{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.\nA.\n7\n15\nx \n\nB.\n7\n15\nx \n\nC.\n15\n7\nx \n\nD.\n15\n7\nx \n\nWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. |x-7|<15, B. |x-7|>15, C. |x-15|<7, D. |x-15|>7. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"A","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(|x - 7| < 15\\)\n\n## Sposób 1 - środek i promień przedziału\n\n**Zauważamy, co mamy na rysunku:**\n\nOś liczbowa z otwartym przedziałem \\((-8, 22)\\). Oba kółka są puste - przedział otwarty (końce wyłączone).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy środek przedziału.**\n\n\\[c = \\frac{-8 + 22}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\nŚrodek to \\(7\\). Zgadza się z rysunkiem!\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \"promień\" - odległość od środka do końca.**\n\n\\[r = 22 - 7 = 15 \\quad \\text{(lub: } 7 - (-8) = 15\\text{)}\\]\n\n**Krok 3: Zapisujemy nierówność z wartością bezwzględną.**\n\n\\(|x - c| < r\\) opisuje otwarty przedział \\((c-r,\\ c+r)\\), czyli:\n\n\\[\\boxed{|x - 7| < 15}\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n\\[7 - 15 = -8, \\quad 7 + 15 = 22\\]\n\nPrzedział \\((-8, 22)\\) - dokładnie to, co na rysunku. ✓\n\n## Sposób 2 - rozwinięcie nierówności (weryfikacja algebraiczna)\n\nRozwijamy odpowiedź A i sprawdzamy, czy daje ten sam przedział.\n\n\\[|x - 7| < 15\\]\n\nKorzystamy z definicji: \\(|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\)\n\n\\[-15 < x - 7 < 15\\]\n\nDodajemy \\(7\\) do każdej części:\n\n\\[-15 + 7 < x < 15 + 7\\]\n\n\\[-8 < x < 22\\]\n\nTo dokładnie przedział otwarty \\((-8, 22)\\) z rysunku. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do zapisu przedziału przez środek i promień, oraz w Sposobie 2 do rozwinięcia nierówności.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(|x - 7| > 15\\) opisuje **dopełnienie** tego przedziału: \\(x < -8\\) lub \\(x > 22\\) - czyli punkty **poza** zaznaczonym odcinkiem |\n| C | \\(|x - 15| < 7\\) daje przedział \\((8, 22)\\) - zły środek! Uczeń pomylił środek \\(7\\) z połową długości \\(15\\) |\n| D | \\(|x - 15| > 7\\) daje \\(x < 8\\) lub \\(x > 22\\) - błędny środek i jeszcze odwrócony znak nierówności |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl środka przedziału z jego długością! Środek \\((-8, 22)\\) to \\(7\\), a długość (czyli \\(2r\\)) to \\(30\\), więc promień \\(r = 15\\). Łatwo odwrotnie wpisać te liczby do wzoru i dostać odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko na osi = ostry znak \\(<\\) lub \\(>\\) (przedział otwarty). Pełne kółko = znak \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\) (przedział domknięty). Tutaj oba kółka są puste, więc \\(<\\), nie \\(\\leq\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B to klasyczna pułapka - ten sam środek i promień, ale odwrócona nierówność. Opisuje wszystko **poza** zaznaczonym przedziałem, a nie sam przedział.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Środek przedziału i promień\nPrzedział \\((-8, 22)\\) ma środek w punkcie \\(\\tfrac{-8+22}{2} = 7\\), a połowa jego długości (promień) to \\(\\tfrac{22-(-8)}{2} = 15\\).\nNierówność postaci \\(|x - c| < r\\) opisuje przedział \\((c-r, c+r)\\). Dla \\(c = 7, r = 15\\) dostajemy \\(|x - 7| < 15\\), czyli przedział \\((-8, 22)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wybranego punktu\nPunkt środkowy \\(x = 7\\):\n- A. \\(|7-7| = 0 < 15\\) ✓\n- B. \\(|7-7| = 0 > 15\\) ✗\n- C. \\(|7-15| = 8 < 7\\) ✗\n- D. \\(|7-15| = 8 > 7\\) ✓ (ale \\(7\\) leży wewnątrz przedziału, a \\(|x-15|>7\\) to suma dwóch półprostych, więc nie opisuje naszego przedziału).\n\nBrzegi: dla \\(x = -8\\) lub \\(x = 22\\) nierówność A daje \\(|{-15}| = 15\\) i \\(|15| = 15\\) - ostra nierówność nie jest spełniona, więc końce są wykluczone - zgadza się z obrazkiem (koła puste).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Nierówność \\(|x-7| > 15\\) opisuje uzupełnienie przedziału \\((-8, 22)\\).\n- **C.** Przedział \\((8, 22)\\) - zły lewy koniec.\n- **D.** Zbiór \\((-\\infty, 8) \\cup (22, +\\infty)\\) - nie ten kształt.\n\n**Pamiętaj:** \\(|x - c| < r \\iff x \\in (c - r, c + r)\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
A.
7
15
x 

