{"id":"matematyka-2014-marzec-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2014-marzec-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2014,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie:\nOdpowiedź:","answer":"R","answer_text":"Zadanie 26. Rozwiąż równanie: .\nRozwiązanie:\nWyznaczamy dziedzinę:\n( )( )\n{ }\nRozwiązujemy równanie:\n/ ( )\n3x - 6 = 2(x2 - 4)\n3x - 6 = 2x2 - 8\n3x - 6 - 2x2 + 8 = 0\n-2x2 + 3x + 2 = 0\n, czyli ( ) . Stąd √ .\n√\n,\n√\n( )\n,\n( )\nUwzględniając dziedzinę: x =\nOdp.: x =\nZad.27. Wykaż, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku są prostopadłe.\nRozwiązanie:\nZałożenie: pr.AE oraz pr.BE-dwusieczne kątów wewnętrznych równoległoboku\nTeza:\nDowód:\nWprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:\nSuma miar dwóch sąsiednich kątów równoległoboku jest równa 180º, zatem:\n2α + 2β = 180º /:2\nα + β = 90º\nKorzystając z faktu, że suma miar kątów trójkąta ABE jest równa 180º otrzymujemy:\nα + β + γ = 180º\nPodstawiając: α + β = 90º otrzymujemy: 90º + γ = 180º\nStąd γ = 90º, co oznacza, że dwusieczne sąsiednich katów równoległoboku są prostopadłe.\ncnd.\nZad.28. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej y = x2 -4x + 1\nw przedziale .\nRozwiązanie:\nSprawdzamy, czy współrzędna p wierzchołka paraboli należy do przedziału .\nObliczamy\nObliczamy wartości funkcji na końcach przedziału :\n( )\n( )\nOdp.: Największa wartość funkcji y = x2 -4x + 1 w przedziale < jest równa 6,\na najmniejsza -2.\nZad.29. Ze zbioru liczb trzycyfrowych mniejszych od 500 wybieramy losowo jedną liczbę.\nJakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez 3 lub przez 5?\nRozwiązanie:\nKorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy:\n( ) ( ) ( ) ( ), gdzie\nA - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 3,\nB - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 5,\nAB - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 3 i 5, czyli przez 15.\nLiczb trzycyfrowych mniejszych od 500 jest 499 - 99 = 400. Zatem ̿ .\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n499:3 = 166,(6). Zatem liczb mniejszych od 500 podzielnych przez 3 jest 166.\n99:3 = 33, czyli liczb mniejszych od 100 podzielnych przez 3 jest 33. Stąd liczb\ntrzycyfrowych podzielnych przez 3, mniejszych od 500 jest 166 - 33 = 133. Więc ̿ .\n( )\n̿\n̿\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia B:\n499:5 = 99.8. Zatem liczb mniejszych od 500 podzielnych przez 5 jest 99.\n99:5 = 19,8, czyli liczb mniejszych od 100 podzielnych przez 5 jest 19. Stąd liczb\ntrzycyfrowych podzielnych przez 5, mniejszych od 500 jest 99 - 19 = 80. Więc ̿ .\n( )\n̿\n̿\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia :\n499:15 = 33,2(6). Zatem liczb mniejszych od 500 podzielnych przez 15 jest 33.\n99:15 = 6,6, czyli liczb mniejszych od 100 podzielnych przez 15 jest 6. Stąd liczb\ntrzycyfrowych podzielnych przez 15, mniejszych od 500 jest 33 - 6 = 27. Więc ̿̿̿̿̿̿̿ .\n( )\n̿̿̿̿̿̿\n̿\nTeraz podstawiamy do wzoru na prawdopodobieństwo sumy:\n( )\nOdp.: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby trzycyfrowej mniejszej od 500 podzielnej\nprzez 3 lub 5 jest równe\nZad.30. Wykaż, że jeżeli , to\nRozwiązanie:\nZałożenie:\nTeza:\nDowód:\nKorzystamy z założenia i wyznaczamy .\nPodstawiamy i otrzymujemy:\n( )\n( )\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:\n( )\nPowyższa nierówność jest prawdziwa dla , zatem nierówność\njest\nprawdziwa, cnd.\nZad.31. Przekątne i rombu przecinają się w punkcie ( ) Wyznacz\nrównanie prostej zawierającej przekątną wiedząc, że prosta zawierająca przekątną\nma równanie .\nRozwiązanie:\nPrzykładowy rysunek do zadania:\nProstą przekształcamy do postaci kierunkowej:\n( )\nPrzekątne rombu są prostopadle, więc prosta AC jest prostopadła do prostej BD.