{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4.(1 pkt)\nSuma\n8\nlog 16 1\n jest równa\nA. 3\nB.\n3\n2\nC.\n8\nlog 17\nD. 7\n3\nSuma log_8 16 + 1 równa A. log_8 17, B. 3/2, C. 7/3, D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nZnajomość definicji\nlogarytmu (II.1.h)\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(a = -1\\) i \\(b = 1\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie współrzędnych punktów do równania prostej\n\nProsta ma równanie \\(y = ax + b\\). Skoro przez tę prostą przechodzą punkty \\(K = (1, 0)\\) i \\(L = (0, 1)\\), to ich współrzędne muszą **spełniać** to równanie.\n\n**Krok 1:** Podstawiamy punkt \\(K = (1, 0)\\) - czyli \\(x = 1, y = 0\\):\n\\[0 = a \\cdot 1 + b\\]\n\\[a + b = 0\\]\n\n**Krok 2:** Podstawiamy punkt \\(L = (0, 1)\\) - czyli \\(x = 0, y = 1\\):\n\\[1 = a \\cdot 0 + b\\]\n\\[b = 1\\]\n\n**Krok 3:** Wyznaczamy \\(a\\) z pierwszego równania:\n\\[a + b = 0 \\implies a = -b = -1\\]\n\n**Wynik: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - odczyt z wykresu (punkt przecięcia osi)\n\nZauważamy, że:\n- \\(L = (0, 1)\\) to punkt, w którym prosta przecina **oś \\(OY\\)** - czyli jest to tzw. punkt przecięcia z osią rzędnych.\n\nW równaniu \\(y = ax + b\\) wyraz wolny \\(b\\) to właśnie **wartość \\(y\\) dla \\(x = 0\\)**, czyli:\n\\[b = 1\\]\n\n- \\(K = (1, 0)\\) to punkt, w którym prosta przecina **oś \\(OX\\)** - czyli miejsce zerowe prostej.\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a\\) to tangens kąta nachylenia prostej, czyli:\n\\[a = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{y_L - y_K}{x_L - x_K} = \\frac{1 - 0}{0 - 1} = \\frac{1}{-1} = -1\\]\n\n**Wynik: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)** - potwierdzenie odpowiedzi **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia), \\(b\\) to wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \\(OY\\)).\n\nUżyliśmy tego wzoru dwukrotnie - podstawiając współrzędne punktów \\(K\\) i \\(L\\) - aby wyznaczyć \\(a\\) i \\(b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Zamienione wartości: uczeń wyliczył poprawnie \\(\\|a\\| = 1\\) i \\(\\|b\\| = 1\\), ale odwrócił znaki - wziął \\(a = 1, b = -1\\). Taka prosta przechodzi przez \\((1, 0)\\) ✓, ale przez \\((0, -1)\\) ✗, a nie przez \\((0, 1)\\). |\n| C | Uczeń poprawnie wyznaczył \\(a = -1\\), ale przy podstawianiu \\(L = (0, 1)\\) pomylił znak i przyjął \\(b = -1\\). Podstawienie: \\(1 = (-1)\\cdot 0 + (-1) = -1\\) - sprzeczność. |\n| D | Uczeń w ogóle nie uwzględnił znaku minus w nachyleniu prostej. Prosta \\(y = x + 1\\) jest rosnąca, ale prosta przez \\((1,0)\\) i \\((0,1)\\) jest malejąca (idzie \"z góry-lewej do dołu-prawej\"). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(b\\) to **wartość \\(y\\) dla \\(x = 0\\)** - czyli po prostu rzędna punktu przecięcia prostej z osią \\(OY\\). Jeśli dana jest taka informacja wprost (jak tu: \\(L = (0, 1)\\)), od razu wiadomo, że \\(b = 1\\). Nie trzeba układać równania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy \\(a\\) to iloraz \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - **nie** \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y}\\). Łatwo odwrócić licznik z mianownikiem pod presją czasu. Sprawdź: prosta z \\((0,1)\\) do \\((1,0)\\) schodzi o 1 w dół przy ruchu o 1 w prawo, więc \\(a = \\frac{-1}{1} = -1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **weryfikuj wynik** - podstaw wyliczone \\(a\\) i \\(b\\) do równania i sprawdź, czy **oba** punkty go spełniają. To zajmuje 10 sekund i eliminuje pomyłki rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie punktów do równania\nZ \\(L=(0,1)\\): \\(1 = a\\cdot 0 + b\\), więc \\(b = 1\\).\nZ \\(K=(1,0)\\): \\(0 = a\\cdot 1 + 1\\), więc \\(a = -1\\).\nZatem \\(a=-1, b=1\\).\n\n### Sposób 2 - Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\\(a = \\dfrac{y_L - y_K}{x_L - x_K} = \\dfrac{1-0}{0-1} = -1\\). Wyraz wolny \\(b = 1\\) (z \\(L\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(a=1, b=-1\\):** prosta \\(y=x-1\\) - punkt \\(L=(0,1)\\): \\(0\\cdot 1 - 1 = -1 \\ne 1\\) ✗.\n- **C. \\(a=-1, b=-1\\):** \\(L\\): \\(-1 \\ne 1\\) ✗.\n- **D. \\(a=1, b=1\\):** \\(K\\): \\(1+1=2 \\ne 0\\) ✗.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4.(1 pkt)<br>Suma<br>8<br>log 16 1<br> jest równa<br>A. 3<br>B.<br>3<br>2<br>C.