{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nWspólnym pierwiastkiem równań\n2\n(\n1)(\n10)(\n5)\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\noraz\n0\n1\n10\n2\n\n\n\nx\nx\njest liczba\nA.\n1\n\nB. 1\nC. 5\nD. 10\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nWspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5) = 0 oraz {2x-10/x-1} = 0 jest liczba A. 10, B. 5, C. 1, D. -1.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie prostych\nrównań wymiernych (II.3.e)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(c < a < b\\), czyli \\(\\log_3 \\dfrac{1}{27} < \\log_3 \\dfrac{1}{9} < \\log_3 3\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgi (bezpośrednie obliczenie)\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\).\n\n**Obliczenie \\(a\\):**\n\\[a = \\log_3 \\frac{1}{9} = \\log_3 3^{-2} = -2\\]\nbo \\(\\frac{1}{9} = \\frac{1}{3^2} = 3^{-2}\\), a logarytm z potęgi to wykładnik.\n\n**Obliczenie \\(b\\):**\n\\[b = \\log_3 3 = \\log_3 3^1 = 1\\]\nbo \\(\\log_a a = 1\\) zawsze.\n\n**Obliczenie \\(c\\):**\n\\[c = \\log_3 \\frac{1}{27} = \\log_3 3^{-3} = -3\\]\nbo \\(\\frac{1}{27} = \\frac{1}{3^3} = 3^{-3}\\).\n\n**Porównanie:**\n\\[c = -3, \\quad a = -2, \\quad b = 1\\]\n\\[-3 < -2 < 1\\]\n\\[\\boxed{c < a < b}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność monotoniczności logarytmu\n\nLogarytm przy podstawie \\(3 > 1\\) jest funkcją **rosnącą** - im większy argument, tym większa wartość logarytmu. Wystarczy więc porównać same argumenty.\n\nArgumenty: \\(\\dfrac{1}{27}\\), \\(\\dfrac{1}{9}\\), \\(3\\).\n\nPorządkujemy ułamki na osi liczbowej:\n\\[\\frac{1}{27} < \\frac{1}{9} < 3\\]\n(bo \\(\\frac{1}{27} \\approx 0{,}037\\), \\(\\frac{1}{9} \\approx 0{,}111\\), \\(3 = 3\\))\n\nPonieważ \\(\\log_3\\) jest rosnący:\n\\[\\log_3 \\frac{1}{27} < \\log_3 \\frac{1}{9} < \\log_3 3\\]\n\\[c < a < b\\]\n\nWynik zgodny z obliczeniami ze Sposobu 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja i własność potęgi:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(\\log_3 3^{-2} = -2 \\cdot \\log_3 3 = -2 \\cdot 1 = -2\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - potęga o ujemnym wykładniku:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\n\nUżyliśmy tego do zamiany \\(\\frac{1}{9} = 3^{-2}\\) i \\(\\frac{1}{27} = 3^{-3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Przestawienie \\(a\\) i \\(c\\): uczeń oblicza \\(\\log_3\\frac{1}{9} = -3\\) (pomylił \\(9 = 3^3\\) zamiast \\(3^2\\)) |\n| B | Uczeń ignoruje ujemne wartości i uznaje, że \\(\\log < 1\\) to \"małe\" - myli kolejność ujemnych |\n| C | Zamiana kolejności \\(a\\) i \\(b\\): uczeń myśli, że \\(\\log_3 3 < \\log_3 \\frac{1}{9}\\), bo \\(3\\) jest \"duże\" i \"powinien być mniejszy\" - błąd intuicji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytmy z liczb mniejszych od 1 (ułamków) przy podstawie \\(> 1\\) są **ujemne** - wielu uczniów o tym zapomina i stawia je powyżej zera.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy porównywaniu liczb ujemnych: \\(-3 < -2\\), nie odwrotnie! Uczeń może błędnie uznać, że „\\(-3\\) jest dalej od zera, więc jest większe\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 3 = 1\\), NIE \\(3\\). Logarytm liczby równej podstawie zawsze wynosi \\(1\\) - ten fakt warto zapamiętać.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie każdego logarytmu\n- \\(a = \\log_3 \\tfrac{1}{9} = \\log_3 3^{-2} = -2\\).\n- \\(b = \\log_3 3 = 1\\).\n- \\(c = \\log_3 \\tfrac{1}{27} = \\log_3 3^{-3} = -3\\).\n\nPorządkujemy: \\(-3 < -2 < 1\\), czyli \\(c < a < b\\).\n\n### Sposób 2 - Monotoniczność logarytmu\nLogarytm o podstawie \\(3>1\\) jest rosnący, więc z \\(\\tfrac{1}{27} < \\tfrac{1}{9} < 3\\) wynika \\(\\log_3 \\tfrac{1}{27} < \\log_3 \\tfrac{1}{9} < \\log_3 3\\), czyli \\(c < a < b\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(cZadanie 5. (1 pkt)
Wspólnym pierwiastkiem równań
2
(
1)(
10)(
5)
0
x
x
x




oraz
0
1
10
2



x
x
jest liczba
A.
1

B. 1
C. 5
D. 10

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
Wspólnym pierwiastkiem równań (x^2-1)(x-10)(x-5) = 0 oraz {2x-10/x-1} = 0 jest liczba A. 10, B. 5, C. 1, D. -1.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwiązywanie prostych
równań wymiernych (II.3.e)
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\(c < a < b\\), czyli \\(\\log_3 \\dfrac{1}{27} < \\log_3 \\dfrac{1}{9} < \\log_3 3\\)

