{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nFunkcja liniowa\n2\n( ) = (\n4)\n2\nf x\nm\nx\n\n\njest malejąca, gdy\nA.\n\n\n2, 2\nm\nB.\n\n\n2, 2\nm\nC.\n\n\n,\n2\nm\nD.\n\n\n2,\nm\n\nFunkcja liniowa f(x) = (m^2-4)x+2 jest malejąca, gdy A. m ∈ (-oo,-2), B. m ∈ (2,+oo), C. m ∈ {-2,2}, D. m ∈ (-2,2).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWykorzystanie interpretacji\nwspółczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (II.4.g)\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -10, 2\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wartości brzegowych\n\nFunkcja \\(f(x) = 3x - 4\\) jest **funkcją liniową** ze współczynnikiem kierunkowym \\(a = 3 > 0\\), więc jest **rosnąca**. To oznacza, że:\n\n- najmniejszą wartość przyjmuje na **lewym** końcu dziedziny,\n- największą wartość przyjmuje na **prawym** końcu dziedziny.\n\n**Obliczamy wartości brzegowe:**\n\n\\[f(-2) = 3 \\cdot (-2) - 4 = -6 - 4 = -10\\]\n\n\\[f(2) = 3 \\cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2\\]\n\n**Ponieważ dziedzina jest przedziałem domkniętym \\(\\langle -2, 2\\rangle\\)**, oba końce są osiągane, więc zbiór wartości to:\n\n\\[\\boxed{ZW = \\langle -10, 2\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Śledzenie transformacji na liczbach\n\nMożemy patrzeć na to jak na dwa kolejne przekształcenia:\n\n**Krok 1:** Mnożymy przez 3.\n\nZbiór \\(\\langle -2, 2\\rangle\\) po przemnożeniu przez \\(3 > 0\\) (zachowanie kolejności!) daje:\n\n\\[\\langle 3 \\cdot (-2),\\; 3 \\cdot 2\\rangle = \\langle -6, 6\\rangle\\]\n\n**Krok 2:** Odejmujemy 4.\n\n\\[\\langle -6 - 4,\\; 6 - 4\\rangle = \\langle -10, 2\\rangle\\]\n\nWynik taki sam: \\(\\langle -10, 2\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i własność: funkcja rosnąca na przedziale domkniętym osiąga kres na brzegach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Prawidłowe liczby, ale **przedział otwarty** \\((-10, 2)\\) - zapomnienie, że dziedzina jest domknięta, więc \\(f(-2) = -10\\) i \\(f(2) = 2\\) **są osiągane** |\n| C | Obliczono \\(f(2) = 2\\) i \\(f(-2) = -10\\), ale **zamieniono kolejność** - wzięto przedział \\(\\langle 2, 10\\rangle\\) nie wiadomo skąd |\n| D | Połączenie obu błędów: zła kolejność liczb i otwarty przedział |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dziedzina jest **domknięta** \\(\\langle a, b\\rangle\\), krańce są osiągane - zbiór wartości też musi być domknięty. Gdyby dziedzina była otwarta \\((a, b)\\), zbiór wartości byłby otwarty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla funkcji **malejącej** (np. \\(f(x) = -3x - 4\\)) działa odwrotnie - minimum jest po prawej stronie! Zawsze sprawdź znak współczynnika \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\langle -10, 2\\rangle\\) na pierwszy rzut oka może zmylić - \"minus 10 do 2\" to poprawny zapis przedziału (bo \\(-10 < 2\\)), nie mylić z \"od 2 do 10\".\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Monotoniczność i krańce\nFunkcja \\(f(x)=3x-4\\) jest rosnąca (\\(a=3>0\\)), więc na przedziale \\(\\langle -2,2\\rangle\\) przyjmuje wartość minimalną na lewym krańcu i maksymalną na prawym:\n- \\(f(-2) = 3\\cdot(-2)-4 = -10\\) (minimum),\n- \\(f(2) = 3\\cdot 2 - 4 = 2\\) (maksimum).\n\nPrzedział domknięty \\(\\Rightarrow\\) końce należą do zbioru wartości: \\(\\langle -10, 2\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio z nierówności\n\\(-2 \\le x \\le 2 \\Rightarrow -6 \\le 3x \\le 6 \\Rightarrow -10 \\le 3x-4 \\le 2\\). Zatem \\(f(x) \\in \\langle -10, 2\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((-10, 2)\\):** przedział otwarty - ale dziedzina jest domknięta, więc końce są wartościami.\n- **C, D. \\(\\langle 2, 10\\rangle\\), \\((2, 10)\\):** błędne obliczenie \\(f(-2)\\) - np. \\(3\\cdot 2 + 4 = 10\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Funkcja liniowa
2
( ) = (
4)
2
f x
m
x


jest malejąca, gdy
A.


