{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nDane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde\ndwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim\nw punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola\ntrójkąta ABC.\n\nPoziom rozszerzony\n9\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nDane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r}. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":"5 1\n4\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie podzbiory, gdzie\n6\na \n,\n5\n4 1\n3\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie podzbiory, gdzie\n5\na \n,\n4\n3 1\n\n, więc jest 1 taki podzbiór, gdzie\n4\na \n,\n3\n2 1\n\n, więc jest 1 taki podzbiór, gdzie\n3\na \nW rezultacie\n\n\n2 4\n3\n2 1\n2 10\n20\n\n\n\n\n\n\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe\n20\n1\n( )\n120\n6\n\n\nP A\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n\n10\n3\n\nalbo\n opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n.\n36\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nUwaga\nZdający może również zapisać a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub c\na\nb\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\noraz\nobliczy ich liczbę:\n20\n\nA\nalbo\n zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n\n10\n3\n\ni opisze\nzdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n\n10\n3\n\noraz opisze\nzdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n oraz obliczy ich\nliczbę:\n20\n\nA\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n20\n1\n( )\n120\n6\n\n\nP A\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pominie co\nnajwyżej jeden przypadek i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\n3 punkty.\n2. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zapisze podzbiór,\nktóry nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np. \n\n10,5,5 , to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń\nelementarnych.\n3. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze\nzdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni\nbłędy rachunkowe i otrzymany wynik jest z przedziału (0,1), to otrzymuje 3 punkty. Jeżeli\nnatomiast otrzyma wynik\n( )\n1\nP A , to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.\nII sposób rozwiązania (model klasyczny-wariacje)\nNiech zdarzeniem elementarnym będzie trzywyrazowy ciąg \n\n, ,\na b c , którego wyrazami są\nliczby ze zbioru \n\n1, 2,\n, 10\n\ntakie, że a\nb\n\ni a\nc\n\ni b\nc\n\n. Mamy do czynienia z modelem\nklasycznym. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n10 9 8\n720\n\n\nNiech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych\nkul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych. Wystarczy wyznaczyć liczbę takich\nciągów \n\n, ,\na b c , że a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n, czyli ciągów malejących.\nLiczba a może przyjąć wszystkie wartości od 10 do 3 włącznie. I tak:\n10\n9 1\n8\n2\n7\n3\n6\n4\n\n\n\n\n\n\n\n, więc są 4 takie ciągi, gdzie\n10\na \n,\n9\n8 1\n7\n2\n6\n3\n5\n4\n\n\n\n\n\n\n\n, więc są 4 takie ciągi, gdzie\n9\na \n,\n8\n7 1\n6\n2\n5\n3\n\n\n\n\n, więc są 3 takie ciągi, gdzie\n8\na \n,\n37\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\n7\n6 1\n5\n2\n4\n3\n\n\n\n\n, więc są 3 takie ciągi, gdzie\n7\na \n,\n6\n5 1\n4\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie ciągi, gdzie\n6\na \n,\n5\n4 1\n3\n2\n\n\n\n, więc są 2 takie ciągi, gdzie\n5\na \n,\n4\n3 1\n\n, więc jest 1 taki ciąg, gdzie\n4\na \n,\n3\n2 1\n\n, więc jest 1 taki ciąg, gdzie\n3\na \nZ każdego takiego ciągu malejącego można utworzyć 3!\n6\n\nzdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A. W rezultacie\n\n\n3! 2 4\n3\n2 1\n6 20\n120\n\n\n\n\n\n\n\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe\n120\n1\n( )\n720\n6\n\n\nP A\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZdający\n zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n10 9 8\n\n\nalbo\n opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci \n\n, ,\na b c ,\ngdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub c\na\nb\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub\nc\na\nb\n\n\noraz obliczy liczbę ciągów \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n (albo\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n\n): 49\nalbo\n opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n lub\nc\na\nb\n\n\noraz obliczy liczbę ciągów \n\n, ,\na b c w jednej z tych sytuacji, np. w sytuacji,\ngdy a\nb\nc\n\n\nalbo\n zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n10 9 8\n\n i opisze zdarzenia\nsprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub b\na\nc\n\n\nlub c\na\nb\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\n Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n10 9 8\n\n oraz opisze\nzdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci \n\n, ,\na b c , gdzie a\nb\nc\n\n lub\nb\na\nc\n\n lub c\na\nb\n\n\noraz obliczy ich liczbę:\n6 20\n\n\nA\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n1\n( )\n6\n\nP A\n38\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci \n\n, ,\na b c , gdzie\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n (albo a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n\n), pominie co najwyżej jedno i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci \n\n, ,\na b c , gdzie\na\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n (albo a\nb\nc\n\n\ni a\nb\nc\n\n\n) zapisze ciąg, który nie jest zdarzeniem\nelementarnym w przyjętym modelu, np. \n\n10,5,5 , to może otrzymać co najwyżej 1 punkt,\no ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.\n3. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze\nzdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni\nbłędy rachunkowe, jednak otrzymany wynik jest z przedziału (0,1), to otrzymuje 3 punkty.\nJeżeli natomiast otrzyma wynik\n( )\n1\nP A , to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.\n4. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to otrzymuje","solution":"$\\dfrac{1}{5}$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (5 pkt)
Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde
dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim
w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola
trójkąta ABC.

