{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\nx\ny\n0\nFunkcja f jest określona wzorem\nA.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nB.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nC.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nD.\n1\n( )\n(\n3)(\n1)\n2\nf x\nx\nx\n\n\n\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Funkcja f jest określona wzorem A. f(x) = -1/2(x-3)(x+1), B. f(x) = 1/2(x-3)(x+1), C. f(x) = -1/2(x+3)(x-1), D. f(x) = 1/2(x+3)(x-1).","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie zadań\nprowadzących do badania\nfunkcji kwadratowej (II.4.l)\nD\nA\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(c = 0\\))\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego\n\nJeśli \\(-\\dfrac{7}{3}\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f\\), to po podstawieniu \\(x = -\\dfrac{7}{3}\\) wartość funkcji wynosi \\(0\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[f\\!\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) = 0\\]\n\\[3 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 + 7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right) + c = 0\\]\n\nLiczymy kolejne składniki:\n\\[\\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 = \\frac{49}{9}, \\quad \\text{więc } 3 \\cdot \\frac{49}{9} = \\frac{49}{3}\\]\n\\[7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right) = -\\frac{49}{3}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} + c = 0\\]\n\\[0 + c = 0\\]\n\\[\\boxed{c = 0}\\]\n\n## Sposób 2 - wzory Viète'a\n\nSkoro \\(x_1 = -\\dfrac{7}{3}\\) jest jednym z miejsc zerowych, możemy wyznaczyć drugie, korzystając ze wzorów Viète'a.\n\nDla \\(f(x) = 3x^2 + 7x + c\\) mamy \\(a = 3\\), \\(b = 7\\):\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{7}{3}\\]\n\nSkoro \\(x_1 = -\\dfrac{7}{3}\\):\n\\[-\\frac{7}{3} + x_2 = -\\frac{7}{3}\\]\n\\[x_2 = 0\\]\n\nTeraz ze wzoru na iloczyn pierwiastków:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\\[\\left(-\\frac{7}{3}\\right) \\cdot 0 = \\frac{c}{3}\\]\n\\[0 = \\frac{c}{3}\\]\n\\[\\boxed{c = 0}\\]\n\n**Bonus - intuicja:** skoro \\(x_2 = 0\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(0) = 0\\), a \\(f(0) = c\\). Bezpośrednio widać, że \\(c = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - definicja miejsca zerowego i wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy ich w Sposobie 2 do wyznaczenia drugiego miejsca zerowego i obliczenia \\(c\\).\n\nW Sposobie 1 nie korzystamy z karty - wystarczy definicja miejsca zerowego (\\(f(x_0) = 0\\)) i bezpośrednie obliczenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B (\\(c = 1\\)) | Uczeń zapisuje równanie \\(3x^2 + 7x + c = 0\\) i zamiast podstawić \\(x = -\\frac{7}{3}\\), próbuje \"odczytać\" \\(c\\) intuicyjnie lub myli wzory Viète'a (\\(x_1 \\cdot x_2 = c\\) zamiast \\(\\frac{c}{a}\\)) |\n| C (\\(c = -98\\)) | Błąd przy podnoszeniu do kwadratu: uczeń liczy \\(\\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 = -\\frac{49}{9}\\) (zapomina, że kwadrat jest zawsze nieujemny), co daje \\(-\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} + c = 0\\), skąd \\(c = \\frac{98}{3}\\), a przy dodatkowym błędzie arytmetycznym wychodzi \\(-98\\) |\n| D (\\(c = 98\\)) | Podobny błąd znakowy - uczeń oblicza \\(\\frac{49}{3} + \\frac{49}{3} = \\frac{98}{3}\\) zamiast \\(\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} = 0\\), np. przez pominięcie minusa przy \\(7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)\\), i następnie mnoży przez 3 dostając \\(98\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\) - podstawiamy \\(x_0\\) do wzoru funkcji i przyrównujemy do zera. Częsty błąd to podstawianie wartości funkcji (np. \"wyraz wolny\") zamiast argumentu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)\\) wynik to \\(-\\frac{49}{3}\\) - **minus jest ważny!** Dwa składniki \\(\\frac{49}{3}\\) i \\(-\\frac{49}{3}\\) sumują się do zera, co jest kluczem do rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Korzystając z wzorów Viète'a, pamiętaj, że \\(x_1 \\cdot x_2 = \\dfrac{c}{a}\\), **nie** \\(c\\). Przy \\(a = 3\\) pominięcie mianownika prowadzi do błędnego wyniku \\(c = 0 \\cdot 3 = 0\\) - tu akurat wychodzi to samo, ale przy innych zadaniach taki błąd byłby krytyczny!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego\nSkoro \\(-\\tfrac{7}{3}\\) jest miejscem zerowym, to \\(f\\!\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) = 0\\):\n\\[3\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right)^2 + 7\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) + c = 0.\\]\n\\[3 \\cdot \\tfrac{49}{9} - \\tfrac{49}{3} + c = 0.\\]\n\\[\\tfrac{49}{3} - \\tfrac{49}{3} + c = 0 \\Rightarrow c = 0.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór Viete'a (iloczyn pierwiastków)\nW \\(ax^2+bx+c\\): \\(x_1 x_2 = \\tfrac{c}{a}\\). Wyznaczamy drugi pierwiastek \\(x_2\\) z sumy: \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{7}{3}\\). Stąd \\(x_2 = 0\\). Zatem \\(\\tfrac{c}{3} = -\\tfrac{7}{3}\\cdot 0 = 0\\), więc \\(c=0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(c=1\\):** po podstawieniu otrzymalibyśmy \\(0+1 \\ne 0\\).\n- **C, D. \\(\\pm 98\\):** błąd rachunkowy - np. \\(3\\cdot\\tfrac{49}{9}=49\\) zamiast \\(\\tfrac{49}{3}\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
0
Funkcja f jest określona wzorem
A.
1
( )
(
3)(
1)
2
f x
x
x



