{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej\nwzorem\n\n\n\n( )\n2\n4\nf x\nx\nx\n\n\n\nA.\nB.\nC.\nD.\n-8 -7 -6 -5 -4 -3-2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n0\n-9 -8 -7 -6 -5 -4-3 -2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n0\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n0\n-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n0\n-9\n-8 -7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\n-9\n-9\ny\ny\ny\ny\nx\nx\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n6\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f(x) = (x-2)(x+4). Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nParabola o ramionach skierowanych **w górę**, miejsca zerowe \\(x = -4\\) i \\(x = 2\\), wierzchołek poniżej osi \\(OX\\) w \\((-1, -9)\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza wzoru iloczynowego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe.**\n\nZ postaci iloczynowej \\(f(x) = (x-2)(x+4)\\) odczytujemy miejsca zerowe bezpośrednio:\n\\[x - 2 = 0 \\implies x_1 = 2\\]\n\\[x + 4 = 0 \\implies x_2 = -4\\]\n\nMiejsca zerowe to \\(x = -4\\) i \\(x = 2\\). Eliminuje to odpowiedzi A i C (mają \\(x = -2\\) i \\(x = 4\\)).\n\n**Krok 2: Sprawdzamy kierunek ramion paraboli.**\n\nRozwijamy wzór:\n\\[f(x) = (x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8\\]\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), więc **ramiona paraboli skierowane są w górę**. Eliminuje to odpowiedź B (ramiona w dół).\n\n**Krok 3: Wyznaczamy wierzchołek.**\n\nOś symetrii paraboli przebiega w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nWartość funkcji w wierzchołku:\n\\[q = f(-1) = (-1-2)(-1+4) = (-3) \\cdot 3 = -9\\]\n\nWierzchołek \\(W = (-1, -9)\\) leży **poniżej** osi \\(OX\\). ✓ To potwierdza odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a i postać kanoniczna\n\nZe wzorów Viète'a dla \\(f(x) = x^2 + 2x - 8\\) (mamy \\(a=1\\), \\(b=2\\), \\(c=-8\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{2}{1} = -2, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -8\\]\n\nSprawdzenie: \\((-4) + 2 = -2\\) ✓, \\((-4) \\cdot 2 = -8\\) ✓\n\nWierzchołek ze wzoru:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2} = -1, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]\n\\[q = -\\frac{36}{4} = -9\\]\n\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = (x+1)^2 - 9\\) - wierzchołek w \\((-1, -9)\\), ramiona w górę. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nPostać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 1 do odczytu miejsc zerowych.\n\nWierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia wierzchołka.\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte jako weryfikacja w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co jest narysowane | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Ramiona w dół, zera \\(x=-2\\) i \\(x=4\\) | Zamieniono znaki zer ORAZ pomylono kierunek ramion (wzięto \\(a = -1\\)) |\n| B | Ramiona w dół, zera \\(x=-4\\) i \\(x=2\\) | Zera poprawne, ale błędnie odczytano \\(a < 0\\) (np. pomylono z \\(-x^2+ \\)) |\n| C | Ramiona w górę, zera \\(x=-2\\) i \\(x=4\\) | Prawidłowy kierunek ramion, ale zamieniono znaki zer: zamiast \\((x-2)(x+4)\\) uczeń \"widzi\" \\((x+2)(x-4)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\((x - 2)\\) odczytujemy zero \\(x = 2\\) (nie \\(-2\\)!), a z \\((x + 4)\\) odczytujemy zero \\(x = -4\\) (nie \\(+4\\)!). To **najczęstszy błąd** przy postaci iloczynowej - uczniowie mylą znaki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion paraboli wyznacza **znak współczynnika \\(a\\)** przy \\(x^2\\). Tutaj po rozwinięciu jest \\(+x^2\\), więc ramiona idą **w górę** - parabola wygląda jak literka „U\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek zawsze leży w połowie między miejscami zerowymi na osi \\(x\\): \\(p = \\frac{-4+2}{2} = -1\\). Nie wyliczaj go od nowa ze wzoru, jeśli znasz zera - to szybszy sposób.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe i kształt\nPostać iloczynowa \\(f(x) = (x-2)(x+4)\\):\n- Miejsca zerowe: \\(x = 2\\) oraz \\(x = -4\\).\n- Współczynnik przy \\(x^2\\): \\(a = 1 > 0\\) - ramiona paraboli skierowane **w górę**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wierzchołka\n\\(x_W = \\dfrac{-4+2}{2} = -1\\).\n\\(f(-1) = (-1-2)(-1+4) = (-3)(3) = -9\\).\nWierzchołek \\((-1, -9)\\) - poniżej osi \\(OX\\).\n\n### Sposób 3 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = x^2 + 2x - 8 = (x+1)^2 - 9\\). Wierzchołek w \\((-1, -9)\\), ramiona w górę.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Ramiona w dół (\\(a < 0\\)) i błędne miejsca zerowe (\\(-2, 4\\)).\n- **B.** Ramiona w dół - byłoby \\(f(x) = -(x+4)(x-2)\\), ale w zadaniu znak plus.\n- **C.** Ramiona w górę, ale miejsca zerowe \\(-2, 4\\) zamiast \\(-4, 2\\).\n- **D.** Ramiona w górę, miejsca zerowe \\(-4, 2\\), wierzchołek \\((-1, -9)\\) ✓\n\n**Pamiętaj:** miejsca zerowe postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) to \\(x_1\\) i \\(x_2\\) (przeciwne znaki do tego, co w nawiasie!).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej
wzorem