<br>8<br>log 17<br>D. 7<br>3<br>Suma log_8 16 + 1 równa A. log_8 17, B. 3/2, C. 7/3, D. 3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji<br>Znajomość definicji<br>logarytmu (II.1.h)<br>D<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(a = -1\\) i \\(b = 1\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie współrzędnych punktów do równania prostej</h4>\n<p>Prosta ma równanie \\(y = ax + b\\). Skoro przez tę prostą przechodzą punkty \\(K = (1, 0)\\) i \\(L = (0, 1)\\), to ich współrzędne muszą <strong>spełniać</strong> to równanie.</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Podstawiamy punkt \\(K = (1, 0)\\) - czyli \\(x = 1, y = 0\\):<br>\\[0 = a \\cdot 1 + b\\]<br>\\[a + b = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Podstawiamy punkt \\(L = (0, 1)\\) - czyli \\(x = 0, y = 1\\):<br>\\[1 = a \\cdot 0 + b\\]<br>\\[b = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Wyznaczamy \\(a\\) z pierwszego równania:<br>\\[a + b = 0 \\implies a = -b = -1\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)</strong> - odpowiedź <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - odczyt z wykresu (punkt przecięcia osi)</h4>\n<p>Zauważamy, że:</p>\n<ul><li>\\(L = (0, 1)\\) to punkt, w którym prosta przecina <strong>oś \\(OY\\)</strong> - czyli jest to tzw. punkt przecięcia z osią rzędnych.</li></ul>\n<p>W równaniu \\(y = ax + b\\) wyraz wolny \\(b\\) to właśnie <strong>wartość \\(y\\) dla \\(x = 0\\)</strong>, czyli:<br>\\[b = 1\\]</p>\n<ul><li>\\(K = (1, 0)\\) to punkt, w którym prosta przecina <strong>oś \\(OX\\)</strong> - czyli miejsce zerowe prostej.</li></ul>\n<p>Współczynnik kierunkowy \\(a\\) to tangens kąta nachylenia prostej, czyli:<br>\\[a = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{y_L - y_K}{x_L - x_K} = \\frac{1 - 0}{0 - 1} = \\frac{1}{-1} = -1\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)</strong> - potwierdzenie odpowiedzi <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b\\]<br>gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia), \\(b\\) to wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \\(OY\\)).</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru dwukrotnie - podstawiając współrzędne punktów \\(K\\) i \\(L\\) - aby wyznaczyć \\(a\\) i \\(b\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Zamienione wartości: uczeń wyliczył poprawnie \\(\\|a\\| = 1\\) i \\(\\|b\\| = 1\\), ale odwrócił znaki - wziął \\(a = 1, b = -1\\). Taka prosta przechodzi przez \\((1, 0)\\) ✓, ale przez \\((0, -1)\\) ✗, a nie przez \\((0, 1)\\). |<br>| C | Uczeń poprawnie wyznaczył \\(a = -1\\), ale przy podstawianiu \\(L = (0, 1)\\) pomylił znak i przyjął \\(b = -1\\). Podstawienie: \\(1 = (-1)\\cdot 0 + (-1) = -1\\) - sprzeczność. |<br>| D | Uczeń w ogóle nie uwzględnił znaku minus w nachyleniu prostej. Prosta \\(y = x + 1\\) jest rosnąca, ale prosta przez \\((1,0)\\) i \\((0,1)\\) jest malejąca (idzie &quot;z góry-lewej do dołu-prawej&quot;). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik \\(b\\) to <strong>wartość \\(y\\) dla \\(x = 0\\)</strong> - czyli po prostu rzędna punktu przecięcia prostej z osią \\(OY\\). Jeśli dana jest taka informacja wprost (jak tu: \\(L = (0, 1)\\)), od razu wiadomo, że \\(b = 1\\). Nie trzeba układać równania!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy \\(a\\) to iloraz \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - <strong>nie</strong> \\(\\frac{\\Delta x}{\\Delta y}\\). Łatwo odwrócić licznik z mianownikiem pod presją czasu. Sprawdź: prosta z \\((0,1)\\) do \\((1,0)\\) schodzi o 1 w dół przy ruchu o 1 w prawo, więc \\(a = \\frac{-1}{1} = -1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze <strong>weryfikuj wynik</strong> - podstaw wyliczone \\(a\\) i \\(b\\) do równania i sprawdź, czy <strong>oba</strong> punkty go spełniają. To zajmuje 10 sekund i eliminuje pomyłki rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie punktów do równania</h5>\n<p>Z \\(L=(0,1)\\): \\(1 = a\\cdot 0 + b\\), więc \\(b = 1\\).<br>Z \\(K=(1,0)\\): \\(0 = a\\cdot 1 + 1\\), więc \\(a = -1\\).<br>Zatem \\(a=-1, b=1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów</h5>\n<p>\\(a = \\dfrac{y_L - y_K}{x_L - x_K} = \\dfrac{1-0}{0-1} = -1\\). Wyraz wolny \\(b = 1\\) (z \\(L\\)).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(a=1, b=-1\\):</strong> prosta \\(y=x-1\\) - punkt \\(L=(0,1)\\): \\(0\\cdot 1 - 1 = -1 \\ne 1\\) ✗.</li><li><strong>C. \\(a=-1, b=-1\\):</strong> \\(L\\): \\(-1 \\ne 1\\) ✗.</li><li><strong>D. \\(a=1, b=1\\):</strong> \\(K\\): \\(1+1=2 \\ne 0\\) ✗.</li></ul>"}]}