B.
1
( )
(
3)(
1)
2
f x
x
x



C.
1
( )
(
3)(
1)
2
f x
x
x



D.
1
( )
(
3)(
1)
2
f x
x
x



Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Funkcja f jest określona wzorem A. f(x) = -1/2(x-3)(x+1), B. f(x) = 1/2(x-3)(x+1), C. f(x) = -1/2(x+3)(x-1), D. f(x) = 1/2(x+3)(x-1).

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwiązywanie zadań
prowadzących do badania
funkcji kwadratowej (II.4.l)
D
A
3
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (\\(c = 0\\))

\n

Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego

\n

Jeśli \\(-\\dfrac{7}{3}\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f\\), to po podstawieniu \\(x = -\\dfrac{7}{3}\\) wartość funkcji wynosi \\(0\\).

\n

Podstawiamy:
\\[f\\!\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) = 0\\]
\\[3 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 + 7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right) + c = 0\\]

\n

Liczymy kolejne składniki:
\\[\\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 = \\frac{49}{9}, \\quad \\text{więc } 3 \\cdot \\frac{49}{9} = \\frac{49}{3}\\]
\\[7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right) = -\\frac{49}{3}\\]

\n

Podstawiamy:
\\[\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} + c = 0\\]
\\[0 + c = 0\\]
\\[\\boxed{c = 0}\\]

\n

Sposób 2 - wzory Viète'a

\n

Skoro \\(x_1 = -\\dfrac{7}{3}\\) jest jednym z miejsc zerowych, możemy wyznaczyć drugie, korzystając ze wzorów Viète'a.

