Zadanie 10. (5 pkt)
Wyznacz
wszystkie
całkowite
wartości
parametru
m,
dla
których
równanie
3
2
2
2
2
2
1
2
1
0
x
x
x
x
m
x
m
m
ma
trzy,
parami
różne,
pierwiastki
rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.
Poziom rozszerzony
17
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
Poziom rozszerzony
18
Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie (x^3+2x^2+2x+1)[x^2-(2m+1)x+m^2+m] = 0 ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.
10 10
10
1
100
a
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający
zauważy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego
o numerach nieparzystych jest geometryczny oraz ciąg, którego kolejnymi wyrazami są
wyrazy ciągu
n
a
o numerach parzystych jest geometryczny, a iloraz każdego z tych
ciągów jest taki sam
albo
zapisze równość
1
3
5
99
1
3
5
99
100
a
a
a
a
a q
a q
a q
a q
albo
wykorzysta wzór na sumę logarytmów i definicję logarytmu oraz zapisze równość
1
2
3
100
log
log
log
log
100
a
a
a
a
w postaci:
100
1
2
3
100
10
a a
a
a
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
zapisze równanie z niewiadomymi
1a i q:
50
50
2
2
1
2
2
2
1
1
100
1
1
q
q
a
a
q
q
albo
24
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
zapisze równość
1
3
5
99
1
3
5
99
100
a
a
a
a
q a
a
a
a
albo
zapisze równość
2
99
100
1
1
1
1
10
a
a q
a q
a q
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt
Zdający zapisze równanie z niewiadomą
1a , np.:
2
99
100
1
1
1
1
1
1
1
10
100
100
100
a
a
a
a
albo
zapisze zależności
100
4950
100
1
10
a
q
i
1
100
q
Uwaga
Jeżeli zdający obliczy iloraz ciągu geometrycznego:
1
100
q
i na tym poprzestanie lub dalej
popełnia błędy rzeczowe, to otrzymuje 3 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt
Zdający zapisze równanie w postaci
99
100 2
100
100
1
1
10
100
a
i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 6 pkt
Zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu:
100
1
10
a
Zadanie 8. (0-4)
Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym
3
2
,0
A
,
0
,2
B
, a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu
opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.
Obszar standardów
Opis wymagań
Użycie i tworzenie strategii
Rozwiązywanie zadań dotyczących wzajemnego położenia
prostej i okręgu. (IV.8.b.R)
Rozwiązanie
Obliczmy długość boku sześciokąta
2
2
2 3
2
4
AB
Ponieważ wierzchołek C tego sześciokąta leży na osi Ox, więc
6,0
C
25
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony
Środek S okręgu opisanego na tym sześciokącie ma zatem współrzędne
4,2 3
S
Punkt S jest środkiem przekątnej BE sześciokąta, więc
2
0
,
,
2
2
2
2
B
E
B
E
E
E
x
x
y
y
x
y
S
Zatem
2
4
2
E
x
i
2 3
2
E
y
Stąd
6
E
x
i
4 3
E
y
, więc
6,4 3
E
Styczna do okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ABCDEF poprowadzona przez
wierzchołek E tego sześciokąta jest prostopadła do prostej BE. Ponieważ współczynnik
kierunkowy prostej BE jest równy
4 3
0
3
6
2
E
B
E
B
y
y
x
x
,
więc współczynnik kierunkowy stycznej jest równy
1
3
. Zatem styczna ma równanie
1
6
4 3
3
y
x
,
czyli
3
6 3
3
y
x
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający
zapisze długość boku sześciokąta ABCDEF:
4
AB
albo
zapisze współrzędne środka S okręgu opisanego na sześciokącie:
4,2 3
S
albo
A
B
C
D
E
S
F
x
y
0
1
1
26
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: 3 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: 3 i obliczy lub poda
współrzędne wierzchołka E:
6,4 3
E
albo
zapisze, że prosta AC jest równoległa do stycznej
albo
obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC:
1
3
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej:
1
3
Uwaga
Jeśli zdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej, ale nie obliczy współrzędnych
punktu E, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający zapisze równanie stycznej:
3
6 3
3
y
x
lub
1
6
4 3
3
y
x
Zadanie 9. (0-6)
Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatka została przedstawiona na
rysunku.
Obszar standardów
Opis wymagań
Modelowanie matematyczne
Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach i bryłach
obrotowych z zastosowaniem trygonometrii. (III.9.b)
I sposób rozwiązania
Przyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC. Wówczas każda z krawędzi bocznych
AS, BS i CS ma długość 65. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku.
A
B
C
48
40
40
65
65
65
27
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony
Ponieważ wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają tę samą długość, więc spodek
O wysokości SO ostrosłupa jest punktem przecięcia symetralnych boków jest podstawy,
a więc jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Obliczmy promień R tego okręgu. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy
2
2
2
AD
DC
AC
, czyli
2
2
2
24
40
DC
Stąd
2
2
40
24
32
DC
Trójkąty OEC i ADC są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy
wierzchołku C), więc
OC
AC
CE
CD
, czyli
40
20
32
R
Stąd
25
R
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta COS otrzymujemy
2
2
2
OC
SO
CS
, czyli
2
2
2
25
65
h
Stąd
2
2
65
25
60
h
Pole trójkąta ABC jest równe
1
1 48 32
768
2
2
ABC
P
AB
CD
Objętość ostrosłupa jest więc równa
1
1 768 60
15360
3
3
ABCS
ABC
V
P
h
Uwaga
Pole trójkąta ABC możemy obliczyć stosując wzór Herona
$m = -3$ lub $m = 0$
"}]}