2, 2
m
B.


2, 2
m
C.


,
2
m
D.


2,
m

Funkcja liniowa f(x) = (m^2-4)x+2 jest malejąca, gdy A. m ∈ (-oo,-2), B. m ∈ (2,+oo), C. m ∈ {-2,2}, D. m ∈ (-2,2).

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wykorzystanie interpretacji
współczynników we wzorze
funkcji liniowej (II.4.g)
B
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -10, 2\\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie wartości brzegowych

\n

Funkcja \\(f(x) = 3x - 4\\) jest funkcją liniową ze współczynnikiem kierunkowym \\(a = 3 > 0\\), więc jest rosnąca. To oznacza, że:

\n\n

Obliczamy wartości brzegowe:

\n

\\[f(-2) = 3 \\cdot (-2) - 4 = -6 - 4 = -10\\]

\n

\\[f(2) = 3 \\cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2\\]

\n

Ponieważ dziedzina jest przedziałem domkniętym \\(\\langle -2, 2\\rangle\\), oba końce są osiągane, więc zbiór wartości to:

\n

\\[\\boxed{ZW = \\langle -10, 2\\rangle}\\]

\n

Sposób 2 - Śledzenie transformacji na liczbach

\n

Możemy patrzeć na to jak na dwa kolejne przekształcenia:

\n

Krok 1: Mnożymy przez 3.

\n

Zbiór \\(\\langle -2, 2\\rangle\\) po przemnożeniu przez \\(3 > 0\\) (zachowanie kolejności!) daje:

\n

\\[\\langle 3 \\cdot (-2),\\; 3 \\cdot 2\\rangle = \\langle -6, 6\\rangle\\]

\n

Krok 2: Odejmujemy 4.

\n

\\[\\langle -6 - 4,\\; 6 - 4\\rangle = \\langle -10, 2\\rangle\\]

\n

Wynik taki sam: \\(\\langle -10, 2\\rangle\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i własność: funkcja rosnąca na przedziale domkniętym osiąga kres na brzegach.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Prawidłowe liczby, ale przedział otwarty \\((-10, 2)\\) - zapomnienie, że dziedzina jest domknięta, więc \\(f(-2) = -10\\) i \\(f(2) = 2\\) są osiągane |
| C | Obliczono \\(f(2) = 2\\) i \\(f(-2) = -10\\), ale zamieniono kolejność - wzięto przedział \\(\\langle 2, 10\\rangle\\) nie wiadomo skąd |
| D | Połączenie obu błędów: zła kolejność liczb i otwarty przedział |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy dziedzina jest domknięta \\(\\langle a, b\\rangle\\), krańce są osiągane - zbiór wartości też musi być domknięty. Gdyby dziedzina była otwarta \\((a, b)\\), zbiór wartości byłby otwarty.
\n
⚠️ Uwaga: Dla funkcji malejącej (np. \\(f(x) = -3x - 4\\)) działa odwrotnie - minimum jest po prawej stronie! Zawsze sprawdź znak współczynnika \\(a\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\langle -10, 2\\rangle\\) na pierwszy rzut oka może zmylić - "minus 10 do 2" to poprawny zapis przedziału (bo \\(-10 < 2\\)), nie mylić z "od 2 do 10".
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Monotoniczność i krańce
\n

Funkcja \\(f(x)=3x-4\\) jest rosnąca (\\(a=3>0\\)), więc na przedziale \\(\\langle -2,2\\rangle\\) przyjmuje wartość minimalną na lewym krańcu i maksymalną na prawym:

\n\n

Przedział domknięty \\(\\Rightarrow\\) końce należą do zbioru wartości: \\(\\langle -10, 2\\rangle\\).

\n
Sposób 2 - Bezpośrednio z nierówności
\n

\\(-2 \\le x \\le 2 \\Rightarrow -6 \\le 3x \\le 6 \\Rightarrow -10 \\le 3x-4 \\le 2\\). Zatem \\(f(x) \\in \\langle -10, 2\\rangle\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}