{"id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nDla każdej liczby x , spełniającej warunek\n0\n3\n\n\n\nx\n, wyrażenie\nx\nx\nx\n3\n3\n\n\n\njest równe\nA. 2\nB. 3\nC.\nx\n6\n\nD.\nx\n6\nDla każdej liczby x, spełniającej warunek -3 < x < 0, wyrażenie |x+3|-x+3 / x jest równe A. -6/x, B. 6/x, C. 2, D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nWykorzystanie pojęcia\nwartości bezwzględnej\n(IV.1.f)\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - stopień wynosi \\(7\\)\n\n## Sposób 1 - Stopnie czynników i ich suma\n\n**Kluczowa zasada:** Stopień iloczynu wielomianów to **suma stopni** poszczególnych wielomianów.\n\nWyznaczamy stopnie każdego czynnika:\n\n\\[\\deg W(x) = \\deg(2x^2 - 1) = 2\\]\n\n\\[\\deg P(x) = \\deg(x^3 + x) = 3\\]\n\n\\[\\deg Q(x) = \\deg\\bigl((1-x)(x+1)\\bigr) = ?\\]\n\nDla \\(Q(x)\\) - iloczyn dwóch wielomianów stopnia 1, więc:\n\\[\\deg Q(x) = 1 + 1 = 2\\]\n\nTeraz stopień całego iloczynu:\n\\[\\deg\\bigl(W(x) \\cdot P(x) \\cdot Q(x)\\bigr) = 2 + 3 + 2 = \\boxed{7}\\]\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie i odczyt stopnia\n\nWyznaczamy tylko **wyraz wiodący** każdego czynnika (nie trzeba mnożyć wszystkiego):\n\n- \\(W(x)\\): wyraz wiodący \\(2x^2\\)\n- \\(P(x)\\): wyraz wiodący \\(x^3\\)\n- \\(Q(x) = (1-x)(x+1)\\): wyraz wiodący to \\((-x)(x) = -x^2\\)\n\nWyraz wiodący iloczynu:\n\\[2x^2 \\cdot x^3 \\cdot (-x^2) = -2x^{2+3+2} = -2x^7\\]\n\nWyraz wiodący to \\(-2x^7\\), więc stopień wielomianu wynosi **7**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja stopnia wielomianu i zasada stopnia iloczynu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(3\\)) | Wzięto stopień tylko jednego czynnika \\(P(x)\\), zignorowano pozostałe |\n| B (\\(6\\)) | Policzono \\(2 + 3 + 1 = 6\\) - pomylono stopień \\(Q(x)\\), biorąc \\(1\\) zamiast \\(2\\) |\n| D (\\(12\\)) | **Pomnożono** stopnie zamiast je dodać: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stopień iloczynu wielomianów to SUMA stopni, nie iloczyn! Błąd D (\\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\)) to klasyczna pomyłka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla \\(Q(x) = (1-x)(x+1)\\) - nie trzeba wymnażać nawiasów do końca. Wystarczy zauważyć, że to iloczyn dwóch wielomianów stopnia 1, więc stopień wynosi \\(1 + 1 = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada \"stopień iloczynu = suma stopni\" działa **zawsze** dla wielomianów niezerowych. Wyjątek mógłby wystąpić tylko wtedy, gdy wyrazy wiodące się skracają (do zera) - ale przy niezerowych współczynnikach wiodących tak się nie dzieje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność stopnia iloczynu\nStopień iloczynu = suma stopni:\n- \\(\\deg W = 2\\),\n- \\(\\deg P = 3\\),\n- \\(\\deg Q = \\deg[(1-x)(x+1)] = \\deg(1-x^2) = 2\\).\n\nSuma: \\(2+3+2 = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Najwyższy wyraz po wymnożeniu\nNajwyższy wyraz \\(W\\cdot P\\cdot Q\\): \\(2x^2 \\cdot x^3 \\cdot (-x^2) = -2x^7\\), więc stopień \\(7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\):** to stopień tylko \\(P\\).\n- **B. \\(6\\):** błąd - ktoś uznał \\(\\deg Q = 1\\) (tylko jeden czynnik) lub pominął \\(W\\).\n- **D. \\(12\\):** ktoś iloczyn stopni \\(2\\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\), ale w iloczynie wielomianów stopnie się **dodaje**, nie mnoży.","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Dla każdej liczby x , spełniającej warunek<br>0<br>3<br><br><br><br>x<br>, wyrażenie<br>x<br>x<br>x<br>3<br>3<br><br><br><br>jest równe<br>A. 2<br>B. 3<br>C.