{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nDana jest funkcja f określona wzorem\n3\n3\n( )\nx\nx\nf x\nx\n\n\n\n\ndla każdej liczby rzeczywistej\n0\nx \n. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.\n\nPoziom rozszerzony\n3\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nDana jest funkcja f określona wzorem f(x) = |x+3| + |x-3| / x dla każdej liczby rzeczywistej x=0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.","answer":null,"answer_text":"1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie odległości punktu A lub B od prostej\no równaniu\n1\n0\nx\ny\n\n\n\nw zależności od pierwszej współrzędnej punktu:\n1\n1\n1\n2\nx\nd\n\n\n,\n2\n1\n2\n2\n\nx\nd\n2 punkty zdający otrzymuje za zapisanie\n wyrażenia\n2\n2\n1\n2\nd\nd\n\nw postaci: \n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\nx\nx\nx x\nx\nx\n\n\n\n\nalbo\n równości\n2\n2\n1\n2\n6\nd\nd\n\n\n, w postaci równoważnej, np.:\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n10\n0\nx\nx\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nalbo\n równania z niewiadomą m w postaci:\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n4 1\n1\n4 1\n6\n2\n2\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n3 punkty zdający otrzymuje za zapisanie równania stopnia drugiego z jedną\nniewiadomą m, np.: \n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2 2\n5\n2 2\n2\n10\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n12\nm\nm\n\n\n\n\n4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tego równania:\n1\nm  lub\n3\nm .\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu\npierwszego i drugiego:\n3\nm .\nRozwiązanie pełne (trzeci etap) 6 pkt\nWyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i równania oraz podanie\nodpowiedzi:\n3\nm .\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany tylko wówczas, gdy zdający poprawnie\nwykona etapy I i II rozwiązania albo poprawnie wykona etap I i popełnia błędy\nw rozwiązaniu równania z etapu II, albo gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże\nrównanie z etapu II.\n7\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nZadanie 3. (0-1)\nRozwiąż równanie\nx\nx\nsin\n1\ncos\n3\n\n\n\nw przedziale 0, 2.\nObszar standardów\nOpis wymagań\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.\n(II.6.e.R)\nI sposób rozwiązania\nRównanie zapisujemy w postaci równoważnej\n3 cos\nsin\n1\nx\nx\n\n\n.\nDzieląc obie strony równania przez 2 otrzymujemy\n2\n1\nsin\n2\n1\ncos\n2\n3\n\n\n\n\nx\nx\nPonieważ\n3\nsin\n2\n3\n\n\noraz 1\ncos\n2\n3\n\n\n, więc równanie możemy zapisać w postaci\n2\n1\nsin\n3\ncos\ncos\n3\nsin\n\n\n\n\nx\nx\n\n\nZe wzoru na sinus różnicy dostajemy\n2\n1\n3\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nx\n\nStąd\n\n\n\nk\nx\n2\n6\n3\n\n\n\nlub\n\n\n\n\nk\nx\n2\n6\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nczyli\n\n\nk\nx\n2","solution":"$(-\\infty, -2) \\cup \\langle 2, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (4 pkt)
Dana jest funkcja f określona wzorem
3
3
( )
x
x
f x
x




dla każdej liczby rzeczywistej
0
x 
. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

\n

Poziom rozszerzony
3
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
1.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
4
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = |x+3| + |x-3| / x dla każdej liczby rzeczywistej x=0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

","answer_text_html":"

1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie odległości punktu A lub B od prostej
o równaniu
1
0
x
y



w zależności od pierwszej współrzędnej punktu:
1
1
1
2
x
d


,
2
1
2
2

x
d
2 punkty zdający otrzymuje za zapisanie
 wyrażenia
2
2
1
2
d
d

w postaci: 



2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
x
x
x x
x
x




albo
 równości
2
2
1
2
6
d
d


, w postaci równoważnej, np.:




2
1
2
1
2
1
2
2
2
10
0
x
x
x x
x
x






albo
 równania z niewiadomą m w postaci:




2
2
2
2
1
4 1
1
4 1
6
2
2
m
m
m
m








3 punkty zdający otrzymuje za zapisanie równania stopnia drugiego z jedną
niewiadomą m, np.: 





2
2
2
2 2
5
2 2
2
10
0
m
m
m







lub


2
2
2
2
2
8
12
m
m




4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tego równania:
1
m  lub
3
m .
Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu
pierwszego i drugiego:
3
m .
Rozwiązanie pełne (trzeci etap) 6 pkt
Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i równania oraz podanie
odpowiedzi:
3
m .
Uwaga
Za ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany tylko wówczas, gdy zdający poprawnie
wykona etapy I i II rozwiązania albo poprawnie wykona etap I i popełnia błędy
w rozwiązaniu równania z etapu II, albo gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże
równanie z etapu II.
7
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony
Zadanie 3. (0-1)
Rozwiąż równanie
x
x
sin
1
cos
3



w przedziale 0, 2.
Obszar standardów
Opis wymagań
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.
(II.6.e.R)
I sposób rozwiązania
Równanie zapisujemy w postaci równoważnej
3 cos
sin
1
x
x


.
Dzieląc obie strony równania przez 2 otrzymujemy
2
1
sin
2
1
cos
2
3




x
x
Ponieważ
3
sin
2
3


oraz 1
cos
2
3


, więc równanie możemy zapisać w postaci
2
1
sin
3
cos
cos
3
sin




x
x


Ze wzoru na sinus różnicy dostajemy
2
1
3
sin







x

Stąd



k
x
2
6
3



lub




k
x
2
6
3










, gdzie k jest liczbą całkowitą,
czyli


k
x
2

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$(-\\infty, -2) \\cup \\langle 2, +\\infty)$

"}]}