\nDwie proste są prostopadle, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1,\nzatem współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy\nProsta AC przechodzi przez punkt C = (6, -4).\nWyznaczamy jej równanie:\nOdp.: Równanie prostej zawierającej przekątną AC ma postać\nZad.32. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , promień\nokręgu opisanego na podstawie ma długość\ncm Wyznacz miarę kąta między przekątnymi\nsąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka graniastosłupa.\nRozwiązanie:\nOznaczenia:\nDane:\na - krawędź podstawy,\nV = 224cm2\nH - wysokość graniastosłupa,\nr = 4cm\nr - promień okręgu opisanego na podstawie,\nd - przekątna podstawy,\np - przekątna ściany bocznej,\nα - kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego samego\nwierzchołka graniastosłupa.\nKorzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu √ do obliczenia długości krawędzi\npodstawy:\n√ /:√\n√ √\n√\n√\n√\nKorzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa, aby obliczyć długość wysokości H:\n( √ )\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AEH i obliczamy długość przekątnej ściany\nbocznej:\n( √ )\nNiech\nWyznaczamy miarę kąta β korzystając z funkcji trygonometrycznych:\nOdczytujemy miarę kąta β korzystając z tablic matematycznych β = 26º.\nZatem α = 52º.\nOdp.: Miara kąta między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego\nsamego wierzchołka graniastosłupa jest równa 52º.\nZad.33. Samochód przejechał\ntrasy ze średnią prędkością Na całej trasie średnia\nprędkość samochodu była równa . Oblicz z jaką średnią prędkością samochód\nprzejechał pozostałą część trasy.\nRozwiązanie:\nOznaczenia:\ns - długość trasy, s1 - długość\nczęści trasy, s2 - długość\ntrasy,\nv - prędkość na całej trasie, v1 - prędkość na\nczęści trasy, v2 - prędkość na\ntrasy,\nt - czas przejazdu całej trasy, t1 - czas przejazdu\ntrasy, t2 - czas przejazdu\ntrasy.\nDane:\nv = 64km/h, v1 = 80km/h\nKorzystamy ze wzoru na prędkość\n,\n,\n. Ponadto .\nZe wzoru na prędkość wyznaczamy\n,\n,\nPodstawiamy dane:\n,\nWyznaczone t, t1 oraz t2 podstawiamy do zależności i rozwiązujemy równanie:\nOdp.: Średnia prędkość na pozostałej części trasy jest równa 60km/h.\nZad.34. W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej dane są wierzchołki\n( ) i ( ) . Punkt leży na prostej o równaniu . Wyznacz\nrównanie okręgu opisanego na tym trójkącie.\nRozwiązanie:\nSprawdzamy, czy punkt A=(-1, -4) leży na prostej\n( )\n4\nL = P\nZatem punkt A leży na prostej .\nWyznaczamy równanie prostej AC:\n{ ( )\n{\n{\nProsta AC ma równanie: .\nWyznaczamy równanie prostej BC prostopadłej do AC i przechodzącej przez punkt B.\nDwie proste są prostopadle, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1,\nwięc współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy -1.\nPodstawiamy współrzędne punktu C = (5, 2)\nZatem . Równanie prostej BC ma postać:\nObliczamy współrzędne punktu B - punktu przecięcia prostych AB i BC rozwiązując układ\nrównań:\n{\n{\n{\nPunkt B = (3, 4).\nTrójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, zatem środek okręgu opisanego na tym trójkącie\njest środkiem przeciwprostokątnej AB.\nWyznaczamy współrzędne S środka odcinka AB:\n(\n)\n(\n) ( ).\nWyznaczamy długość promienia R okręgu opisanego na tym trójkącie\n| | √( ) ( )\n√( ( )) ( ( )) = √ = √ = √\nRównanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r ma postać: ( ) ( )\nOdp.: Równanie szukanego okręgu ma postać: ( )","solution":"$x = -\\dfrac{1}{2}$","image":"img/matematyka-2014-marzec-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż równanie:
Odpowiedź:

","answer_text_html":"

Zadanie 26. Rozwiąż równanie: .
