{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nPunkt\n(0,2)\nC \njest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta\nw prostej o równaniu\n2\n4\ny\nx\n\n\n. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.\nA.\n1\n2\n2\ny\nx\n\n\nB.\n2\n2\ny\nx\n\n\nC.\n1\n2\n2\ny\nx\n\n\nD.\n2\n2\ny\nx\n\n\nPunkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x-4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD. A. y = 2x+2, B. 1/2x+2, C. y = -2x+2, D. y = -1/2x+2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nBadanie równoległości\nprostych na podstawie ich\nrównań kierunkowych\n(II.8.c)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(3\\))\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nKluczowy pomysł: w liczniku i mianowniku wyłączamy potęgę o **mniejszym wykładniku**.\n\n**Licznik:** \\(3^{27} + 3^{26}\\). Mniejszy wykładnik to \\(26\\), wyłączamy \\(3^{26}\\):\n\\[3^{27} + 3^{26} = 3^{26} \\cdot 3^1 + 3^{26} \\cdot 1 = 3^{26}(3 + 1) = 3^{26} \\cdot 4\\]\n\n**Mianownik:** \\(3^{26} + 3^{25}\\). Mniejszy wykładnik to \\(25\\), wyłączamy \\(3^{25}\\):\n\\[3^{26} + 3^{25} = 3^{25} \\cdot 3^1 + 3^{25} \\cdot 1 = 3^{25}(3 + 1) = 3^{25} \\cdot 4\\]\n\nTeraz podstawiamy do ułamka:\n\\[\\frac{3^{27} + 3^{26}}{3^{26} + 3^{25}} = \\frac{3^{26} \\cdot 4}{3^{25} \\cdot 4}\\]\n\nSkracamy \\(4\\) i stosujemy działania na potęgach:\n\\[\\frac{3^{26} \\cdot 4}{3^{25} \\cdot 4} = \\frac{3^{26}}{3^{25}} = 3^{26-25} = 3^1 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - podzielenie licznika i mianownika przez \\(3^{25}\\)\n\nDzielimy każdy składnik przez \\(3^{25}\\) (zarówno w liczniku, jak i mianowniku):\n\n\\[\\frac{3^{27} + 3^{26}}{3^{26} + 3^{25}} = \\frac{\\dfrac{3^{27}}{3^{25}} + \\dfrac{3^{26}}{3^{25}}}{\\dfrac{3^{26}}{3^{25}} + \\dfrac{3^{25}}{3^{25}}} = \\frac{3^2 + 3^1}{3^1 + 3^0} = \\frac{9 + 3}{3 + 1} = \\frac{12}{4} = \\mathbf{3}\\]\n\nTen sposób jest równie szybki - zamiast wyłączać, dzielimy wszystko przez najmniejszą potęgę w całym ułamku.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\nUżyliśmy w obu sposobach - przy upraszczaniu \\(\\frac{3^{26}}{3^{25}} = 3^{26-25} = 3\\) oraz przy rozkładaniu \\(3^{27} = 3^{26} \\cdot 3^1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(1\\)) | Uczeń \"skraca\" licznik z mianownikiem jako całości: \\(\\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} \\approx \\frac{3^{26}}{3^{25}}\\) - i pomija, że ta operacja jest niedozwolona przy sumach, a potem myli wynik |\n| C (\\(6\\)) | Uczeń liczy \\(3 + 3 = 6\\) lub błędnie \"upraszcza\" ułamki jak \\(\\frac{a+b}{c+d} = \\frac{a}{c} + \\frac{b}{d}\\) |\n| D (\\(9\\)) | Uczeń myśli, że \\(3^{27}/3^{25} = 3^2 = 9\\) i ignoruje mianownik - czyli oblicza tylko część ułamka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamka z sumą w liczniku/mianowniku **nie można skracać bezpośrednio** - \\(\\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} \\neq \\frac{3^{27}}{3^{26}}\\). Zawsze najpierw wyłącz wspólny czynnik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyłączając \\(3^{26}\\) z \\(3^{27}\\), pamiętaj: \\(3^{27} = 3^{26} \\cdot 3^1\\), bo \\(26 + 1 = 27\\). Łatwo się pomylić o jeden w wykładniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obie metody prowadzą do tego samego uproszczenia \\(\\frac{12}{4} = 3\\) - warto mieć w zanadrzu dwa sposoby i sprawdzić nimi wynik na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\nLicznik: \\(3^{27}+3^{26} = 3^{26}(3+1) = 4\\cdot 3^{26}\\).\nMianownik: \\(3^{26}+3^{25} = 3^{25}(3+1) = 4\\cdot 3^{25}\\).\nZatem:\n\\[\\dfrac{4\\cdot 3^{26}}{4\\cdot 3^{25}} = 3^{26-25} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie licznika i mianownika przez \\(3^{-25}\\)\n\\[\\dfrac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} = \\dfrac{3^{2}+3^{1}}{3^{1}+3^{0}} = \\dfrac{9+3}{3+1} = \\dfrac{12}{4} = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\):** byłoby gdyby licznik = mianownik.\n- **C. \\(6\\):** ktoś obliczył \\(\\tfrac{12}{2}\\).\n- **D. \\(9\\):** ktoś pomylił \\(3^{26-25}\\) z \\(3^{26}/3^{24}=9\\).","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Punkt
(0,2)
C 
jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta
w prostej o równaniu
2
4
y
x


. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.
A.
1
2
2
y
x


B.
2
2
y
x


C.
1
2
2
y
x


D.
2
2
y
x


Punkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x-4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD. A. y = 2x+2, B. 1/2x+2, C. y = -2x+2, D. y = -1/2x+2.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Badanie równoległości
prostych na podstawie ich
równań kierunkowych
(II.8.c)
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B (\\(3\\))

\n

Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika

\n

Kluczowy pomysł: w liczniku i mianowniku wyłączamy potęgę o mniejszym wykładniku.