B.
7
15
x 

C.
15
7
x 

D.
15
7
x 

Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. |x-7|<15, B. |x-7|>15, C. |x-15|<7, D. |x-15|>7. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","answer_text_html":"

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(|x - 7| < 15\\)

\n

Sposób 1 - środek i promień przedziału

\n

Zauważamy, co mamy na rysunku:

\n

Oś liczbowa z otwartym przedziałem \\((-8, 22)\\). Oba kółka są puste - przedział otwarty (końce wyłączone).

\n

Krok 1: Wyznaczamy środek przedziału.

\n

\\[c = \\frac{-8 + 22}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]

\n

Środek to \\(7\\). Zgadza się z rysunkiem!

\n

Krok 2: Wyznaczamy "promień" - odległość od środka do końca.

\n

\\[r = 22 - 7 = 15 \\quad \\text{(lub: } 7 - (-8) = 15\\text{)}\\]

\n

Krok 3: Zapisujemy nierówność z wartością bezwzględną.

\n

\\(|x - c| < r\\) opisuje otwarty przedział \\((c-r,\\ c+r)\\), czyli:

\n

\\[\\boxed{|x - 7| < 15}\\]

\n

Sprawdzenie:
\\[7 - 15 = -8, \\quad 7 + 15 = 22\\]

\n

Przedział \\((-8, 22)\\) - dokładnie to, co na rysunku. ✓

\n

Sposób 2 - rozwinięcie nierówności (weryfikacja algebraiczna)

\n

Rozwijamy odpowiedź A i sprawdzamy, czy daje ten sam przedział.

\n

\\[|x - 7| < 15\\]

\n

Korzystamy z definicji: \\(|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\)

\n

\\[-15 < x - 7 < 15\\]

\n

Dodajemy \\(7\\) do każdej części:

\n

\\[-15 + 7 < x < 15 + 7\\]

\n

\\[-8 < x < 22\\]

\n

To dokładnie przedział otwarty \\((-8, 22)\\) z rysunku. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4) - nierówność z wartością bezwzględną:
\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do zapisu przedziału przez środek i promień, oraz w Sposobie 2 do rozwinięcia nierówności.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | \\(|x - 7| > 15\\) opisuje dopełnienie tego przedziału: \\(x < -8\\) lub \\(x > 22\\) - czyli punkty poza zaznaczonym odcinkiem |
| C | \\(|x - 15| < 7\\) daje przedział \\((8, 22)\\) - zły środek! Uczeń pomylił środek \\(7\\) z połową długości \\(15\\) |
| D | \\(|x - 15| > 7\\) daje \\(x < 8\\) lub \\(x > 22\\) - błędny środek i jeszcze odwrócony znak nierówności |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie myl środka przedziału z jego długością! Środek \\((-8, 22)\\) to \\(7\\), a długość (czyli \\(2r\\)) to \\(30\\), więc promień \\(r = 15\\). Łatwo odwrotnie wpisać te liczby do wzoru i dostać odpowiedź C.
\n
⚠️ Uwaga: Puste kółko na osi = ostry znak \\(<\\) lub \\(>\\) (przedział otwarty). Pełne kółko = znak \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\) (przedział domknięty). Tutaj oba kółka są puste, więc \\(<\\), nie \\(\\leq\\).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B to klasyczna pułapka - ten sam środek i promień, ale odwrócona nierówność. Opisuje wszystko poza zaznaczonym przedziałem, a nie sam przedział.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Środek przedziału i promień
\n

Przedział \\((-8, 22)\\) ma środek w punkcie \\(\\tfrac{-8+22}{2} = 7\\), a połowa jego długości (promień) to \\(\\tfrac{22-(-8)}{2} = 15\\).
Nierówność postaci \\(|x - c| < r\\) opisuje przedział \\((c-r, c+r)\\). Dla \\(c = 7, r = 15\\) dostajemy \\(|x - 7| < 15\\), czyli przedział \\((-8, 22)\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie wybranego punktu
\n

Punkt środkowy \\(x = 7\\):

\n\n

Brzegi: dla \\(x = -8\\) lub \\(x = 22\\) nierówność A daje \\(|{-15}| = 15\\) i \\(|15| = 15\\) - ostra nierówność nie jest spełniona, więc końce są wykluczone - zgadza się z obrazkiem (koła puste).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(|x - c| < r \\iff x \\in (c - r, c + r)\\).

"}]}