{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nFunkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \n, 3\n\n, może być określona\nwzorem\nA.\n\n\n2\n2\n3\ny\nx\n\n\n\nB.\n\n\n2\n3\ny\nx\n\n\nC.\n\n\n2\n2\n3\ny\nx\n\n\n D.\n2\n3\ny\nx\n\n\nFunkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (-\\infty,-3>, może być określona wzorem A. y=(x+2)^2-3, B. y=-(x+3)^2, C. y=-(x-2)^2-3, D. y=-x^2+3. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nFunkcja \\(y = -(x-2)^2 - 3\\) ma zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza wierzchołka i kierunku ramion\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) oznacza, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości **nie większe niż** \\(-3\\). To możliwe tylko wtedy, gdy:\n\n1. **Parabola ma ramiona skierowane w dół** (współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny) - wtedy funkcja ma **maksimum**, a nie minimum.\n2. **Wartość maksymalna wynosi dokładnie** \\(-3\\) - czyli wierzchołek paraboli leży na poziomie \\(y = -3\\).\n\nFunkcja kwadratowa w postaci kanonicznej: \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\)\n\n- Wierzchołek: \\(W = (p, q)\\)\n- Jeśli \\(a < 0\\): ramiona w dół, zbiór wartości \\(= (-\\infty, q\\rangle\\)\n- Jeśli \\(a > 0\\): ramiona w górę, zbiór wartości \\(= \\langle q, +\\infty)\\)\n\n**Szukamy:** \\(a < 0\\) oraz \\(q = -3\\).\n\nSprawdzamy odpowiedź C:\n\\[y = -(x-2)^2 - 3\\]\n\n- \\(a = -1 < 0\\) ✓ (ramiona w dół)\n- \\(q = -3\\) ✓ (maksimum wynosi \\(-3\\))\n- Wierzchołek: \\(W = (2, -3)\\)\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, -3\\rangle \\checkmark\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie ekstremum\n\nRozwijamy wzór C do postaci ogólnej i wyznaczamy wierzchołek ze wzoru:\n\n\\[y = -(x-2)^2 - 3 = -(x^2 - 4x + 4) - 3 = -x^2 + 4x - 4 - 3 = -x^2 + 4x - 7\\]\n\nMamy: \\(a = -1\\), \\(b = 4\\), \\(c = -7\\).\n\nWspółrzędna wierzchołka (oś symetrii):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{4}{-2} = 2\\]\n\nWartość maksymalna:\n\\[q = f(2) = -(2)^2 + 4 \\cdot 2 - 7 = -4 + 8 - 7 = -3\\]\n\nPonieważ \\(a = -1 < 0\\), funkcja osiąga **maksimum** równe \\(-3\\), zatem:\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, -3\\rangle \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\qquad W = (p,\\, q)\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - wzór na \\(p\\) w Sposobie 2, a odczyt \\((p, q)\\) z postaci kanonicznej w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| A | \\(y = (x+2)^2 - 3\\) | Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(+1 > 0\\) - ramiona **w górę**, więc funkcja ma **minimum** \\(-3\\). Zbiór wartości: \\(\\langle -3, +\\infty)\\), nie \\((-\\infty, -3\\rangle\\) |\n| B | \\(y = -(x+3)^2\\) | Ramiona w dół ✓, ale wierzchołek to \\((-3, \\mathbf{0})\\). Maksimum wynosi \\(0\\), nie \\(-3\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 0\\rangle\\) |\n| D | \\(y = -x^2 + 3\\) | Ramiona w dół ✓, ale wierzchołek to \\((0, \\mathbf{3})\\). Maksimum wynosi \\(3\\), nie \\(-3\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 3\\rangle\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli współczynnik \\(a > 0\\) (ramiona w górę), zbiór wartości jest przedziałem **od minimum do \\(+\\infty\\)**. Odpowiedź A ma \\(a = +1\\) i wierzchołek na poziomie \\(-3\\) - ale daje \\(\\langle -3, +\\infty)\\), czyli odwrotny przedział!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(a(x-p)^2 + q\\) - wartość \\(q\\) to **dokładnie** maksimum (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)). Nie trzeba nic liczyć - wystarczy odczytać \\(q\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić znak przy \\(q\\). Odpowiedź B ma postać \\(-(x+3)^2 + 0\\) - \\(q = 0\\), nie \\(-3\\). Zawsze sprawdzaj **obydwa** warunki: kierunek ramion i wartość wierzchołka.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Analiza zbioru wartości\nZbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) oznacza, że funkcja ma maksimum równe \\(-3\\). Maksimum \\(\\Rightarrow\\) ramiona w **dół** (\\(a < 0\\)). Wierzchołek ma współrzędną \\(y_W = -3\\).\n\nSprawdzamy:\n- **A.** \\(y = (x+2)^2 - 3\\): \\(a = 1 > 0\\), min \\(-3\\), zbiór wartości \\(\\langle -3, +\\infty)\\) ✗\n- **B.** \\(y = -(x+3)^2\\): \\(a = -1 < 0\\), max \\(0\\), zbiór wartości \\((-\\infty, 0\\rangle\\) ✗\n- **C.** \\(y = -(x-2)^2 - 3\\): \\(a = -1 < 0\\), max \\(-3\\), zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) ✓\n- **D.** \\(y = -x^2 + 3\\): \\(a = -1 < 0\\), max \\(3\\), zbiór wartości \\((-\\infty, 3\\rangle\\) ✗\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\nPostać kanoniczna: \\(y = a(x-p)^2 + q\\). Wierzchołek \\((p, q)\\), zbiór wartości \\(\\langle q, \\infty)\\) gdy \\(a > 0\\), \\((-\\infty, q\\rangle\\) gdy \\(a < 0\\).\n\nNam trzeba: \\(a < 0\\) i \\(q = -3\\). Tylko **C** spełnia oba warunki.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Złe ramiona (w górę) - zbiór wartości to półprosta w górę, nie w dół.\n- **B.** Dobry kierunek ramion, ale max = \\(0\\), nie \\(-3\\).\n- **D.** Dobry kierunek ramion, ale max = \\(3\\), nie \\(-3\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział 
, 3

