Zatem
3
2
2
BG

, więc
4
3
BG 
. Pole trójkąta GBF jest więc równe
2
2
4
3
3
1
2
3
3
2
4
8
3
GBF
BG
P










Trójkąt DGC również jest „połową trójkąta równobocznego” o boku DG. Ponieważ
2
DG
a


, więc pole tego trójkąta jest równe
2
2
3
1
2
3
3
2
4
8
2




DCG
DG
P
Obliczamy pole trójkąta ACB
2
3
19
2 3
3
4
3
4
3
2
6










ACB
ADE
GBF
DCG
DEFG
P
P
P
P
P
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający obliczy długość boku kwadratu: 2.
24
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GBF, DCG:
2 3
ADE
P

,
2
3
3
GBF
P

,
3
2

DCG
P
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy pole każdego z trójkątów ADE, GBF, DCG:
2 3
ADE
P

,
2
3
3
GBF
P

,
3
2

DCG
P
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy pole trójkąta ACB:
19
3
4
6


ACB
P
III sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem
2

a
. Zauważmy, że trójkąt ACB jest
podobny do trójkąta DCG
Trójkąt DCG to „połowa trójkąta równobocznego” o boku DG długości 2, więc jego pole jest
równe
2
2
3
1
2
3
3
2
4
8
2




DCG
DG
P
Wysokość CM tego trójkąta obliczymy wykorzystując wzór na jego pole
1
1 2
2
2





DCG
P
DG CM
CM
CM ,
więc
3
2
CM 
. Zatem wysokość CN trójkąta ACB opuszczona na AB jest równa
3
2
2
CN
CM
MN




Skala podobieństwa trójkąta ACB do trójkąta DCG jest więc równa
3
2
4
2
1
3
3
2
CN
CM



Ponieważ stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa, więc
2
4
8
16
19
8
1
1
3
3
3
3
3












ACB
DCG
P
P
B
C
A
D
E
F
G

30
M
N
25
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Stąd i z obliczonego wcześniej pola trójkąta DCG otrzymujemy
19
8
19
8
3
19
3
4
3
3
2
6
3
3


















ACB
DCG
P
P
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający obliczy długość boku kwadratu: 2.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający obliczy pole jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG:
2 3
ADE
P

,
2
3
3
GBF
P

,
3
2

DCG
P
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy skalę podobieństwa trójkąta ACB do jednego z trójkątów ADE, GFB, DCG
i wykorzysta twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, np.:
4
1
3
CN
CM 
,
2
4
1
3








ACB
DCG
P
P
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy pole trójkąta ACB:
19
3
4
6
ABC
P

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C = (3, 3)

\n

Sposób 1 - Warunek równoramienności (AC = BC)

\n

Krok 1: Sprawdzamy, który wierzchołek leży na danej prostej.

\n

Prosta: \\(2x - y - 3 = 0\\)

\n

Dla \\(A = (2, 1)\\): \\(2 \\cdot 2 - 1 - 3 = 0\\) ✓

\n

Dla \\(B = (5, 2)\\): \\(2 \\cdot 5 - 2 - 3 = 5 \\neq 0\\) ✗

\n

Zatem to ramię \\(AC\\) zawiera się w prostej \\(2x - y - 3 = 0\\). Wierzchołek \\(C\\) leży na tej prostej, więc:
\\[C = (t,\\ 2t - 3) \\quad \\text{dla pewnego } t\\]

\n

Krok 2: Zapisujemy warunek równoramienności \\(|AC| = |BC|\\).

\n

\\[|AC|^2 = (t-2)^2 + (2t-3-1)^2 = (t-2)^2 + (2t-4)^2 = (t-2)^2 + 4(t-2)^2 = 5(t-2)^2\\]

\n

\\[|BC|^2 = (t-5)^2 + (2t-3-2)^2 = (t-5)^2 + (2t-5)^2\\]

\n

Krok 3: Przyrównujemy i rozwiązujemy.

\n

\\[5(t-2)^2 = (t-5)^2 + (2t-5)^2\\]

\n

\\[5(t^2 - 4t + 4) = (t^2 - 10t + 25) + (4t^2 - 20t + 25)\\]

\n

\\[5t^2 - 20t + 20 = 5t^2 - 30t + 50\\]

\n

\\[-20t + 20 = -30t + 50\\]

\n

\\[10t = 30 \\implies t = 3\\]

\n

Zatem \\(\\boxed{C = (3,\\ 2 \\cdot 3 - 3) = (3, 3)}\\).

