{"id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2014,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nPunkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym\n\n\n3\n2\n,0\n\nA\n,\n\n\n0\n,2\n\nB\n, a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu\nopisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\n8.\nMaks. liczba pkt\n6\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nPunkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A = (0, 2 pierwiastek z 3), B = (2,0) a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.","answer":null,"answer_text":"8.c)\nI sposób rozwiązania\nFunkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest\nwarunek\n0\n\n. Zatem\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4 1 2\n5\n0\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n0\n16\n4\n2\n\n\nm\n,\n\n\n\n4\n2\n2\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,2\n2\n,\nm\nOdległość punktu\n\n\n1, 0\nA\nx\n\nod prostej o równaniu\n0\n1 \n\ny\nx\njest równa\n2\n1\n2\n1\n0\n1\n1\n1\n1\n1\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nd\nAnalogicznie odległość punktu\n\n\n2, 0\nB\nx\n\nod tej prostej jest równa\n2\n1\n2\n2\n\nx\nd\nSuma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcając równoważnie tę równość otrzymujemy\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n,\n2\n2\n1\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n12\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n10\n0\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n10\n0\nx\nx\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nWykorzystując wzory Viete’a otrzymujemy równanie z niewiadomą m\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2 2\n5\n2 2\n2\n10\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n4\n8\n4\n4\n10\n4\n4 10\n0\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2\n4\n8\n12\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n2\n2\n3\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n1\n3\n0\nm\nm\n\n\n\n5\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony\nStąd\n1\nm  lub\n3\nm .\nTylko dla\n3\nm  istnieją pierwiastki\n1x ,\n2x .\nII sposób rozwiązania\nFunkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest\nwarunek\n0\n\n. Zatem\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4 1 2\n5\n0\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n0\n16\n4\n2\n\n\nm\n,\n\n\n\n4\n2\n2\n0\nm\nm\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,2\n2\n,\nm\nOdległość punktu\n\n\n1, 0\nA\nx\n\nod prostej o równaniu\n0\n1 \n\ny\nx\njest równa\n2\n1\n2\n1\n0\n1\n1\n1\n1\n1\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nd\nAnalogicznie odległość punktu\n\n\n2, 0\nB\nx\n\nod tej prostej jest równa\n2\n1\n2\n2\n\nx\nd\nSuma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli \n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n6\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\nPierwiastki\n1x ,\n2x są równe:\n4\n1\n2\n16\n4\n2\n2\n2\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nm\nm\nm\nx\noraz\n4\n1\n2\n16\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nm\nm\nm\nx\nOtrzymujemy więc równanie z niewiadomą m\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1","solution":"$y = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}x + 6\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2014 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (4 pkt)
Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym


3
2
,0

A
,


0
,2

B
, a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu
opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
7.
8.
Maks. liczba pkt
6
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
14
Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A = (0, 2 pierwiastek z 3), B = (2,0) a C leży na osi Ox. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.

","answer_text_html":"

8.c)
I sposób rozwiązania
Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest
warunek
0

. Zatem




2
2
2
4 1 2
5
0
m
m









,
0
16
4
2


m
,



4
2
2
0
m
m



,











,2
2
,
m
Odległość punktu


1, 0
A
x

od prostej o równaniu
0
1 

y
x
jest równa
2
1
2
1
0
1
1
1
1
1







x
x
d
Analogicznie odległość punktu


2, 0
B
x

od tej prostej jest równa
2
1
2
2

x
d
Suma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość
2
2
1
2
1
1
6
2
2
x
x
















Przekształcając równoważnie tę równość otrzymujemy




2
2
1
2
1
1
6
2
2
x
x




,
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
12
x
x
x
x




,


2
2
1
2
1
2
2
10
0
x
x
x
x





,




2
1
2
1
2
1
2
2
2
10
0
x
x
x x
x
x






Wykorzystując wzory Viete’a otrzymujemy równanie z niewiadomą m






2
2
2
2 2
5
2 2
2
10
0
m
m
m







,
2
4
8
4
4
10
4
4 10
0
m
m
m
m








,
2
4
8
12
0
m
m



,
2
2
3
0
m
m



,



1
3
0
m
m



5
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom rozszerzony
Stąd
1
m  lub
3
m .
Tylko dla
3
m  istnieją pierwiastki
1x ,
2x .
II sposób rozwiązania
Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest
warunek
0

. Zatem




2
2
2
4 1 2
5
0
m
m









,
0
16
4
2


m
,



4
2
2
0
m
m



,











,2
2
,
m
Odległość punktu


1, 0
A
x

od prostej o równaniu
0
1 

y
x
jest równa
2
1
2
1
0
1
1
1
1
1







x
x
d
Analogicznie odległość punktu


2, 0
B
x

od tej prostej jest równa
2
1
2
2

x
d
Suma kwadratów tych odległości jest równa 6, więc otrzymujemy równość
2
2
1
2
1
1
6
2
2
x
x
















, czyli 



2
2
1
2
1
1
6
2
2
x
x




Pierwiastki
1x ,
2x są równe:
4
1
2
16
4
2
2
2
2
1








m
m
m
m
x
oraz
4
1
2
16
4
2
2
2
2
2








m
m
m
m
x
Otrzymujemy więc równanie z niewiadomą m




2
2
2
2
1

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}x + 6\\sqrt{3}$

"}]}