\n

Dla \\(f(x) = 3x^2 + 7x + c\\) mamy \\(a = 3\\), \\(b = 7\\):

\n

\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{7}{3}\\]

\n

Skoro \\(x_1 = -\\dfrac{7}{3}\\):
\\[-\\frac{7}{3} + x_2 = -\\frac{7}{3}\\]
\\[x_2 = 0\\]

\n

Teraz ze wzoru na iloczyn pierwiastków:
\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
\\[\\left(-\\frac{7}{3}\\right) \\cdot 0 = \\frac{c}{3}\\]
\\[0 = \\frac{c}{3}\\]
\\[\\boxed{c = 0}\\]

\n

Bonus - intuicja: skoro \\(x_2 = 0\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(0) = 0\\), a \\(f(0) = c\\). Bezpośrednio widać, że \\(c = 0\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - definicja miejsca zerowego i wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy ich w Sposobie 2 do wyznaczenia drugiego miejsca zerowego i obliczenia \\(c\\).

\n

W Sposobie 1 nie korzystamy z karty - wystarczy definicja miejsca zerowego (\\(f(x_0) = 0\\)) i bezpośrednie obliczenia.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B (\\(c = 1\\)) | Uczeń zapisuje równanie \\(3x^2 + 7x + c = 0\\) i zamiast podstawić \\(x = -\\frac{7}{3}\\), próbuje "odczytać" \\(c\\) intuicyjnie lub myli wzory Viète'a (\\(x_1 \\cdot x_2 = c\\) zamiast \\(\\frac{c}{a}\\)) |
| C (\\(c = -98\\)) | Błąd przy podnoszeniu do kwadratu: uczeń liczy \\(\\left(-\\frac{7}{3}\\right)^2 = -\\frac{49}{9}\\) (zapomina, że kwadrat jest zawsze nieujemny), co daje \\(-\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} + c = 0\\), skąd \\(c = \\frac{98}{3}\\), a przy dodatkowym błędzie arytmetycznym wychodzi \\(-98\\) |
| D (\\(c = 98\\)) | Podobny błąd znakowy - uczeń oblicza \\(\\frac{49}{3} + \\frac{49}{3} = \\frac{98}{3}\\) zamiast \\(\\frac{49}{3} - \\frac{49}{3} = 0\\), np. przez pominięcie minusa przy \\(7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)\\), i następnie mnoży przez 3 dostając \\(98\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\) - podstawiamy \\(x_0\\) do wzoru funkcji i przyrównujemy do zera. Częsty błąd to podstawianie wartości funkcji (np. "wyraz wolny") zamiast argumentu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu \\(7 \\cdot \\left(-\\frac{7}{3}\\right)\\) wynik to \\(-\\frac{49}{3}\\) - minus jest ważny! Dwa składniki \\(\\frac{49}{3}\\) i \\(-\\frac{49}{3}\\) sumują się do zera, co jest kluczem do rozwiązania.
\n
⚠️ Uwaga: Korzystając z wzorów Viète'a, pamiętaj, że \\(x_1 \\cdot x_2 = \\dfrac{c}{a}\\), nie \\(c\\). Przy \\(a = 3\\) pominięcie mianownika prowadzi do błędnego wyniku \\(c = 0 \\cdot 3 = 0\\) - tu akurat wychodzi to samo, ale przy innych zadaniach taki błąd byłby krytyczny!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego
\n

Skoro \\(-\\tfrac{7}{3}\\) jest miejscem zerowym, to \\(f\\!\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) = 0\\):
\\[3\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right)^2 + 7\\left(-\\tfrac{7}{3}\\right) + c = 0.\\]
\\[3 \\cdot \\tfrac{49}{9} - \\tfrac{49}{3} + c = 0.\\]
\\[\\tfrac{49}{3} - \\tfrac{49}{3} + c = 0 \\Rightarrow c = 0.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór Viete'a (iloczyn pierwiastków)
\n

W \\(ax^2+bx+c\\): \\(x_1 x_2 = \\tfrac{c}{a}\\). Wyznaczamy drugi pierwiastek \\(x_2\\) z sumy: \\(x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{7}{3}\\). Stąd \\(x_2 = 0\\). Zatem \\(\\tfrac{c}{3} = -\\tfrac{7}{3}\\cdot 0 = 0\\), więc \\(c=0\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}