<br>x<br>6<br><br>D.<br>x<br>6<br>Dla każdej liczby x, spełniającej warunek -3 &lt; x &lt; 0, wyrażenie |x+3|-x+3 / x jest równe A. -6/x, B. 6/x, C. 2, D. 3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Użycie i tworzenie strategii<br>Wykorzystanie pojęcia<br>wartości bezwzględnej<br>(IV.1.f)<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - stopień wynosi \\(7\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Stopnie czynników i ich suma</h4>\n<p><strong>Kluczowa zasada:</strong> Stopień iloczynu wielomianów to <strong>suma stopni</strong> poszczególnych wielomianów.</p>\n<p>Wyznaczamy stopnie każdego czynnika:</p>\n<p>\\[\\deg W(x) = \\deg(2x^2 - 1) = 2\\]</p>\n<p>\\[\\deg P(x) = \\deg(x^3 + x) = 3\\]</p>\n<p>\\[\\deg Q(x) = \\deg\\bigl((1-x)(x+1)\\bigr) = ?\\]</p>\n<p>Dla \\(Q(x)\\) - iloczyn dwóch wielomianów stopnia 1, więc:<br>\\[\\deg Q(x) = 1 + 1 = 2\\]</p>\n<p>Teraz stopień całego iloczynu:<br>\\[\\deg\\bigl(W(x) \\cdot P(x) \\cdot Q(x)\\bigr) = 2 + 3 + 2 = \\boxed{7}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wymnożenie i odczyt stopnia</h4>\n<p>Wyznaczamy tylko <strong>wyraz wiodący</strong> każdego czynnika (nie trzeba mnożyć wszystkiego):</p>\n<ul><li>\\(W(x)\\): wyraz wiodący \\(2x^2\\)</li><li>\\(P(x)\\): wyraz wiodący \\(x^3\\)</li><li>\\(Q(x) = (1-x)(x+1)\\): wyraz wiodący to \\((-x)(x) = -x^2\\)</li></ul>\n<p>Wyraz wiodący iloczynu:<br>\\[2x^2 \\cdot x^3 \\cdot (-x^2) = -2x^{2+3+2} = -2x^7\\]</p>\n<p>Wyraz wiodący to \\(-2x^7\\), więc stopień wielomianu wynosi <strong>7</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja stopnia wielomianu i zasada stopnia iloczynu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(3\\)) | Wzięto stopień tylko jednego czynnika \\(P(x)\\), zignorowano pozostałe |<br>| B (\\(6\\)) | Policzono \\(2 + 3 + 1 = 6\\) - pomylono stopień \\(Q(x)\\), biorąc \\(1\\) zamiast \\(2\\) |<br>| D (\\(12\\)) | <strong>Pomnożono</strong> stopnie zamiast je dodać: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stopień iloczynu wielomianów to SUMA stopni, nie iloczyn! Błąd D (\\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\)) to klasyczna pomyłka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla \\(Q(x) = (1-x)(x+1)\\) - nie trzeba wymnażać nawiasów do końca. Wystarczy zauważyć, że to iloczyn dwóch wielomianów stopnia 1, więc stopień wynosi \\(1 + 1 = 2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zasada &quot;stopień iloczynu = suma stopni&quot; działa <strong>zawsze</strong> dla wielomianów niezerowych. Wyjątek mógłby wystąpić tylko wtedy, gdy wyrazy wiodące się skracają (do zera) - ale przy niezerowych współczynnikach wiodących tak się nie dzieje.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność stopnia iloczynu</h5>\n<p>Stopień iloczynu = suma stopni:</p>\n<ul><li>\\(\\deg W = 2\\),</li><li>\\(\\deg P = 3\\),</li><li>\\(\\deg Q = \\deg[(1-x)(x+1)] = \\deg(1-x^2) = 2\\).</li></ul>\n<p>Suma: \\(2+3+2 = 7\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Najwyższy wyraz po wymnożeniu</h5>\n<p>Najwyższy wyraz \\(W\\cdot P\\cdot Q\\): \\(2x^2 \\cdot x^3 \\cdot (-x^2) = -2x^7\\), więc stopień \\(7\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\):</strong> to stopień tylko \\(P\\).</li><li><strong>B. \\(6\\):</strong> błąd - ktoś uznał \\(\\deg Q = 1\\) (tylko jeden czynnik) lub pominął \\(W\\).</li><li><strong>D. \\(12\\):</strong> ktoś iloczyn stopni \\(2\\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\), ale w iloczynie wielomianów stopnie się <strong>dodaje</strong>, nie mnoży.</li></ul>"}]}