, może być określona
wzorem
A.


2
2
3
y
x



B.


2
3
y
x


C.


2
2
3
y
x


 D.
2
3
y
x


Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (-\\infty,-3>, może być określona wzorem A. y=(x+2)^2-3, B. y=-(x+3)^2, C. y=-(x-2)^2-3, D. y=-x^2+3. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Funkcja \\(y = -(x-2)^2 - 3\\) ma zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\).

\n

Sposób 1 - Analiza wierzchołka i kierunku ramion

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) oznacza, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie większe niż \\(-3\\). To możliwe tylko wtedy, gdy:

\n
  1. Parabola ma ramiona skierowane w dół (współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny) - wtedy funkcja ma maksimum, a nie minimum.
  2. Wartość maksymalna wynosi dokładnie \\(-3\\) - czyli wierzchołek paraboli leży na poziomie \\(y = -3\\).
\n

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej: \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\)

\n\n

Szukamy: \\(a < 0\\) oraz \\(q = -3\\).

\n

Sprawdzamy odpowiedź C:
\\[y = -(x-2)^2 - 3\\]

\n\n

\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, -3\\rangle \\checkmark\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie ekstremum

\n

Rozwijamy wzór C do postaci ogólnej i wyznaczamy wierzchołek ze wzoru:

\n

\\[y = -(x-2)^2 - 3 = -(x^2 - 4x + 4) - 3 = -x^2 + 4x - 4 - 3 = -x^2 + 4x - 7\\]

\n

Mamy: \\(a = -1\\), \\(b = 4\\), \\(c = -7\\).

\n

Współrzędna wierzchołka (oś symetrii):
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{4}{-2} = 2\\]

\n

Wartość maksymalna:
\\[q = f(2) = -(2)^2 + 4 \\cdot 2 - 7 = -4 + 8 - 7 = -3\\]

\n

Ponieważ \\(a = -1 < 0\\), funkcja osiąga maksimum równe \\(-3\\), zatem:
\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, -3\\rangle \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\qquad W = (p,\\, q)\\]
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]

\n

Użyliśmy tego w obu sposobach - wzór na \\(p\\) w Sposobie 2, a odczyt \\((p, q)\\) z postaci kanonicznej w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wzór | Błąd |
| A | \\(y = (x+2)^2 - 3\\) | Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(+1 > 0\\) - ramiona w górę, więc funkcja ma minimum \\(-3\\). Zbiór wartości: \\(\\langle -3, +\\infty)\\), nie \\((-\\infty, -3\\rangle\\) |
| B | \\(y = -(x+3)^2\\) | Ramiona w dół ✓, ale wierzchołek to \\((-3, \\mathbf{0})\\). Maksimum wynosi \\(0\\), nie \\(-3\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 0\\rangle\\) |
| D | \\(y = -x^2 + 3\\) | Ramiona w dół ✓, ale wierzchołek to \\((0, \\mathbf{3})\\). Maksimum wynosi \\(3\\), nie \\(-3\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 3\\rangle\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Jeśli współczynnik \\(a > 0\\) (ramiona w górę), zbiór wartości jest przedziałem od minimum do \\(+\\infty\\). Odpowiedź A ma \\(a = +1\\) i wierzchołek na poziomie \\(-3\\) - ale daje \\(\\langle -3, +\\infty)\\), czyli odwrotny przedział!
\n
⚠️ Uwaga: W postaci kanonicznej \\(a(x-p)^2 + q\\) - wartość \\(q\\) to dokładnie maksimum (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)). Nie trzeba nic liczyć - wystarczy odczytać \\(q\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić znak przy \\(q\\). Odpowiedź B ma postać \\(-(x+3)^2 + 0\\) - \\(q = 0\\), nie \\(-3\\). Zawsze sprawdzaj obydwa warunki: kierunek ramion i wartość wierzchołka.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Analiza zbioru wartości
\n

Zbiór wartości \\((-\\infty, -3\\rangle\\) oznacza, że funkcja ma maksimum równe \\(-3\\). Maksimum \\(\\Rightarrow\\) ramiona w dół (\\(a < 0\\)). Wierzchołek ma współrzędną \\(y_W = -3\\).

\n

Sprawdzamy:

\n\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

Postać kanoniczna: \\(y = a(x-p)^2 + q\\). Wierzchołek \\((p, q)\\), zbiór wartości \\(\\langle q, \\infty)\\) gdy \\(a > 0\\), \\((-\\infty, q\\rangle\\) gdy \\(a < 0\\).

\n

Nam trzeba: \\(a < 0\\) i \\(q = -3\\). Tylko C spełnia oba warunki.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}