\n

Sposób 1 - Zamiana na potęgi (bezpośrednie obliczenie)

\n

Obliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\).

\n

Obliczenie \\(a\\):
\\[a = \\log_3 \\frac{1}{9} = \\log_3 3^{-2} = -2\\]
bo \\(\\frac{1}{9} = \\frac{1}{3^2} = 3^{-2}\\), a logarytm z potęgi to wykładnik.

\n

Obliczenie \\(b\\):
\\[b = \\log_3 3 = \\log_3 3^1 = 1\\]
bo \\(\\log_a a = 1\\) zawsze.

\n

Obliczenie \\(c\\):
\\[c = \\log_3 \\frac{1}{27} = \\log_3 3^{-3} = -3\\]
bo \\(\\frac{1}{27} = \\frac{1}{3^3} = 3^{-3}\\).

\n

Porównanie:
\\[c = -3, \\quad a = -2, \\quad b = 1\\]
\\[-3 < -2 < 1\\]
\\[\\boxed{c < a < b}\\]

\n

Sposób 2 - Własność monotoniczności logarytmu

\n

Logarytm przy podstawie \\(3 > 1\\) jest funkcją rosnącą - im większy argument, tym większa wartość logarytmu. Wystarczy więc porównać same argumenty.

\n

Argumenty: \\(\\dfrac{1}{27}\\), \\(\\dfrac{1}{9}\\), \\(3\\).

\n

Porządkujemy ułamki na osi liczbowej:
\\[\\frac{1}{27} < \\frac{1}{9} < 3\\]
(bo \\(\\frac{1}{27} \\approx 0{,}037\\), \\(\\frac{1}{9} \\approx 0{,}111\\), \\(3 = 3\\))

\n

Ponieważ \\(\\log_3\\) jest rosnący:
\\[\\log_3 \\frac{1}{27} < \\log_3 \\frac{1}{9} < \\log_3 3\\]
\\[c < a < b\\]

\n

Wynik zgodny z obliczeniami ze Sposobu 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - definicja i własność potęgi:
\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]
\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1: \\(\\log_3 3^{-2} = -2 \\cdot \\log_3 3 = -2 \\cdot 1 = -2\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - potęga o ujemnym wykładniku:
\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]

\n

Użyliśmy tego do zamiany \\(\\frac{1}{9} = 3^{-2}\\) i \\(\\frac{1}{27} = 3^{-3}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Przestawienie \\(a\\) i \\(c\\): uczeń oblicza \\(\\log_3\\frac{1}{9} = -3\\) (pomylił \\(9 = 3^3\\) zamiast \\(3^2\\)) |
| B | Uczeń ignoruje ujemne wartości i uznaje, że \\(\\log < 1\\) to "małe" - myli kolejność ujemnych |
| C | Zamiana kolejności \\(a\\) i \\(b\\): uczeń myśli, że \\(\\log_3 3 < \\log_3 \\frac{1}{9}\\), bo \\(3\\) jest "duże" i "powinien być mniejszy" - błąd intuicji |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Logarytmy z liczb mniejszych od 1 (ułamków) przy podstawie \\(> 1\\) są ujemne - wielu uczniów o tym zapomina i stawia je powyżej zera.
\n
⚠️ Uwaga: Przy porównywaniu liczb ujemnych: \\(-3 < -2\\), nie odwrotnie! Uczeń może błędnie uznać, że „\\(-3\\) jest dalej od zera, więc jest większe".
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_3 3 = 1\\), NIE \\(3\\). Logarytm liczby równej podstawie zawsze wynosi \\(1\\) - ten fakt warto zapamiętać.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie każdego logarytmu
\n\n

Porządkujemy: \\(-3 < -2 < 1\\), czyli \\(c < a < b\\).

\n
Sposób 2 - Monotoniczność logarytmu
\n

Logarytm o podstawie \\(3>1\\) jest rosnący, więc z \\(\\tfrac{1}{27} < \\tfrac{1}{9} < 3\\) wynika \\(\\log_3 \\tfrac{1}{27} < \\log_3 \\tfrac{1}{9} < \\log_3 3\\), czyli \\(c < a < b\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}