{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nUdowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich\ny\nx,\nprawdziwa jest\nnierówność \n\n\n\n1\n1\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\n4.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nUdowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest nierówność (x+1)(x/y) + (y+1)(y/x) > 2.","answer":null,"answer_text":"4 1\n1\n4 1\n6\n2\n2\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\n12\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n2\n2\n2\n4\n4\n12\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n12\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n2\n2\n4\n4\n10\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n2\n2\n3\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n1\n3\n0\nm\nm\n\n\n\nStąd\n1\nm  lub\n3\nm .\nTylko dla\n3\nm  istnieją pierwiastki\n1x ,\n2x .\nSchemat oceniania I i II sposobu oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\n\n\n:\n\n\n\n\n, 2\n2,\nm\n\n.\n6\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga Jeżeli zdający zapisze\n0\n\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na rozwiązaniu równania\n2\n2\n1\n2\n6\nd\nd\n\n\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:","solution":null,"image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (3 pkt)
Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich
y
x,
prawdziwa jest
nierówność 



1
1
2
x
y
x
y
y
x




Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.
4.
Maks. liczba pkt
4
3
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
8
Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest nierówność (x+1)(x/y) + (y+1)(y/x) > 2.

","answer_text_html":"

4 1
1
4 1
6
2
2
m
m
m
m








,




2
2
2
2
2
4
2
4
12
m
m
m
m








,








2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
4
4
12
m
m
m
m
m
m
m
m














,


2
2
2
2
2
8
12
m
m




,


2
2
4
4
10
0
m
m
m





,
2
2
3
0
m
m



,



1
3
0
m
m



Stąd
1
m  lub
3
m .
Tylko dla
3
m  istnieją pierwiastki
1x ,
2x .
Schemat oceniania I i II sposobu oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności
0


:




, 2
2,
m

.
6
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga Jeżeli zdający zapisze
0

, to za tę część otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na rozwiązaniu równania
2
2
1
2
6
d
d


Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg"}]}