\n

Sprawdzenie: \\(|AC| = \\sqrt{1^2 + 2^2} = \\sqrt{5}\\), \\(|BC| = \\sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \\sqrt{5}\\). ✓

\n

Sposób 2 - Sieczna prostopadłego bisektora AB

\n

Ponieważ trójkąt jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), wierzchołek \\(C\\) leży na prostej prostopadłej do \\(AB\\) poprowadzonej przez jego środek.

\n

Krok 1: Środek i nachylenie \\(AB\\).

\n

\\[M = \\left(\\frac{2+5}{2},\\ \\frac{1+2}{2}\\right) = \\left(\\frac{7}{2},\\ \\frac{3}{2}\\right)\\]

\n

Nachylenie \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\frac{2-1}{5-2} = \\frac{1}{3}\\)

\n

Nachylenie prostopadłej: \\(a_\\perp = -3\\) (bo \\(\\frac{1}{3} \\cdot (-3) = -1\\))

\n

Krok 2: Równanie prostopadłego bisektora.

\n

\\[y - \\frac{3}{2} = -3\\left(x - \\frac{7}{2}\\right) \\implies y = -3x + 12\\]

\n

Krok 3: Układ równań - C jest przecięciem prostopadłego bisektora z daną prostą.

\n

\\[\\begin{cases} y = 2x - 3 \\\\ y = -3x + 12 \\end{cases}\\]

\n

\\[2x - 3 = -3x + 12 \\implies 5x = 15 \\implies x = 3,\\quad y = 3\\]

\n

\\[\\boxed{C = (3, 3)}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n\n

Użyliśmy w Sposobie 2, żeby wyznaczyć nachylenie prostopadłego bisektora \\(AB\\).

\n\n

Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia środka \\(M\\) odcinka \\(AB\\).

\n\n

Użyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia \\(|AC|\\) i \\(|BC|\\) i postawienia warunku równości.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zanim zaczniesz rachunki, sprawdź, który wierzchołek (A czy B) leży na danej prostej - to kluczowy krok, bez którego nie wiesz, które ramię (AC czy BC) leży na tej prostej.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 łatwo zapomnieć rozwinąć \\((2t - 4)^2 = 4(t-2)^2\\), co upraszcza \\(|AC|^2\\). Jeśli tego nie dostrzeżesz, rachunki będą znacznie trudniejsze.
\n
⚠️ Uwaga: Sposób z prostą prostopadłego bisektora (Sposób 2) jest szybszy i mniej podatny na błędy algebraiczne - warto go znać jako standardowe narzędzie dla trójkątów równoramiennych w geometrii analitycznej.
\n
Rozwiązanie (Sposób 1 - symetralna podstawy)
\n

Krok 1. W trójkącie równoramiennym wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej podstawy \\(AB\\).

\n

Współczynnik kierunkowy \\(AB\\):
\\[a_{AB} = \\dfrac{2-1}{5-2} = \\dfrac{1}{3}.\\]

\n

Współczynnik prostej prostopadłej: \\(a_\\perp = -3\\).

\n

Środek \\(AB\\):
\\[S = \\left(\\dfrac{2+5}{2},\\, \\dfrac{1+2}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{7}{2},\\,\\dfrac{3}{2}\\right).\\]

\n

Krok 2. Równanie symetralnej \\(AB\\)
\\(y = -3x + b\\), przechodzi przez \\(S\\):
\\[\\dfrac{3}{2} = -3\\cdot\\dfrac{7}{2} + b \\Rightarrow b = \\dfrac{3}{2} + \\dfrac{21}{2} = 12.\\]
Symetralna: \\(y = -3x + 12\\).

\n

Krok 3. Przecięcie symetralnej z prostą ramienia
Ramię: \\(2x - y - 3 = 0 \\Rightarrow y = 2x - 3\\). Wstawiam do symetralnej:
\\[2x - 3 = -3x + 12,\\]
\\[5x = 15,\\]
\\[x = 3.\\]
Wtedy \\(y = 2\\cdot 3 - 3 = 3\\).

\n

Krok 4. Weryfikacja

\n\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{\\,C = (3,\\,3)\\,}\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P_{ACB} = \\\\dfrac{19}{6}\\\\sqrt{3} + 4$

"}]}