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę:
( )( )
{ }
Rozwiązujemy równanie:
/ ( )
3x - 6 = 2(x2 - 4)
3x - 6 = 2x2 - 8
3x - 6 - 2x2 + 8 = 0
-2x2 + 3x + 2 = 0
, czyli ( ) . Stąd √ .
√
,
√
( )
,
( )
Uwzględniając dziedzinę: x =
Odp.: x =
Zad.27. Wykaż, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku są prostopadłe.
Rozwiązanie:
Założenie: pr.AE oraz pr.BE-dwusieczne kątów wewnętrznych równoległoboku
Teza:
Dowód:
Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:
Suma miar dwóch sąsiednich kątów równoległoboku jest równa 180º, zatem:
2α + 2β = 180º /:2
α + β = 90º
Korzystając z faktu, że suma miar kątów trójkąta ABE jest równa 180º otrzymujemy:
α + β + γ = 180º
Podstawiając: α + β = 90º otrzymujemy: 90º + γ = 180º
Stąd γ = 90º, co oznacza, że dwusieczne sąsiednich katów równoległoboku są prostopadłe.
cnd.
Zad.28. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej y = x2 -4x + 1
w przedziale .
Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy współrzędna p wierzchołka paraboli należy do przedziału .
Obliczamy
Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału :
( )
( )
Odp.: Największa wartość funkcji y = x2 -4x + 1 w przedziale < jest równa 6,
a najmniejsza -2.
Zad.29. Ze zbioru liczb trzycyfrowych mniejszych od 500 wybieramy losowo jedną liczbę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez 3 lub przez 5?
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy:
( ) ( ) ( ) ( ), gdzie
A - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 3,
B - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 5,
AB - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 3 i 5, czyli przez 15.
Liczb trzycyfrowych mniejszych od 500 jest 499 - 99 = 400. Zatem ̿ .
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
499:3 = 166,(6). Zatem liczb mniejszych od 500 podzielnych przez 3 jest 166.
99:3 = 33, czyli liczb mniejszych od 100 podzielnych przez 3 jest 33. Stąd liczb
trzycyfrowych podzielnych przez 3, mniejszych od 500 jest 166 - 33 = 133. Więc ̿ .
( )
̿
̿
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia B:
499:5 = 99.8. Zatem liczb mniejszych od 500 podzielnych przez 5 jest 99.
99:5 = 19,8, czyli liczb mniejszych od 100 podzielnych przez 5 jest 19. Stąd liczb
trzycyfrowych podzielnych przez 5, mniejszych od 500 jest 99 - 19 = 80. Więc ̿ .
( )
̿
̿
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia :
499:15 = 33,2(6). Zatem liczb mniejszych od 500 podzielnych przez 15 jest 33.
99:15 = 6,6, czyli liczb mniejszych od 100 podzielnych przez 15 jest 6. Stąd liczb
trzycyfrowych podzielnych przez 15, mniejszych od 500 jest 33 - 6 = 27. Więc ̿̿̿̿̿̿̿ .
( )
̿̿̿̿̿̿
̿
Teraz podstawiamy do wzoru na prawdopodobieństwo sumy:
( )
Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby trzycyfrowej mniejszej od 500 podzielnej
przez 3 lub 5 jest równe
Zad.30. Wykaż, że jeżeli , to
Rozwiązanie:
Założenie:
Teza:
Dowód:
Korzystamy z założenia i wyznaczamy .