\n

Poziom rozszerzony
9
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
10
Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r}. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.

","answer_text_html":"

5 1
4
2



, więc są 2 takie podzbiory, gdzie
6
a 
,
5
4 1
3
2



, więc są 2 takie podzbiory, gdzie
5
a 
,
4
3 1

, więc jest 1 taki podzbiór, gdzie
4
a 
,
3
2 1

, więc jest 1 taki podzbiór, gdzie
3
a 
W rezultacie


2 4
3
2 1
2 10
20






A
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe
20
1
( )
120
6


P A
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający
 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:

10
3

albo
 opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie
a
b
c


i a
b
c

.
36
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Uwaga
Zdający może również zapisać a
b
c

 lub b
a
c

 lub c
a
b


Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
 opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie a
b
c


i a
b
c

oraz
obliczy ich liczbę:
20

A
albo
 zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:

10
3

i opisze
zdarzenia sprzyjające np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie a
b
c


i a
b
c

.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:

10
3

oraz opisze
zdarzenia sprzyjające np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie a
b
c


i a
b
c

 oraz obliczy ich
liczbę:
20

A
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
20
1
( )
120
6


P A
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pominie co
\n

najwyżej jeden przypadek i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje
3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zapisze podzbiór,
\n

który nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np. 

10,5,5 , to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń
elementarnych.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze
\n

zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni
błędy rachunkowe i otrzymany wynik jest z przedziału (0,1), to otrzymuje 3 punkty. Jeżeli
natomiast otrzyma wynik
( )
1
P A , to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.
II sposób rozwiązania (model klasyczny-wariacje)
Niech zdarzeniem elementarnym będzie trzywyrazowy ciąg 

, ,
a b c , którego wyrazami są
liczby ze zbioru 

1, 2,
, 10

takie, że a
b

i a
c

i b
c

. Mamy do czynienia z modelem
klasycznym. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
10 9 8
720


Niech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych
kul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych. Wystarczy wyznaczyć liczbę takich
ciągów 

, ,
a b c , że a
b
c


i a
b
c

, czyli ciągów malejących.
Liczba a może przyjąć wszystkie wartości od 10 do 3 włącznie. I tak:
10
9 1
8
2
7
3
6
4







, więc są 4 takie ciągi, gdzie
10
a 
,
9
8 1
7
2
6
3
5
4







, więc są 4 takie ciągi, gdzie
9
a 
,
8
7 1
6
2
5
3




, więc są 3 takie ciągi, gdzie
8
a 
,
37
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony
7
6 1
5
2
4
3




, więc są 3 takie ciągi, gdzie
7
a 
,
6
5 1
4
2



, więc są 2 takie ciągi, gdzie
6
a 
,
5
4 1
3
2



, więc są 2 takie ciągi, gdzie
5
a 
,
4
3 1

, więc jest 1 taki ciąg, gdzie
4
a 
,
3
2 1

, więc jest 1 taki ciąg, gdzie
3
a 
Z każdego takiego ciągu malejącego można utworzyć 3!
6

zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A. W rezultacie


3! 2 4
3
2 1
6 20
120







A
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe
120
1
( )
720
6


P A
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Zdający
 zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:
10 9 8


albo
 opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np. w postaci 

, ,
a b c ,
gdzie a
b
c

 lub b
a
c

 lub c
a
b


Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający
 opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie a
b
c

 lub b
a
c

 lub
c
a
b


oraz obliczy liczbę ciągów 

, ,
a b c , gdzie a
b
c


i a
b
c

 (albo
a
b
c


i a
b
c


): 49
albo
 opisze zdarzenia sprzyjające np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie a
b
c

 lub b
a
c

 lub
c
a
b


oraz obliczy liczbę ciągów 

, ,
a b c w jednej z tych sytuacji, np. w sytuacji,
gdy a
b
c


albo
 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
10 9 8

 i opisze zdarzenia
sprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie a
b
c

 lub b
a
c


lub c
a
b


Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
 Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
10 9 8

 oraz opisze
zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np. w postaci 

, ,
a b c , gdzie a
b
c

 lub
b
a
c

 lub c
a
b


oraz obliczy ich liczbę:
6 20


A
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
1
( )
6

P A
38
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci 
\n


, ,
a b c , gdzie
a
b
c


i a
b
c

 (albo a
b
c


i a
b
c


), pominie co najwyżej jedno i konsekwentnie
rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci 
\n


, ,
a b c , gdzie
a
b
c


i a
b
c

 (albo a
b
c


i a
b
c


) zapisze ciąg, który nie jest zdarzeniem
elementarnym w przyjętym modelu, np. 

10,5,5 , to może otrzymać co najwyżej 1 punkt,
o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze
\n

zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni
błędy rachunkowe, jednak otrzymany wynik jest z przedziału (0,1), to otrzymuje 3 punkty.
Jeżeli natomiast otrzyma wynik
( )
1
P A , to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to otrzymuje
","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{1}{5}$

"}]}