\n

Licznik: \\(3^{27} + 3^{26}\\). Mniejszy wykładnik to \\(26\\), wyłączamy \\(3^{26}\\):
\\[3^{27} + 3^{26} = 3^{26} \\cdot 3^1 + 3^{26} \\cdot 1 = 3^{26}(3 + 1) = 3^{26} \\cdot 4\\]

\n

Mianownik: \\(3^{26} + 3^{25}\\). Mniejszy wykładnik to \\(25\\), wyłączamy \\(3^{25}\\):
\\[3^{26} + 3^{25} = 3^{25} \\cdot 3^1 + 3^{25} \\cdot 1 = 3^{25}(3 + 1) = 3^{25} \\cdot 4\\]

\n

Teraz podstawiamy do ułamka:
\\[\\frac{3^{27} + 3^{26}}{3^{26} + 3^{25}} = \\frac{3^{26} \\cdot 4}{3^{25} \\cdot 4}\\]

\n

Skracamy \\(4\\) i stosujemy działania na potęgach:
\\[\\frac{3^{26} \\cdot 4}{3^{25} \\cdot 4} = \\frac{3^{26}}{3^{25}} = 3^{26-25} = 3^1 = \\mathbf{3}\\]

\n

Sposób 2 - podzielenie licznika i mianownika przez \\(3^{25}\\)

\n

Dzielimy każdy składnik przez \\(3^{25}\\) (zarówno w liczniku, jak i mianowniku):

\n

\\[\\frac{3^{27} + 3^{26}}{3^{26} + 3^{25}} = \\frac{\\dfrac{3^{27}}{3^{25}} + \\dfrac{3^{26}}{3^{25}}}{\\dfrac{3^{26}}{3^{25}} + \\dfrac{3^{25}}{3^{25}}} = \\frac{3^2 + 3^1}{3^1 + 3^0} = \\frac{9 + 3}{3 + 1} = \\frac{12}{4} = \\mathbf{3}\\]

\n

Ten sposób jest równie szybki - zamiast wyłączać, dzielimy wszystko przez najmniejszą potęgę w całym ułamku.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]
Użyliśmy w obu sposobach - przy upraszczaniu \\(\\frac{3^{26}}{3^{25}} = 3^{26-25} = 3\\) oraz przy rozkładaniu \\(3^{27} = 3^{26} \\cdot 3^1\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A (\\(1\\)) | Uczeń "skraca" licznik z mianownikiem jako całości: \\(\\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} \\approx \\frac{3^{26}}{3^{25}}\\) - i pomija, że ta operacja jest niedozwolona przy sumach, a potem myli wynik |
| C (\\(6\\)) | Uczeń liczy \\(3 + 3 = 6\\) lub błędnie "upraszcza" ułamki jak \\(\\frac{a+b}{c+d} = \\frac{a}{c} + \\frac{b}{d}\\) |
| D (\\(9\\)) | Uczeń myśli, że \\(3^{27}/3^{25} = 3^2 = 9\\) i ignoruje mianownik - czyli oblicza tylko część ułamka |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Ułamka z sumą w liczniku/mianowniku nie można skracać bezpośrednio - \\(\\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} \\neq \\frac{3^{27}}{3^{26}}\\). Zawsze najpierw wyłącz wspólny czynnik!
\n
⚠️ Uwaga: Wyłączając \\(3^{26}\\) z \\(3^{27}\\), pamiętaj: \\(3^{27} = 3^{26} \\cdot 3^1\\), bo \\(26 + 1 = 27\\). Łatwo się pomylić o jeden w wykładniku.
\n
⚠️ Uwaga: Obie metody prowadzą do tego samego uproszczenia \\(\\frac{12}{4} = 3\\) - warto mieć w zanadrzu dwa sposoby i sprawdzić nimi wynik na egzaminie.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\n

Licznik: \\(3^{27}+3^{26} = 3^{26}(3+1) = 4\\cdot 3^{26}\\).
Mianownik: \\(3^{26}+3^{25} = 3^{25}(3+1) = 4\\cdot 3^{25}\\).
Zatem:
\\[\\dfrac{4\\cdot 3^{26}}{4\\cdot 3^{25}} = 3^{26-25} = 3.\\]

\n
Sposób 2 - Mnożenie licznika i mianownika przez \\(3^{-25}\\)
\n

\\[\\dfrac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}} = \\dfrac{3^{2}+3^{1}}{3^{1}+3^{0}} = \\dfrac{9+3}{3+1} = \\dfrac{12}{4} = 3.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}