Podstawiamy i otrzymujemy:
( )
( )
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
( )
Powyższa nierówność jest prawdziwa dla , zatem nierówność
jest
prawdziwa, cnd.
Zad.31. Przekątne i rombu przecinają się w punkcie ( ) Wyznacz
równanie prostej zawierającej przekątną wiedząc, że prosta zawierająca przekątną
ma równanie .
Rozwiązanie:
Przykładowy rysunek do zadania:
Prostą przekształcamy do postaci kierunkowej:
( )
Przekątne rombu są prostopadle, więc prosta AC jest prostopadła do prostej BD.
Dwie proste są prostopadle, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1,
zatem współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy
Prosta AC przechodzi przez punkt C = (6, -4).
Wyznaczamy jej równanie:
Odp.: Równanie prostej zawierającej przekątną AC ma postać
Zad.32. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , promień
okręgu opisanego na podstawie ma długość
cm Wyznacz miarę kąta między przekątnymi
sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Oznaczenia:
Dane:
a - krawędź podstawy,
V = 224cm2
H - wysokość graniastosłupa,
r = 4cm
r - promień okręgu opisanego na podstawie,
d - przekątna podstawy,
p - przekątna ściany bocznej,
α - kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego samego
wierzchołka graniastosłupa.
Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu √ do obliczenia długości krawędzi
podstawy:
√ /:√
√ √
√
√
√
Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa, aby obliczyć długość wysokości H:
( √ )
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AEH i obliczamy długość przekątnej ściany
bocznej:
( √ )
Niech
Wyznaczamy miarę kąta β korzystając z funkcji trygonometrycznych:
Odczytujemy miarę kąta β korzystając z tablic matematycznych β = 26º.
Zatem α = 52º.
Odp.: Miara kąta między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego
samego wierzchołka graniastosłupa jest równa 52º.
Zad.33. Samochód przejechał
trasy ze średnią prędkością Na całej trasie średnia
prędkość samochodu była równa . Oblicz z jaką średnią prędkością samochód
przejechał pozostałą część trasy.
Rozwiązanie:
Oznaczenia:
s - długość trasy, s1 - długość
części trasy, s2 - długość
trasy,
v - prędkość na całej trasie, v1 - prędkość na
części trasy, v2 - prędkość na
trasy,
t - czas przejazdu całej trasy, t1 - czas przejazdu
trasy, t2 - czas przejazdu
trasy.
Dane:
v = 64km/h, v1 = 80km/h
Korzystamy ze wzoru na prędkość
,
,
. Ponadto .
Ze wzoru na prędkość wyznaczamy
,
,
Podstawiamy dane:
,
Wyznaczone t, t1 oraz t2 podstawiamy do zależności i rozwiązujemy równanie:
Odp.: Średnia prędkość na pozostałej części trasy jest równa 60km/h.
Zad.34. W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej dane są wierzchołki
( ) i ( ) . Punkt leży na prostej o równaniu . Wyznacz
równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy punkt A=(-1, -4) leży na prostej
( )
4
L = P
Zatem punkt A leży na prostej .
Wyznaczamy równanie prostej AC:
{ ( )
{
{
Prosta AC ma równanie: .
Wyznaczamy równanie prostej BC prostopadłej do AC i przechodzącej przez punkt B.
Dwie proste są prostopadle, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1,
więc współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy -1.
Podstawiamy współrzędne punktu C = (5, 2)
Zatem . Równanie prostej BC ma postać:
Obliczamy współrzędne punktu B - punktu przecięcia prostych AB i BC rozwiązując układ
równań:
{
{
{
Punkt B = (3, 4).
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, zatem środek okręgu opisanego na tym trójkącie
jest środkiem przeciwprostokątnej AB.
Wyznaczamy współrzędne S środka odcinka AB:
(
)
(
) ( ).
Wyznaczamy długość promienia R okręgu opisanego na tym trójkącie
| | √( ) ( )
√( ( )) ( ( )) = √ = √ = √
Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r ma postać: ( ) ( )
Odp.: Równanie szukanego okręgu ma postać: ( )

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

x=−12

"}]}