( )
2
4
f x
x
x



A.
B.
C.
D.
-8 -7 -6 -5 -4 -3-2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
-9 -8 -7 -6 -5 -4-3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
-9
-8 -7
-6
-5
-4
-3
-2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
0
-9
-9
y
y
y
y
x
x
x
x

\n

Poziom podstawowy
5
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
6
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f(x) = (x-2)(x+4). Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Parabola o ramionach skierowanych w górę, miejsca zerowe \\(x = -4\\) i \\(x = 2\\), wierzchołek poniżej osi \\(OX\\) w \\((-1, -9)\\).

\n

Sposób 1 - Analiza wzoru iloczynowego

\n

Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe.

\n

Z postaci iloczynowej \\(f(x) = (x-2)(x+4)\\) odczytujemy miejsca zerowe bezpośrednio:
\\[x - 2 = 0 \\implies x_1 = 2\\]
\\[x + 4 = 0 \\implies x_2 = -4\\]

\n

Miejsca zerowe to \\(x = -4\\) i \\(x = 2\\). Eliminuje to odpowiedzi A i C (mają \\(x = -2\\) i \\(x = 4\\)).

\n

Krok 2: Sprawdzamy kierunek ramion paraboli.

\n

Rozwijamy wzór:
\\[f(x) = (x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8\\]

\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), więc ramiona paraboli skierowane są w górę. Eliminuje to odpowiedź B (ramiona w dół).

\n

Krok 3: Wyznaczamy wierzchołek.

\n

Oś symetrii paraboli przebiega w połowie między miejscami zerowymi:
\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]

\n

Wartość funkcji w wierzchołku:
\\[q = f(-1) = (-1-2)(-1+4) = (-3) \\cdot 3 = -9\\]

\n

Wierzchołek \\(W = (-1, -9)\\) leży poniżej osi \\(OX\\). ✓ To potwierdza odpowiedź D.

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a i postać kanoniczna

\n

Ze wzorów Viète'a dla \\(f(x) = x^2 + 2x - 8\\) (mamy \\(a=1\\), \\(b=2\\), \\(c=-8\\)):
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{2}{1} = -2, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -8\\]

\n

Sprawdzenie: \\((-4) + 2 = -2\\) ✓, \\((-4) \\cdot 2 = -8\\) ✓

\n

Wierzchołek ze wzoru:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2} = -1, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]
\\[q = -\\frac{36}{4} = -9\\]

\n

Postać kanoniczna: \\(f(x) = (x+1)^2 - 9\\) - wierzchołek w \\((-1, -9)\\), ramiona w górę. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):

\n

Postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyta w Sposobie 1 do odczytu miejsc zerowych.

\n

Wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia wierzchołka.

\n

Wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte jako weryfikacja w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Co jest narysowane | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Ramiona w dół, zera \\(x=-2\\) i \\(x=4\\) | Zamieniono znaki zer ORAZ pomylono kierunek ramion (wzięto \\(a = -1\\)) |
| B | Ramiona w dół, zera \\(x=-4\\) i \\(x=2\\) | Zera poprawne, ale błędnie odczytano \\(a < 0\\) (np. pomylono z \\(-x^2+ \\)) |
| C | Ramiona w górę, zera \\(x=-2\\) i \\(x=4\\) | Prawidłowy kierunek ramion, ale zamieniono znaki zer: zamiast \\((x-2)(x+4)\\) uczeń "widzi" \\((x+2)(x-4)\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Z czynnika \\((x - 2)\\) odczytujemy zero \\(x = 2\\) (nie \\(-2\\)!), a z \\((x + 4)\\) odczytujemy zero \\(x = -4\\) (nie \\(+4\\)!). To najczęstszy błąd przy postaci iloczynowej - uczniowie mylą znaki.
\n
⚠️ Uwaga: Kierunek ramion paraboli wyznacza znak współczynnika \\(a\\) przy \\(x^2\\). Tutaj po rozwinięciu jest \\(+x^2\\), więc ramiona idą w górę - parabola wygląda jak literka „U".
\n
⚠️ Uwaga: Wierzchołek zawsze leży w połowie między miejscami zerowymi na osi \\(x\\): \\(p = \\frac{-4+2}{2} = -1\\). Nie wyliczaj go od nowa ze wzoru, jeśli znasz zera - to szybszy sposób.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Miejsca zerowe i kształt
\n

Postać iloczynowa \\(f(x) = (x-2)(x+4)\\):

\n\n
Sposób 2 - Sprawdzenie wierzchołka
\n

\\(x_W = \\dfrac{-4+2}{2} = -1\\).
\\(f(-1) = (-1-2)(-1+4) = (-3)(3) = -9\\).
Wierzchołek \\((-1, -9)\\) - poniżej osi \\(OX\\).

\n
Sposób 3 - Postać kanoniczna
\n

\\(f(x) = x^2 + 2x - 8 = (x+1)^2 - 9\\). Wierzchołek w \\((-1, -9)\\), ramiona w górę.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: miejsca zerowe postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) to \\(x_1\\) i \\(x_2\\) (przeciwne znaki do tego, co w nawiasie!).

"}]}